CE QUE NOUS APPRENNENT LES WATHÉMATIQUES

Si Ton accepte ce que nous avons dit relativement à la méthode des sciences mathématiques, on voit que celle-ci nous donne toutes les garan-

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ties désirables en ce qui concerne la vérité des résultats auxquels elle permet d'atteindre. On peut maintenant se demander en quoi consistent ces résultats, c'est-à-dire, d'une façon générale, ce que les mathématiques nous apprennent ?

Pour répondre à celte question il n'est pas inutile de nous reporter brièvement à l'histoire des mathématiques, puisque celles-ci sont en somme le résultat d'une adaptation réciproque de notre pensée et de certaines propriétés des choses et une connaissance de plus en plus complète de ces propriétés.

D'après la définition des mathématiques, les propriétés naturelles qui en font l'objet sont l'ordre, le nombre et l'étendue. C'est la science de l'étendue, nous l'avons vu, qui, historiquement, avec la géométrie grecque, a précédé comme science toutes les autres spéculations mathématiques.

La psychologie nous apprend de son côté que toutes nos sensations (qui sont les données immédiates et dernières de l'expérience) ont une propriété: l'extensivité ou l'étendue. Cette propriété ne ressemble pas du tout à l'étendue géométrique, surtout si nous considérons les sensations les plus affectives.

Les psychologues nous apprennent encore que l'espace phytjiologique, c'est-à-dire celui qui sert à guider nos mouvements (antérieurement à toute

i.\ rnn,osoi'iiiE moder.ne

conception gôométriquei, est le résultat de rinlcr-prétalion de toutes nos son^^Mions. en particulier de nos sensations tactiles ri musculaires, par les

sensations visuelles. AutrenuMit dit, nous traduisons l'espace tactile ou musculaire en espace optique.

Dirons-nous que cet opa.e opti.jue e^t l'objet de lairooméhie et que celle-ci détermine les différent, rapports de nos sensations visuelles considérées au point de vue, et au seul point de vue de rextensivité ? Mach a mm.irA d'une faron Ires plausil)le que celte conclu.i.,n serait prématurée. L'espace géométriciue est le résultat d'une interprétation abstraite de l'espace opti(,ue, de façon à désindividualiser. à généraliser et à rendre plus maniables pour l'esprit les rapports qu'implique cet espace optique. Nous ajouterions volontiers à la pensée de Mach que cette opération a eu pour but de donner à ces rapports leur expression la plus exacte, la plus précise, une expression universelle et nécessaire, partant leur expression objective. Ainsi l'espace géométrique est l'aboutissant d'une évolution qui a adapté de mieux en mieux notre pensée à certaines propriétés du milieu. Lest une expérience prolongée et continue dans laquelle la réussite a fortillé constamment certaines habitudes qui sont devenues les principes de notre géométrie.

Nous avons dr.jàdit que des philosophes comme

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Bergson, et des biologistes, comme Le Dantcc, se sont plu à faire remaniuer la place que tenait dans notre géométrie et par suite rl.ins nos mathématiques et jusque dans notre logicpie la considération des sr///cA\<r. C'est qu'en eil'et nos sensations visuelles, tactiles et mu^^culaires, nous sont à peu près toutes jirocun'cs par les corps solides. Oiioi d étonnant alors à ce que les expériences primordiales ayant porté sur les solides, ces expériences aient imprimé à notre science ultérieure une marque indélébile.

La géométrie nous apprend, donc, tout ce qui dans les choses peut être considéré du point de vue de l'étendue, et analyse toujours de plus en plus profondément cette propriété de nos scn- .-alioiis. qu'on a aj.judée l'extensivilé.

(ni i.ourrait en dire autant de l'arithmétique et de l'algèbre, par rapport à l'ordre et an nombre : ceux-ci sont des propriété* secondaires de nos -ii-ations, dérivant d<' la proj.riélé qu'elles ont délie étendues et situées, d'avoir chacune une position dans l'espace et de former ainsi des collections, des multiplicités, à moins que ces notions n'aient une origine plus éléiiieiitairc encore, dans les actes d'attention (|ui nous servent cà discorner grossièrement nos sensations les unes des autres. En faveur de la première hypothèse, on peut rappeler de nouveau (jue les Grecs n'ont guère su

LA PIIirOSOPHIE MODERNE

dabord calculer que géométriquement et que THlecde nombre a eu beaucoup de mal à s'abstraire <-'ioz eux de l'intuition géométrique. Si difficile pourtant et si lente qu\iit été celte abstraction elle a fini par s'opérer à peu près complètement* et l'arithmétique et l'algèbre se sont développées indépendamment de la géométrie, mais d'après des principes généraux analogues. Pour reprendre une expression chère à Mach, rarithmétique et l'algèbre poussent encore plus loin que la géométrie l'analyse de nos sensations. Elles dégagent ,\e, rapports qui semblent avoir un caractère d'universalité plus accusé, et ces rapports seraient bien prêts do rejoindre.comme le pensent los mnfhématiciens modernes. Hussel, par exemple, les rapports loiriq nos. Ainsi, ce que les mathématiques nous ensei- •«eut. ce sont les rapports des choses au point ,1e vue de l'ordre, du nombre et de l'étendue. A force d'analyser les rapports réels qui existent dre les choses, notre esprit acquiert naturelle- Tit la faculté d'en former de semblables, grâce i'ix associations par ressemblance. Il peut donc inventer des combinaisons que nous ne trouvons pas dans la réalité en parlant de celles que nous y trouvons. Après avoir formé des notions qui sont des copies du réel, nous pouvons former des notion. qui sont des modèles, ainsi que le dit Taine, en un sens un peu ditTérent.

MM

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Plus une science est ancienne, c'est-à-dire plus simple est l'objet qu'elle s'est proposé, plus facile son étude, par suite plus rapides ses progrès, et plus est développée cette partie technique. De nos jours, dans les mathématiques, elle concentre presque uniquement l'activité des mathématiciens. Ils créent constamment et arbitrairement des combinaisons nouvelles et ces combinaisons ont ceci de particulier c'est que, comme les machines des physiciens, elles peuvent trouver quelquofni<; leur application. La physique utilise souvent, par exemple, des spéculations mathématiques qui d'abord étaient purement imaginaires.

La mathéniaticpie crée donc un art qui est l'art d'exprimer tous les ra[)porls possibles. Elle devient la science des fonctions et peut alors aspirer, selon l'idée profonde de Descartes, à devenir la mathématique universelle, c'est-à-dire à fournir les moyens nécessaires à l'expression précise de toutes les lois naturelles.