LIVRE I

substitution de ces valeurs particulières donnera

Remplacez, dans cette citation du premier traité d'algèbre venu, le terme expression littérale par expression logique, et le terme lettre par le terme wjo/, et veuillez relire. L'argumentation demeure entière. Gomme en matlémathique littérale les expressions littérales et les lettres, de même en mathémathique logique les mots, les combinaisons de mots et, derrière

ces masques conventionnels, les idées qu'ils expriment, représentent des valeurs numériques.

Autrement dit : Il nest pas (Vidée hormis celles qui figure ht les trois moments de l' émotion, qui ne soit en dernière anahjse un nomlfir. et un nombre au besoin calculable.

Mathématique des chifYres ou arithmétique, mathématique des lettres ou algèbre, et mathématique des mots ou logique, autant de calculs de nombres, ne diffèrent en somme que par les signes conventionnels représentatifs des nombres.

Le Raisonnement

Le jeu des idées, calcul hjgique ou calcul par

mots, .1 nom le raisonnement. Jl est l'ensemble des opérations qui naissent du choc des idées. Appliqué à un groupe d'idées données, le raison-

nement aboulit à une harmonie terminale, la conclusion, document nouveau de la connaissance, idée nouvelle mécaniquement dérivée des précédentes par le seul jeu des émotions.

Ainsi limité, le calcul logique ou raisonnement tend nécessairement à déterminer des grandeurs les unes par les autres d'après les relations qui existent entre elles, et, plus précisément, à déterminer des grandeurs inconnues d'après les relations qui existent entre celles-ci, et des grandeurs connues, ce qui est d'après les auteurs lobjet incontesté de la mathématique. ! 1) On l'exprime autrement en disant du raisonnement qu'il tend à la démonstration de vérités

inconnues à l'aide des données de l'expérience et du calcul.

Veut-on comprendre le calcul des idées, il faut s'en rapporter à l'algèbre, de l'arabe al djabroum, qui signifie la réunion des parties. L'algèbre est la plus simple des langues, une langue qui suit pas à pas et par parties les opérations de la pensée, qui les désarticule en un mot. Tout ce que la pensée élabore et que la parole exprime peut-être dit en langage algébrique, Gondillac l'a déjà montré et nous allons en user, voulant par ce moyen mettre en lumière le jeu des idées.

Nous noterons d'abord que tout discours, autrement dit tout calcul d'idées, procède par <r phrases » autant adéquations algébriques dont nous aurons à

(i) Aug. Comte, I, p. 98 el p. 100.

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PRKMIÈRK PARTII-:

disséquer la charpente pour y reconnaître les pesées des idées et des émotions qui les composent.

Nous montrerons ensuite dans V « argumentation » les procédés usuels de la résolution des équations.

De la phrase. Enoncé ou mise en équation des idées

Je dis donc que toute phrase est une équation et veux le démontrer, en même temps qu'indiquer algébriquement les principales opérations de la phrase.

Pour additionner et pour soustraire les quantités algébriques, les écrire à la suite les unes des autres en conservant à chaque terme le signe qui le précède : ainsi procède l'algèbre. La logique procède de môme en remplaçant les lettres par des mots et les signes par d'autres mots encore. Le signe + s'y dit dit plus, et, avec. Le signe — s'y dit moins, sans, ni. Exemple :

En logique : barons et vilains sans sou ni maille.

En algèbre : b -^ v — s ~ m

Pour multiplier les quantités algébriques, écrire toutes les lettres qui entrent dans chacun des facteurs et les placer les unes à la suite des autres dans un ordre quelconque. Pour les diviser, les placer les unes au-dessus des autres en les séparant par un trait. Le produit et le quotient sont positifs toutes les fois que les deux factei^rs ont hi même signe, ils sont négatifs quand les facteurs sont de signes con