II. La géométrie non-euclidienne de Lobatchefski

Au début du xixe siècle, les temps étaient mûrs pour l'avènement de la géométrie non-euclidienne. Gomme c'est le cas général dans l'histoire des sciences, plusieurs chercheurs la découvrirent, indépendamment les uns des autres, à peu près vers la même époque. Le premier en date est sans doute Schweikart. Ce dernier, étant à Charkow vers 1812, exprima à Bessel sa conviction qu'une géométrie affranchie du postulatum était possible, dont il fît, en 181 8, un exposé écrit, envoyé à Garling, pour être communiqué à Gauss1. Gauss, dès 181 1, avait recherché une démonstration du postulat des parallèles, mais il

' Cf. Engel und Sttickel, Op. laud., p. 24:5.

4g LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POINCARÉ

n'avait pas tardé à en comprendre l'impossibilité. Soit par suite de ses multiples occupations, soit par crainte des « clameurs des béotiens », il différa l'instant de la publication de ses recherches, jusqu'au jour où, ayant reçu du père du jeune Bolyaï le travail de son fils, il jugea cette publication devenue inutile et se contenta de donner plein assentiment à l'œuvre du jeune homme. Il répondit simplement à son père : « Je ne puis louer le travail de ton fils, car le louer serait me louer moi-même1. » Quelques années après, il tint le même langage à Schumacher"2, en parlant des ouvrages de Lobatchefski.

Ce qui nous reste des recherches de Gauss est contenu dans quelques lettres, adressées surtout à Schumacher3. Celui-ci avait fait part à Gauss de plusieurs tentatives personnelles de démonstration du postulatum. Gauss lui répond en relevant ses pétitions de principes : Schumacher admet la similitude des figures non congruentes, la possibilité pour l'aire d'un triangle de croître indéfiniment, toutes propositions équivalentes au postulat à démontrer et qui cessent d'être vraies dans l'hypothèse non-euclidienne. Ce qui caractérise celle-là, c'est une certaine constante spatiale, que Gauss introduit comme il suit. Dans la géométrie non-euclidienne, la demi-circonférence d'un cercle de rayon ;* a pour valeur :

K étant une constante, positive dans l'hypothèse de l'angle obtus, négative dans l'hypothèse de l'angle aigu, et qui croît au-delà de toute grandeur dans l'hypothèse de l'angle droit.

1 Lettre à Bolyaï du 6 mars 1S32.

- Lettre à Schumacher du 2S novembre IS i6.

3 Cf. Halsted, Gauss and the non-euclidean gcometry, ap. Science, 1900, p. 842-8/|().

Dans le lemps où Gauss commençait à réfléchir sur la théorie des parallèles, Lobatchefski, nommé professeur à Kasan en 1 8 1 5 , faisait cette année même une série de conférences sur les fondements de la géométrie. Il cherchait, lui aussi, à démontrer le postulatum par réduction à l'absurde. Il s'aperçut que, si loin qu'il poussât les conséquences entraînées par son rejet, il ne parvenait à . aucune contradiction. C'était bel et bien en face d'une nouvelle géométrie qu'il se trouvait, fort différente de celle d'Euclide, mais aussi rigoureuse. Il l'exposa dans une série de mémoires publiés à partir de 18291.

Examinons les particularités de la nouvelle géométrie. Par un point pris hors d'une droite, on peut mener, dans un même plan, trois sortes de droites ; i° des sécantes; 20 des droites non-sécantes comprises dans un certain angle, appelé angle de parallélisme ; 3° deux parallèles qui limitent les droites non-sécantes et se distinguent d'elles en ce qu'elles deviennent sécantes pour toute augmentation, si petite soit-elle, de leur inclinaison sur la droite donnée. Le postulat d'Euclide est alors remplacé par le suivant : « Par un point pris hors d'une droite, on peut mener dans le même plan deux parallèles et une infinité de droites non-sécantes, comprises entre elles. » Etant donnée une droite x\ les parallèles que l'on peut mener par un point O à cette droite et qui forment les côtés de l'angle de parallélisme, se rapprochent de plus en plus de x, si on les suit dans le sens où elles forment un angle aigri avec la perpendiculaire abaissée de O sur x en P, de sorte que leur distance à la droite de x, à mesure qu'on s'éloigne de O, tend vers zéro. C'est pour cela que Bolyaï les appelle des droites asymptotes.

L'angle de parallélisme varie avec la longueur de la

1 N. I. Lobatchefski, Opéra geometrica (français, allemand et russe), Kasan, i883-i886; — Cf. F. Engel, Nicolaj Iwanovilsch Lobatchefskij : Zwei geonictrictie Ahhandlunçjen. Leipzig, 1898.

perpendiculaire abaissée de O sur x en P. Si Ton désigne par u l'angle complémentaire formé par une parallèle et la perpendiculaire OP, et par a la distance OP, on obtient la relation :

e — e =2 cot u,

dans laquelle Kest un paramètre à déterminer par l'expérience : c'est la constante spatiale de Gauss. Ce paramètre intervient dans les relations qui lient les diverses parties dune figure. On le détermine une fois pour toutes ; mais, comme on peut lui donner une valeur quelconque, il y a une infinité de géométries métriques lobatchefshiennes.

Lorsque K== oo, l'angle de parallélisme est nul et les deux perpendiculaires se confondent. On retombe dans le cas du postulat d'Euclide et de la géométrie ordinaire. On peut donc considérer la géométrie euclidienne comme le cas limite des géométries non-euclidiennes . C'est pour cela que Lobatchefski nomme la géométrie qu'il a découverte Pangéométrie.

Lobatchefski démontre encore un certain nombre de propositions remarquables :

Le parallélisme de deux droites est réciproque et transitif. Une droite conserve son caractère de parallélisme en tous ses points.

Le lieu des points d'un plan équidistants à une droite fixe, est une courbe, comme l'avait déjà vu Saccheri. Les courbes ainsi obtenues sont dénommées par Bolyaï courbes parallèles à une droite.

La somme des angles d'un triangle est plus petite que deux droits et la différence est proportionnelle à l'aire du triangle. Il résulte de là que celle-ci est toujours inférieure à une limite déterminée, si grands que soient les côtés. C'est ce que Gauss avait démontré à Schumacher.

La somme des angles d'un polygone de n côtés est inférieure à in — 4) angles droits, la différence étant proportionnelle à l'aire du polygone. 77 n'existe pas de rectangles : si un quadrilatère a trois angles droits, le quatrième est aigu.

Il n'existe pas de figures semblables non congruentes. Admettre l'existence de triangles semblables non congruents, c'est admettre le postulat d'Euclide, ainsi que le taisait remarquer Gauss à Schumacher.

La trigonométrie du plan lobatchefskien diffère profondément delà trigonométrie plane euclidienne. Cependant ses formules peuvent s'obtenir, comme l'avait découvert Lambert, en prenant les formules de la géométrie sphérique ordinaire, et en attribuant au rayon une valeur imaginaire K \ — i ; de là, le nom de géométrie imaginaire proposé tout d'abord par Lobatchefski. On peut éviter l'emploi des imaginaires, en substituant aux fonctions trigonométriques ordinaires les fonctions trigonométriques hyperboliques correspondantes. On suppose les longueurs rapportées au paramètre K, au lieu de les rapporter au rayon delasphère pris comme unité, ainsi qu'on le fait généralement dans la trigonomélrie sphérique. C'est pourquoi F. Klein a proposé de remplacer l'appellation de géométrie imaginaire par celle de géométrie hyperbolique. Enfin, la trigonométrie de la géométrie hyperbolique se réduit à la trigonométrie de la géométrie euclidienne, lorsque les côtés du triangle sont infiniment petits.

La géométrie de la sphère diffère notablement selon que l'on considère des sphères de rayon fini ou infini. Le cercle, dont le centre s'éloigne à l'infini sur une perpendiculaire à une droite tangente, n'a pas, comme dans la géométrie d'Euclide, cette tangente pour limite, mais une courbe distincte, Yhoricycle. Une surface sphérique, dont le centre s'éloigne à l'infini sur la perpendiculaire à un plan langent, n'a pas pour limite ce plan, mais une

surface de révolution, l'horisphère, ayant pour méridienne lhoricycle Horicycles et horisphères jouissent de cette commune propriété : les médiatrices de leurs cordes sont parallèles entre elles.

La considération des horicycles et des horisphères permet de fournir une interprétation non-euclidienne de la métrique euclidienne. En effet, Lobatchefski a démontré ce théorème : La géométrie des horicycles sur les horisphères est euclidienne, ce qui vent dire que les horicycles peuvent être traités comme des droites euclidiennes et que la planimétrie de l'horisphère est alors identique à celle du plan euclidien. Appelons plan principal, tout plan mené par un axe de l'horisphère ; tout plan principal coupe l'horisphère suivant un horicycle. Considérons trois plans principaux qui se coupent deux à deux. Ils forment entre eux des angles dont la somme est égale à deux droits. On peut considérer ces angles comme les angles du triangle de l'horisphère qui aurait pour côtés les arcs d'horicycles formés par l'intersection des trois plans principaux avec l'horisphère. On voit ainsi que les triangles de l'horisphère ont, entre leurs angles et leurs côtés, les mêmes relations métriques que les triangles rectilignes du plan euclidien.

Le théorème de Lobatchefski devait être généralisé dans la suite, après que Beltrami eût établi que la planimétrie des pseudo-sphères euclidiennes est lobatchefskienne et que celle de la sphère est riemannienne. Barbarin a démontré un théorème général qui devait dissiper bien des erreurs d'interprétation : Chacune des trois métriques, euclidienne, lobatchefskienne, riemannienne, renferme des surfaces à courbure constante, dont les lignes géodésiques ont les propriétés métriques des droites des deux autres métriques1. En vertu de ce théorème, on peut

1 Barbarin, Eludes de Géométrie analytique non-euclidienne, ap. Mém. couronnés Mém. Acad. Belg., t. LX, i<>oo.

LES IÎÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES 47

inlerpréLer géométriquement chacune de ces trois pianimétries dans les deux autres.

On peut résumer ainsi les propositions principales de la géométrie de Lobatchefski : La somme des angles d'un triangle rectiligne quelconque est inférieure à deux droits ; deux parallèles se rapprochent continuellement ; tous les points équidistants d'une droite sont sur une courbe, appelée équidistante ou horicycle, qui est la limite d'une circonférence dont le rayon augmente indéfiniment ; si, dans un quadrilatère, trois angles sont droits, le quatrième est aigu et il ne saurait y avoir de rectangles ; deux perpendiculaires à une droite ne sont pas équidistanles, mais s'écartent lune de l'autre à mesure qu'on les prolonge ; à l'inverse de la géométrie euclidienne où trois points sont toujours sur une ligne droite ou sur un cercle, il existe, en géométrie non-euclidienne, des triplets de points, par exemple trois points équidistants d'une droite et d'un même côté, qui ne sont ni collinéaires, ni concycliques ; il n'existe pas de figures semblables non congruentes ; il existe quatre lignes et quatre surfaces uniformes, c'està-dire telles qu'un élément de ces lignes ou de ces surfaces peut se déplacer sans déformation sur la ligne ou sur la surface où on l'a pris : d'une part, ce sont la droite, le cercle, V horicycle et les courbes parallèles à une droite ; d'autre part, ce sont le plan, la sphère, l'horisphère et les surfaces de révolution engendrées par la rotation des courbes parallèles à une droite.