III. L' « Habilitationschrift » et la géométrie de Riemann

La géométrie de Lobatchefski correspond à l'hypothèse de l'angle aigu de Saccheri ; il convenait de voir ce qu'il adviendrait en développant l'hypothèse de l'angle obtus. Lambert avait déclaré que cette hypothèse se vérifie clans la géométrie sphérique ordinaire; mais c'est à Rie-

manu que revient l'honneur d'avoir donné son nom à la seconde métrique non-euclidienne. Sa découverte est exposée dans une thèse d'agrégation, présentée à la Faculté de Philosophie de Gottingen en 1 854, sous les auspices de Gauss4. "

Dans sa thèse, Riemann est guidé par des préoccupations épistémologiques : le lien de la nécessité qui lie les axiomes de la géométrie au « concept d'espace » lui échappe. Xe contiennent-ils rien de superflu ou d'insuffisant? Le meilleur moyen, pour s'en rendre compte, consiste à partir de la notion la plus générale de la grandeur ('dont l'espace n'est qu'une variété), puis à la particulariser par l'adjonction de postulats, jusqu'à ce que l'on arrive à une définition de l'espace, c'est-à-dire à l'énoncé des propriétés métriques qui le caractérisent. C'est donc à une classification des grandeurs que Riemann procède et à la détermination de la place occupée dans cette classification par l'espace; c'est, en même temps, à un dénombrement des postulats de la géométrie qu'il aboutit.

Riemann part de la notion générale d'une « quantité multiplement étendue, susceptible de déterminations diverses «.Après un certain nombre de spécifications, il en vient à définir le genre des « multiplicités continues à n dimensions mesurables avec une commune unité ». Ce genre comprend une infinité d'espèces, dont chacune est caractérisée par la fonction qui lie aux coordonnées d'un point la dislance de ce point à l'origine. A chacune de ces espèces correspond une sorte d'espace, et à ces espaces correspondent une infinité de géométries différentes ; ce sont les géométries des espaces h courbure variable.

Pour obtenir une classification rationnelle de ces géo-

1 Ueber die Hijpuihesen welche der Géométrie zu Grande lier/en, Habilita tionschrift, Gôttingue, i85i; Abh. Ges. Gbit., 1866-1867; Werke, 1876, p. 254-269.

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mélries, il convient de classer leurs fondions caractéristiques d'après la forme de leurs différentielles, c'est-à-dire d'après la forme de la relation analytique qui lie l'élément infiniment petit de la dislance ds aux coordonnées et à leurs éléments infiniment petits.

Riemann se borne à envisager le cas où ds peut être exprimé par la racine carrée d'une fonction quadratique des distances des coordonnées, c'est-à-dire :

ds2 = 2 aik dXidx,. (ik= 1,2 ri). .

Riemann pose cette formule à titre d'hypothèse, à cause de sa très grande simplicité. Helmhollz la justifie dans la suite, en montrant que, si l'on admet le libre déplacement des figures dans l'espace, il n'y a plus d'autre forme possible que celle-là.

En partant de l'élément de distance ds, représenté par une forme quadratique, Riemann définit une notion capitale, la mesure de la courbure de l'espace en un point. Gauss avait montré que la courbure d'une surface, dans un espace à trois dimensions, est une propriété intrinsèque de cette surface, absolument indépendante de la troisième dimension. Partant de l'expression analytique donnée par Gauss de la courbure K pour une surface de l'espace ordinaire, Riemann la généralise en l'appliquant au cas d'une multiplicité à un nombre quelconque n de dimensions dans un espace à n -+- 1 dimensions. La courbure de l'espace ainsi définie est, en général, variable en un point avec la direction de l'élément de surface envisagé, et d'un point de l'espace à un autre. Si elle est constante en un point pour tous les éléments de surface envisagés et en tous les points de l'espace, on a ce que Riemann appelle une multiplicité à courbure constante. Ce qui caractérise une telle multiplicité, c'est que le mouvement sans déformation des figures y est possible. Si K est la

mesure de courbure de l'espace, la formule qui donne la longueur de l'élément de distance ds devient :

Ce dernier genre, constitué par la géométrie métrique différentielle des multiplicités à courbure constante, n'est susceptible de se subdiviser qu'en trois espèces, qui correspondent à trois géométries métriques possibles, suivant que le paramètre K, qui figure dans l'expression de l'élément linéaire, est nul, négatif ou positif. On a, en effet, pour :

i° K = 0, la géométrie ordinaire ;

2° K < i , la géométrie de Lobatchefski ;

3° K > i , la géométrie dite de Riemann.

Les propriétés les plus importantes de cette dernière sont les suivantes : Toutes les droites se rencontrent, si bien que le postulat 5 des Eléments d'Euclide est vrai ; mais le postulat des parallèles est faux : par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener aucune parallèle à cette droite. Toute droite a une longueur finie, si bien que le postulat 2 d'Euclide doit être rejeté. Deux droites quelconques enferment un espace, contrairement au postulat 6 d'Euclide. Enfin, la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.

Cette géométrie si paradoxale, qui rejette deux des postulais d'Euclide, trouve une interprétation toute naturelle sur la sphère euclidienne, lorsqu'on ne tient compte que des propriétés intrinsèques des éléments de cette surface. C'est ce que devait établir Beltrami.

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