L. RouoiEn

Renaissance, Gommandin, Clavius, Giordano Vitale ; au xvna siècle, chez Wallis et Giordano ; au xvine siècle, chez GerolamoSaccheriet J. -H. Lambert. Enfin, les grands géomètres français de la fin du xvine siècle, entre autres d'Alembert, Laplace, Carnot, Fourier, Lagrange, et, un peu plus lard, Legendre, s'occupèrent de la théorie des parallèles *. Il semble que ce soit Gauss qui ait compris le premier l'impossibilité de démontrer le postulatum en partant des autres propositions premières d'Euclide2.

Les tentatives de démonstration du postulat sont de deux sortes: directes ou indirectes. Dans le premier cas, elles consistent à déduire le postulat des autres propositions antérieurement admises ou démontrées par Euclide, en faisant implicitement appel à un nouveau postulat, qui est l'équivalent du premier \ Dans le second cas, elles consistent à rejeter le postulat, en admettant les autres propositions premières d'Euclide, dans l'espoir d'arriver à un résultat contradictoire. Elle eurent pour effet, immédiat d'amener la découverte de postulats équivalents à celui d'Euclide et la démonstration de divers théorèmes non-euclidiens.

Les postulats équivalents à celui d'Euclide dépendent de ce que Ton admet ou non l'infinité de la droite (postulat 2 des Eléments).

Dans le premier cas, on peut substituer au postulatum les propositions suivantes :

i° Il existe une seule parallèle, menée par un point à une droite donnée.

s>.° Il existe deux droites coplanaires, qui n'ont pas de point commun et sont équidistantes.

3° Il existe des triangles semblables non congruents.

1 Cf. F. Engel und Stackel, Die Théorie dcr Parallellinien, von Euklid his auf Gauss, Leipzig, 189."); Bolona, la Geometria non-euclidea, Bologne, 1906.

- Lu loul cas, avanl 1816 : Werke, Gôtlingue, 1900, t. VIII, p. 175, 182.

3 Cf. les Paralogisme» du Rationalisme, chap. vm.

LES GEOMETRIES NON-EUCLIDIENNES 39

4° La somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux droits.

5° 11 existe des triangles rectilignes ayant une aire aussi grande que Ton veut.

L'équivalence du premier postulat était connue d'Euclide ; Proclus et Giordano ont découvert celle du second ; Wallis, Carnot, Laplace, celle du troisième ; Saccheri, Legendre, Gauss, celle du quatrième; Lambert et Gauss, celle du cinquième. Si l'on admet que les droites peuvent être finies, l'équivalence des propositions précédentes avec le postulatum cesse d'exister. C'est ainsi que la droite riemannienne vérifie le 5e postulat d'Euclide et non celui de l'unicité de la parallèle. Dans la suite, par postulat d'Euclide ou postulatum, nous entendrons celui de la parallèle ; quand nous aurons en vue l'énoncé particulier que lui a donné Euclide, nous le spécifierons chaque fois.

Saccheri fut le premier à tenter une démonstration du postulatum par l'absurde L.

Il considère un quadrilatère ayant trois angles droits et distingue trois hypothèses possibles concernant le quatrième angle : il peut être droit, aigu ou obtus. Il démontre que chacun de ces cas est vérifié pour tous les quadrilatères, dès qu'il l'est pour un seul. Il établit alors, pour chacun des trois cas, les propriétés que possèdent deux droites d'un plan perpendiculaires à une même troisième : dans le premier cas, elles seront équidistantes (d'où suit le postulat des parallèles) : dans le second cas, elles commenceront à se rapprocher à partir de la per pendiculaire commune; dans le troisième cas, elles divergeront. Il élimine l'hypothèse de l'angle obtus comme contredisantlinfinitéde la droite, et il croit trouver un élément « discordant » dans le caractère asymptotique des paral-

1 Euclides ah omni mevo vindicalax : sive conatus geometricus quo slabilianlur prima ipsa univers:r geometriae principia, Milan, 1733.

lèles auquel on aboutit avec l'hypothèse de l'angle aigu. J.-H. Lambert ' reprend la considération des trois cas envisagés par Saccheri et montre que, dans les deux derniers, il existe une sorte ûf' unité de mesure naturelle ou absolue, c'est-à-dire une unité définie par ses relations avec le plan, tandis que, dans la géométrie d'Euelide, il n'y a rien de semblable. Il établit que, dans le cas de l'angle obtus, où Ton rejette l'infinité des droites, la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits ; qu'elle est inférieure dans le cas de l'angle aigu, et que, dans ces deux cas, si l'on nomme S l'aire d'un triangle, E l'excès ou le déficit angulaire sur deux droits, K un coefficient constant appelé par Gauss constante spatiale, on a S = K E. Lambert remarque encore que l'hypothèse de l'angle obtus est réalisée sur la sphère/ si l'on prend pour droites les grands cercles, et que l'hypothèse de l'angle aigu se vérifierait sur une sphère de rayon imaginaire. Reprenant cette dernière idée, Taurinus construit un système analytiquement adéquat à celte hypothèse, système qu'il nomme géométrie logarithmosphérique, en substituant, dans les formules de la trigonométrie sphérique, un rayon imaginaire au rayon réel de la sphère. Bien qu'un tel système soit affranchi de toute contradiction, Lambert rejette l'hypothèse de l'angle aigu, par suite d'une fausse interprétation des constantes contenues dans ses formules, qu'il considère comme impliquant un espace susceptible d'une infinité de déterminations. Les théorèmes les plus importants de géométrie noneuclidienne, découverts avant la première publication de Lobatchefski, sont les suivants:

i° Théorème de Saccheri ( 1667- 17 33). Dans l'hypothèse où la somme des angles d'un triangle est inférieure à

1 Théorie der Parallellinien, ap. Magaz. f. d. reine u. angetv. Math , Leipzig-, 1786, p. 137-164.

LES GÉOMÉTMES NON-EUCLIDIENNES 41

deux droits, deux droites se rencontrent, ou sont asymptotes ou ont une perpendiculaire commune, à partir de laquelle elles divergent (iy33).

i° Théorème de Lambert (1728-1777). Dans la même hypothèse, l'aire d'un triangle est proportionnelle à son déficit angulaire (1766 ; publié en 1786).

3° Théorème de Taurinus ( 1 794-1874)- Cette même hypothèse répond à la relation suivante :

Ch — = Gh — Gh — — Sh -5- Sh — cos A.

entre les côtés a, />, c et un angle A d'un triangle (182G). Cette formule est trouvée par induction, en supposant imaginaires les côtés d'un triangle sphérique.

4° Théorème de Legendre (1 752-1 833). La somme des angles d'un triangle ne peut surpasser deux droits, quand on admet l'infinité des droites (1899). Elle est égale ou inférieure à deux droits dans tous les triangles, si elle l'est dans un seul (io33).