S 2. - LA VIEILLE DISCUSSION ENTRE L'EMPIRISME ET L'INNÉISME

Celle sorte de conlradiclion inlrinsèque à leur nature a bien pu susciter au fond toutes les controverses philosophiques — et elles sont nombreuses — dont les mathématiques ont fait les frais : en particulier la question vieillie cl presque éteinte de Tempirisme et de Tinnéisme ou apriorisme.

Ce fut pendant longtemps la bête noire des philosophes de la mathématique, de savoir si celle-ci dérivait de Texpérience, de la considération des choses que nous voyons et touchons, ou si au contraire, indépendante de toute expérience, elle avait été inventée avec les seules forces de Tesprit.

Pourquoi les mathématiques — dont nous venons de noter le prodigieux éloignement, non seulement des choses qui se voient et se touchent, mais môme des choses qui se peuvent imaginer, — pourquoi les mathématiques dériveraient-elles de Texpérience?

Tout ne semble-t-il pas nous y montrer que cette idée est étrange : démarches purement logiques de tout raisonnement mathématique, inutilité

54 LA PHILOSOPHIE MODERNB

de tout regard sur le monde extérieur, conceplion de définitions arbitraires, jusqu'à défier les forces de rimagination humaine? Les mathématiques sont innées, en ce sens que la raison, toute seule, telle qu'elle existe chez Thomme, est suffisante à créer leur objet et la science de cet objet. Elles sont a priori en ce sens qu'elles peuvent se développer antérieurement à toute observation des faits naturels et indépendamment d'eux.

Par contre, n'avait-on pas tout aussi beau jeu pour développer l'autre terme de la contradiction, si l'on songeait à tous les services qu'elles rendent à la mécanique, à la physique, à la vie pratique ? Les ingénieurs sont des mathématiciens, les arpenteurs, les topographes aussi ; les physiciens' remplissent leurs livres de mathématiques, et de ces mathématiques qui paraissent le plus loin de toute chose imaginable. Nous comptons notre argent, le cultivateur mesure ses récoltes, l'épicier pèse ses marchandises : partout la mathématique est mise à contribution. Si elle sert à ce point nos relations avec les objets matériels, comment dire qu'elle est indépendante de leur considération, qu'elle a été inventée en dehors d'eux! Pour s'adapter ainsi à tous les objets de notre expérience, ne faut-il pas qu'elle en soit sortie?

Aujourd'hui cette discussion, qui amis aux prises tant de philosophes, semble oiseuse à la plupart.

LE PROBLÈME DU NOMBRE ET DE l'ÉTENDLE 55

On s'accorde à peu près à reconnaître que dans toute connaissance il y a une part d'à priori et une part d'empirisme. On ne donne plus, à Va priorij le même sens dogmatique qu'autrefois. Mais enfin on considère que dans toute connaissance il y a expérience et addition à reypérience par l'esprit : interprétation de l'expérience. Expérience et anticipation de Fesprit sur l'expérience, ces deux éléments sont mêlés en proportions variées : le premier, prépondérant en physique, tend à éli-» miner l'autre à mesure que les hypothèses se vérifient et que l'inconnu fait place au connu. Mais l'élimination de l'hypothèse n'est-elle pas une limite hors de toute atteinte? Le second est prépondérant en mathématiques et tend peut-ôlre aussi à éliminer l'autre, à mesure que sur les suggestions de l'expérience la raison construit des superstructures plus lointaines. Mais l'élimination de tout élément empirique n'est-eile pas aussi une limite hors de toute atteinte? Le mathématicien, font observer les rationalistes, pourrait continuer à accroître les richesses de sa science si le monde matériel était anéanti brusquement. Oui, ' sans doute, s'il était anéanti maintenant ; mais aurait-il pu créer la mathématique si le monde matériel n'avait jamais existé?... Toute la question est là, et l'absurdité de la dernière supposition vient de ce qu'il ne nous est pas plus pos- ^

sible de concevoir la raison en dehors de Texistence de tout monde matériel, qu'à Toiseau de voler dans

; le vide.

' Deux choses paraissent donc acquises, — D'une part l'expérience, au moins à litre occasionnel, a été nécessaire à l'invention de la mathématique. La raison est peut-être inconcevable si on l'isole de son milieu. Elle n'est que le résultat d'une abstraction qui, artificiellement, a pris à part une portion d'un tout en réalité indivisible, et ce tout comprend à la fois, est à la fois, expérience et raison, — D'autre part, les objets mathématiques ne sont pas des objets, naturels, même rectifiés, comme le croyait un empirisme grossier: la ligne droite n'est pas un fil tendu dont on oublie peu à peu l'épaisseur; le cylindre n'est pas un tronc d'arbre dont on supprime par la pensée les rugosités. Non, ce sont certaines relations des objets matériels qui ont suggéré l'invention des mathématiques : relations d'objets à ensemble d'objets (relations arithmétiques) et relations de position, de situation et de distance (relations géométriques). Les mathématiques ont étudié ces relations en les analysant d'une façon de plus en plus profonde. Elles ont été amenées, par cette analyse, à concevoir des relations nouvelles que ne présentent pas directement les objets matériels et qui ont des propriétés très éloignées du réel. Partant, ces re-

lations sont à peine imaginables, mais la raison peut les concevoir grâce à des symboles spéciaux.