CE QUE NOUS APPRENNENT LES MATHÉMATIQUES

Si Ton accepte ce que nous avons dit relativement à la méthode des sciences mathématiques, on voit que celle-ci nous donne toutes les garan-

lies désirables en ce qui concerne la vérité des résultats auxquels elle permet d'atteindre. On peut maintenant se demander en quoi consistent ces résultats, c'est-à-dire, d'une façon générale, ce que les mathématiques nous apprennent ?

Pour répondre à cette question il n'est pas inutile de nous reporter brièvement à l'histoire des mathématiques, puisque celles-ci sont en somme le résultat d'une adaptation réciproque de notre pensée et de certaines propriétés des choses et une connaissance de plus en plus complète de ces propriétés.

D'après la définition des mathématiques, les propriétés naturelles qui en font l'objet sont l'ordre, le nombre et l'étendue. C'est la science de l'étendue, nous Tavons vu, qui, historiquement, avec la géométrie grecque, a précédé comme science toutes les autres spéculations mathématiques.

La psychologie nous apprend de son côté que toutes nos sensations (qui sont les données immédiates et dernières de l'expérience) ont une propriété: ^ l'exlensivité ou retendue. Cette propriété ne ressemble pas du tout à l'étendue géométrique, surtout si nous considérons les sensations les plus affectives.

Les psychologues nous apprennent encore que l'espace physiologique, c'est-à-dire celui qui sert à guider nos mouvements (antérieurement à toute

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conception géométrique), est le résultat de TintefpréLalion de toutes nos sensations, en particulier de nos sensations tactiles et musculaires, par les sensations visuelles. Autrement ditj nous traduisons Tespace tactile ou musculaire en espace optique.

Dirons-nous que cet espace optique est l'objet de la géométrie et qne celle-ci détermine les différents rapports de nos sensations visuelles considérées au point de vue, et au seul point de vue, de Textensivité ? Mach a montré d'une façon très plausible que cette conclusion serait préhiaturée.

L'espace géométrique est le résultat d'une interprétation abstraite de l'espace optique, de façon à désindividualiser, à généraliser et à rendre plus maniables pour l'esprit les rapports qu'implique cet espace optique. Nous ajouterions volontiers â la pensée de Mach que cette opération a eu pour but de donner à ces rapports leur expression la plus exacte, la plus précise, une expression universelle et nécessaire, partant leur expression objective. Ainsi l'espace géométrique est raboutissant d'une évolution qui a adapté de mieux en mieux notre pensée à certaines propriétés du milieu. C'est une expérience prolongée et continue dans laiiuelle la réussite a fortifié constamment certaines habitudes qui sont devenues les principes de notre géométrie.

. I^ous avons déjà dit que des philosophes comme

Bergson, et des biologistes, comme Le Dantec. se sont plu à faire remarquer la place que tenait dans notre géométrie et par suite dans nos mathématiques et jusque dans notre logique la considération des solides. C*est qu'en effet nos sensations visuelles, tactiles et musculaires, nous sont à peu près toutes procurées par les corps solides. Quoi d'étonnant alors à ce que les expériences primordiales ayant porté sur les solides, ces expériences aient imprimé à notre science ultérieure une marque indélébile.

La géométrie nous apprend, donc, tout ce qui dans les choses peut être considéré du point de vue de retendue, et analyse toujours de plus en plus profondément cette propriété de nos sensations, qu'on a appelée Textensivité.

On pourrait en dire autant de l'arithmétique et de l'algèbre, par rapport à Tordre et au nombre : ceux-ci sont des propriétés secondaires de nos sensations, dérivant de la propriété qu'elles ont d'être étendues et situées, d'avoir chacune une position dans l'espace et de former ainsi des collections, des multiplicités, à moins que ces notions n'aient une origine plus élémentaire encore, dans les actes d'attention qui nous servent à discorner grossièrement nos sensations les unes des autres.

Pn faveur de la première hypothèse, on peut rappeler de nouveau que les Grecs n'ont guère su

d'abord calculer que géométriquement et que ridée de nombre a eu beaucoup de mal à s'abstraire chez eux de l'intuition géométrique. Si difficile pourtant et si lente qu'ait été cette abstraction, elle a fini par s'opérer à peu près complètement^ et l'arithmétique et l'algèbre se sont développées indépendamment de la géométrie, mais d'après des principes généraux analogues. Pour reprendre une expression chère à Mach, l'arithmétique et l'algèbre poussent encore plus loin que la géométrie l'analyse de nos sensations. Elles dégagent des rapports qui semblent avoir un caractère d'universalité plus accusé, et ces rapports seraient bien prêts de rejoindre, comme le pensent les mathématiciens modernes, Russel, par exemple, les rapports logiques. Ainsi, ce que les mathématiques nous enseignent, ce sont les rapports des choses au point de vue de l'ordre, du nombre et de l'étendue.

A force d'analyser les rapports réels qui existent < ritre les choses, notre esprit acquiert Naturellement la faculté d'en former de semblables, grâce aux associations par ressemblance. Il peut donc rnventer des combinaisons que nous ne trouvons a< dans la réalité en partant de celles que nous y ouvons. Après avoir formé des notions qui sont ' ^ «-opies du réel, nous pouvons former des notions ,ai sont des modèles, ainsi que le dit Taine, en un sens un peu différent.

Plus une science est ancienne, c'esl-à-dire plus simple est l'objet qu'elle s'est proposé, plus facile son étude, par suite plus rapides ses progrès, et plus est développée cette partie technique. De nos jours, dans les matliématiques, elle concentre presque uniquement Tactivité des mathématiciens. Ils créent constamment et arbitrairement des combinaisons nouvelles et ces combinaisons ont ceci de particulier c'est que, comme les machines des physiciens, elles peuvent trouver quelquefois leur application. La physique utilise souvent, par exemple, des spéculations mathématiques qui d'abord étaient purement imaginaires.

La mathématique crée donc un art qui est l'art d'exprimer tous les rapports possibles. Elle devient la science des fonctions et peut alors aspirer, selon l'idée profonde de Descartes, à devenir la mathématique universelle, c'est-à-dire à fournir les moyens nécessaires à l'expression précise de toutes les lois naturelles.

§ 11. — RÉSUmÉ ET CONCLUSION.

On comprend assez bien alors que les mathématiques, d'abord sciences du réel, puissent se présenter actuellement aux regards du mathématicien comme le produit de l'activité arbitraire de l'esprit. Leur origine historique ne les empêche nul-

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Icment d'avoir pris aujourd'hui ce caractère, elle fail qu'elles ont pris ce caractère ne les empêche pas davantage d'être, par leurs fondements et leurs parties élémentaires, une science du réel qui nous enseigne ses propriétés les plus générales et les plus simples.

On comprend aussi qu'inventées d'abord à l'aide de l'imagination et de l'intuition, sources de toute adaptation nouvelle, elles puissent se présenter ensuite comme le développement rigoureusement logique de leurs propositions préliminaires. L'intuition s'élimine, en apparence, pour faire place à la déduction rationnelle, comme toute adaptation inventive fait place aux habitudes stéréotypées, à mesure qu'elle réussit.

Le conflit méthodologique qui s'est levé depuis quelque temps entre malhémalicions intuitifs et mathématiciens purement déductifs, n'a-t-il pas une issue voisine? L'intuilion et la déduction se complètent, loin de s'exclure, et il n'y a pas seulement intuition chez le géomètre, mais même chez l'algébriste pur à chaque découverte nouvelle.

On s'explique alors^ même quand on ne croit pas pouvoir l'accepter, la position du rationalisme absolu : les mathématiques, promotion de la logique, simple développement analytique des lois de la raison, mais en même temps base iaébran-

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lable de toutes nos connaissances (Couturat, Riissel). Celte théorie a pris simplement le point d'arrivée du travail psychologique pour son point de départ. Et, renversant la véritable échelle des valeurs logiques, elle donne à la raison, qui est un produit dérivé, une résultante de l'ailaptaLion réciproque entre notre activité et celle du milieu, le rôle d'un facteur primitif, isolé, et simple.

Le rationalisme absolu semble assez bien fondé à prétendre, par une sorle de réalisme idéaliste, que les lois de la raison coïncident avec les lois des choses. Mais n'a-t-il point tort de séparer la raison et les choses, et de croire que c'est en elle seule et dans un splcndide isolement que la raison puise la connaissance des lois qui gouvernent les choses ? Il faut admettre alors que, par une concordance ou une grâce miraculeuse, nous possédions en nous, au moins en germe, Tintuilion de ces lois. Pour êlre rajeuni, le mythe platonicien de la réminiscence paraît une hypothèse à la fois bien gratuite et bien peu économique.

Oui, Tanalyse de la raison devient coextensive à Tanalyse de la nature. Oui les mathématiques, en procédant à la première, procèdent aussi à la seconde, ou, si Ton aime mieux, posent quelques-uns des éléments nécessaires à la seconde. Mais n'est-il pas plus simple de supposer que c'est parce que peu à peu notre activité psychologique

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se forme en s*accoininodant au milieu et aux circonstances pratiques dans lesquelles elle a à s'exercer ? Ainsi s'établissent et se précisent les lois fondamentales de la connaissance, ce système logique que nous appelons notre raison, et dont nos mathématiques ne sont que le complexe développement ? Noire raison est bien fille de l'inslinct animal ; notre évolution psychologique ne fait que continuer l'évolution biologique. Au fond, elle ne fait qu'un avec elle; et à aucun moment le psychologique ne s'isole du biologique, l'activité mentale de l'activité vivante et pratique.

Seulement comme il faut à un être plus complexe, s'il veut vivre, une connaissance toujours plus exacte et plus sûre du milieu, l'instiqct se transforme en intelligence, en raison et l'activité pratique en savoir.

C'est pourquoi si les différences sont très grandes entre le rationalisme absolu et la théorie qui a été esquissée ici sur la question d'origine et d'histoire, nous arrivons au contraire touchant la valeur et la portée des mathématiques, à des résultats très voisins : cette valeur et cette portée sont absolues, humainement parlant. Quant à parler plus qu'humainement et à un point de vue transcendental, j'avoue que je n'en connais pas encore le secret, et qu'il m'importe très peu de le connaître. La possibilité d'avoir des choses toute

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rintelligibilité humaine, leur traduction fidèle en langage d'homme, me suffît.

Certes, nous ayons d'abord appris les lois qui concernent ce qui est le plus usuel dans notre expérience, et nous avons été primitivement façonnés par ces lois, tout en les interprétant d'après nos besoins, nos tendances, en un mot, notre nature bio-psychologique.

Mais, pour avoir commencé par là, faut-il dire que notre science n'est pas un savoir véritable et qu'elle se borne à quelques recettes particulières à l'égard de certains objets particuliers?

Cette conclusion n'est-elle pas superficielle et par trop mesquine ? Le pragmatisme m'a tout Tair de tomber dans un excès diamétralement opposé à celui dans lequel tombe le rationalisme traditionnel. Celui-ci avait pris le point d'arrivée pour le point de départ et conclu du terme aux origines. L'autre au contraire rapproche, jusqu'à le confondre avec lui, le point d'arrivée du point de départ et décrit le terme d'après les origines. N'est-il pas plus raisonnable de penser, qu'après être sorti d'un anthropomorphisme utilitaire, les mathématiques ont brisé peu à peu le cercle subjectif de ce premier horizon. Elles ont, par une analyse sans cesse progressive, atteint quelquesuns des rapports réels, objectifs universels et nécessaires des choses.

En résumé, il semble qu'on puisse proposer les conclusions suivantes au sujet de la nature, de la valeur et de la portée des science9 mathématiques; les mathématiques sont depuis longtemps assex développées pour donner à Fesprit humain le pouvoir d'imaginer, de créer, des relations abstraites ' d'ordre, de nombre, de position, et plus généralement de fonction. Ces relations sont évidemment construites d'une façon arbitraire; elles sont de pures possibilités, et en ce sens les mathémati-t ques sont une science du possible qui déborde de beaucoup le champ du réel, et s'élabore mainte-t nant sans contact avec Texpérience et a priori.

Mais ces relations possibles ont été conçues sur le modèle de certaines relations de même ordre que nous offre l'expérience; et avant de pouvoir imaginer les premières, il a fallu étudier dans la réalité les secondes. En ce sens les mathémaliques ont une origine empirique et sont une science du réel. Aussi certaines relations élaborées a priori ei arbitrairement par l'esprit peuvent-elles précisément trouver ensuite leur application dans l'expérience, et servir aux études de fait des physiciens : elles sont en effet la conséquence de relations trouvées à Torigine par l'analyse de l'expérience. Elles sont et restent toujours possibles,

Ënfm, si les mathématiques sont une science du réel, elles ne sont pas un pur symbolisme, un

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inslrument inventé artificiellement pour les besoins de la pratique. Elles se rapportent à certaines propriétés des choses. Elles ont leur fondement dans la nature des choses de même que notre raison et notre logique dont elles ne sont qu'une application particulière et qui se sont au fond constituées de façon analogue.

Qu'importe le port par lequel nous avons abordé la réalité si, en l'explorant de proche en proche, nous arrivons quand mômei à en faire complètement le lour^

1 1. Historique et position actuelle du problème de la matière. — § 2. La crise de la physique à la fin du xix* siècle : la physique énergétique. — § 3. L'interprétation philosophique de Ténergétique. — § 4. Critique de la critique actuelle de la physique. — § 5. Ce que pensent de la physique les pliysiciens contemporains. — § 6. La matière d'après la physique contemporaine : vues générales. — § 7. Les enseignements concrets de la physique actuelle. — § 8. Résumé et conclusions.