LIVRE I

doit remonter à ses origines. Elle date aussi du choix, pour la gamme musicale, d'une succession d'intervalles représentant avec les trois intervalles fondamentaux tierce (5/-4), quinte (3/2) et octave (2/1), les quotients de ceux-ci et les quotients de leurs quotients. Le rapport 4/3 ou la quarte résulte du rapport :

2/1 octave ^

3/^ quinte ~ 3'

0/5 ou la tierce mineure, du rapport :

3/:2 quinte 0 .

5/4 tierce "~ 5

Enfin, je la reconnais également dans la même gamme, à la succession des octaves de 1*^'', de 2« et de 3" rang, pour correspondre à une progression géométrique des hauteurs de la sensation.

Utiles aux arts, ces diverses étapes de là découverte des fonctions ne profitèrent pas à la science mathématique proprement dite. Il en fut autrement du travail des géomètres. Ceux-ci rencontrant les fonctions numériques de carré, de cube, etc., dans les mesures de longueur, de surface, de volume, en ont généralisé l'emploi et c'est d'eux finalement que les analystes ont appris à reconnaître les propriétés ou fonctions des nombres proprement dits. N'oublions pas que, si les géomètres se sont arrêtés dans leurs calculs à des formes si heureusement déterminées, c'est qu'un calcul intuitif, du genre de celui qui a fait choisir les notes de la «amme, avait

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précédé dans leur esprit toute mesure directe. Ainsi

fait l'enfant qui, avant de connaître les fonctions des nombres, en a la notion bien établie par la distinction des figures telles que carrés, cubes et sphères.

Les fonctions sont désignées, soit par leurs noms spéciaux, soit à la manière simple déjà usitée dans la langue des nombres fractionnaires par l'accouplement des composantes. Tantôt leur position relative et tantôt l'intervention des signes intermédiaires déterminent la position respective des parties.

Voici les fonctions successivement conquises au profit de la science mathématique par les géomètres :

1^ couple :

Y onci\on somme y = a-{-x

Yonciion di/férenct' !J^=^ '^'

2« couple :

Fonction ///w/m/^ tj^^ayc^x

Yonciioxïquolimt. ....... 2/ — ^

3« couple : i

Fonction puissance y=^x^

a Fonction ^.Y/c/w^ !/^^\Jx

Aft couple :

Fonction e^xpo)\entiellfi i/==a^

Yonciion logarHmiqiie^, . . . !J ~ ~^^

5e couple :

Fonction circulaire directe, ». y = sinx