IV. Les interprétations de Beltrami

Les métriques non-euclidiennes avaient à peine vu le jour, qu'elles eurent à conquérir leur droit à l'existence, en résistant aux nombreuses attaques dont elles furent l'objet.

D'abord, le fait même de leur existence n'était pas une preuve de leur survie. Lobatchefski, Bolyaï, Riemann n'avaient pas découvert de contradiction dans la série de déductions qu'ils avaient tirées de leurs postulats : qui sait si, en poussant plus avant ces déductions, ils n'eussent pas fini par en rencontrer une. La preuve de l'indépendance du postulatum vis-à-vis des autres propositions premières d'Euclide n'était pas encore péremptoirement administrée. De plus, argumentaient les philosophes criticistes : admettons un peu l'existence logique des nouvelles géométries ; ce sont des fantaisies analytiques de l'entendement des mathématiciens, incapables de s'accompagner d'intuition, la géométrie euclidienne s'imposant seule comme forme a priori de notre sensibilité. Etablir la cohérence logique des métriques nouvelles, prouver l'indépendance du postulat des parallèles, trouver des interprétations intuitives de ce que l'on considérait comme des formes purement abstraites, fut le souci prédominant des Métagéomètres. C'est dans l'œuvre de Beltrami que l'on retrouve le mieux l'écho de ces préoccupations d'une fois.

Beltrami' eut l'idée d'interpréter les planimétries noneuclidiennes comme étant identiques à la géométrie des surfaces euclidiennes à courbure constante, positive dans le cas de Riemann, négative dans le cas de Lobatchefski,

1 Saggio cTuna. inlerpretazione délia Geomelria non-euclidea, ap. Giorn. Mat., 1868, p. 248-312; tracl. Houël, Ann. Ec. Norrn., 1869, p. 201-288.

à condition de faire correspondre aux droites noneuclidiennes les géodésiques de ces surfaces. Minding1 avait démontré que ces surfaces, et elles seules, peuvent se mouvoir librement en glissant sur elles-mêmes, et cela d'une triple infinité de manières. En distinguant les surfaces à courbure constante d'après la valeur K de leur coubure, et en appelant droites les géodésiques de ces surfaces, on obtient :

i° Pour K = 0, les surfaces développables, dont la métrique équivaut à la planimétrie euclidienne.

2° Pour K > 0, les surfaces applicables sur une sphère, dont la métrique équivaut à la planimétrie elliptique de courbure K.

3° Pour K < 0, les surfaces auxquelles on a donné le nom de pseudo-sphériques, dont la métrique équivaut à la planimétrie hyperbolique de courbure K.

La seule surface euclidienne à courbure constante positive est la sphère. On peut donc, comme l'avaient vu Lambert et Riemann, interpréter euclidiennement la planimétrie elliptique comme métrique des sphères ordinaires. Assimilons des droites riemanniennes aux grands cercles d'une sphère ordinaire, les courbes seront représentées par les petits cercles. On voit de suite que deux droites se rencontrent toujours et qu'elles ne sont jamais parallèles. On ne- peut pas prolonger indéfiniment une droite dans sa propre direction, puisque les droites sont des lignés fermées qui reviennent nécessairement sur elles-mêmes, si bien qu'il y a une limite supérieure imposée à la distance de deux points. Deux droites peuvent enclore un espace, ou, ce qui revient au même, deux droites qui ont deux points communs ne coïncident pas dans toute leur étendue. Enfin, l'espace riemannien est nécessairement illimité, puisqu'on peut parcourir le

1 J. reine anr/eir. Math., i83y, p. 3;8 ; 1849, p 32^..

périmètre d'une sphère sans jamais rencontrer d'obstacles; mais il n'est pas infini, puisqu'il y a une limite supérieure imposée à la distance de deux points. De l'illimité on ne peut donc pas conclure à l'infini, ce qui apparaissait à Riemann gros de conséquences métaphysiques, et laissait penser à Zôllner1 qu'on pourrait éviter la seconde antinomie de Kant.

Toutefois, si l'on peut identifier un plan riemannien à une sphère euclidienne, cela n'est vrai que lorsqu'on envisage les relations intrinsèques des points de ces surfaces, en faisant abstraction des points extérieurs.

La définition euclidienne de la sphère implique la considération d'un centre, et les distances de ce centre aux divers points des figures inscrites sur la sphère sont comptées suivant des segments de droites ordinaires, que l'on nomme rayons ou diamètres. Dans le plan de Riemann, un tel centre et de telles droites n'ont aucun sens : il y a toujours deux centres symétriques par rapport aux figures tracées, et les distances de chacun des points des figures à ces centres s'évaluent toujours suivant les droites riemanniennes. De plus, la définition du plan implique que, par toute droite, on puisse faire passer une infinité de plans : cette proposition est vraie de la droite riemannienne; elle n'a aucune signification au sujet du grand cerclé d'une sphère. « En résumé, dit Paul Mansion, le plan riemannien peut être considéré comme identique à la sphère euclidienne, si l'on n'étudie que les propriétés intrinsèques de ces surfaces ; mais, par le fait qu'on les qualifie d'euclidienne ou de riemannienne, on leur attribue des propriétés extrinsèques qui les différencient2. »

1 Zôllner, Zur Metaphysik des Raurnes, ap. Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, 1878, l. IL

'- Le Plan riemannien est-il identique à la sphère euclidienne? ap. Brux. Soc. se, L. XX, 1896.