VUE GÉNÉRALE DE LA GÉOMÉTRIE

Circonscrire les volumes- les lûmac a i

les surraces e. son. -i.ts "ari::-;'::: ""' ^''""^^^^^^"'

grandeurs holZlel.''''" f'^ '"P^"''' «"'^«"«^

lignes est d.rec.e, ll-Lr^r 'L, ts^orri" '% "^"^ l'e peul jamais êlre directe 0» J 7 *"' "'*'''""«'*

superposées ;„,ais)a~^^^^^^^^^ ''-- «g-es

possible, ni celle de de,n surf c s hÎ , " "^''""•"«^ "'«^' P^^

lagrandeur ,1e sa surface ou de son "21 n r"'',""."""sert de ces lignes, directement mesurab^pot; ^IZf"' T rapport de la surface ou du volume cl e ebés à I ^ité H '

procédé, nous avons la possibilité rie Jh • . "'*'"" '"^ 'le lignes toutes les qïeSon 'et '"■' " '^'' ''"^^"•"'^ surfaces envisagés ouani T« f "" '"'"'"'' '' '«"*

quand la mé.bod ra Inelt eviemTrl"^' " T ""' •'"^• difficile, on a recours au/lt • rS 'Sï^LT'' et de volumes. Mais de telles mesures ne s „ pas re^S

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existe toujours certaines lignes droites dont la longueu r détermine celle de la courbe. C'est ainsi que la longueur du rayon d'un cercle donne celle de la circonférence, et que la longueur d'une ellipse dépend de celle de ses deux axes.

Ainsi, la science géométrique a pour objet de ramener les comparaisons de toute sorte d'étendue à celles de lignes droites, les seules susceptibles d'une comparaison directe, et, en outre, les plus faciles à traiter.

Je dois mainten anl signaler une section spéciale de la géo métrie, exclusivement consacrée aux lignes droites, à cause des difficultés quelquefois insurmontables que présente leur comparaison directe . L'objet de celte branche distincte est de déterminer les lignes droites les unes par les autres, d'après les relations propres aux figures quelconques résultant de leur assemblage. Celle opération est évidemment très importante, puisque aucune question ne pourrait être résolue si la mesure des lignes droites, dont les autres dépendent, ne pouvait être déterminée. L'ordre naturel des différentes parties de la géométrie ratioflnellc est donc d'abord la géomôtrie des lignes^ à commencer par la ligne droite, puis la géomélrie,des surfaces, et, finalement, celle des volumes.

Le champ de la géométrie est illimité. Elle peut donner lieu à autant de questions qu'il y a de figures concevables, et la variété des figures concevables est infinie. Quant aux lignes courbes, si nous les envisageons comme engendrées par le mouvement d'un point assujetti à une certaine loi, nous ne pouvons limiter leur nombre, puisque la variété des conditions distinctes est infinie, chacune en engendrant de nouvelles, et celles-ci donnanlnaissance tàd'autres. Les surfaces, aussi conçues comme engendrées par des mouvements de lignes, non-seulement partagent toutes les variétés des lignes, mais elles en ont d'autres à elles propres, résultant d'un changement de nature dans la ligne . Il ne saurait y avoir rien de semblable dans les lignes, puisque les points ne peuvent décrire une figure. Ainsi, il y a deux classes de conditions distinctes, d'après lesquelles les formes des surfaces peuvent varier; aussi est-il permis de dire que, si les lignes ont une infinité de changements possibles, ceux des surfaces sont doublement infinis. Quant aux volumes, ils ne se distinguent les uns des autres que par les surfaces qui les ter-

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minent, en sorte qu'ils ne rfnnn^^i i- .

spéciale. Si nous^j Lons e r " '"'""^ -nsidération

faces elles -mê^es ^ffren , 'no TuT'"'.''" '^^ "■de nouvelles courbes i>ukn,,J2 , ''''^" ^^ concevoir

cornue produite parVl^rcS^rdr sS'"^ '''''''' naîtra que, en partant d'un très n^tl. .? l . ''^'''""'^'^°"nies pari-observation onnen, 1^ '"'"■' ^'^ ''^"''«^ '"''"'•infinies de formes ï s'tincfes ce '!" "■ ""' ''''''' ^'^^'""'"«"' champ rigoureusement ilSé ^ """"' * ^' «^'""^'^^ "«

La relation entre la £r(''ompirip ,1,0. •. concrète s'établit par l'éZTÏ '"" "' '* «^«'"étrie

surfaces. A mo „s dl ÏL, ' ^"'"'"''"''^ '^'^ "?"«« e, des

moyens de les reconntreiamrnr ""' ''''' ''"'' ""« nalure, saufdansleîa ^e'^n^-^^ '"' Couverions dans la

nous désirons vè if eritrl^^^^^^

découverte de Kepler que 1 eZsr^ "n ""'"""'^''^ ?»'' ^«"« nèles décrivent autour du oie 1 1 > " 'r'^' ''"'' '«« P'«- Pianétes. Or, cette dlo;ver, 'nW^ril '''"-"'""^ '' '^"^ géomètres s'étaient bornésTconcevo l' n"' '" ^'"' ^' '«^ «ion oblique d'un cône ctcZ7lf''TT''''^^^ propriétés des sections coniaue /•,'"'"• '^"""^^ '«^ spéculatifs des géomètres grecTlatT"" "" '" "•"«" Kepler pm passer de rabstrÏ! au I crerr^r" ''"^ parmi elles celle qui pourrait être le nZ f •'. *='""^'^««nt pour les orbites planétaires Vw ^ ^f ''«"'enl constatée découvert que la ' urf e 7e ,a t eTs^'s"?" "'''"'•«■'«•« vait connu d'autre propriété de Tsnh' '^""''' '' "" "'«- Primitifd-avoir tous ses n-nt > "^ ''"* '"" "'"''^^'^ intérieur. I. étaitld spe. s df 'T"' t'^"'^ '''•'" P»'"' quelques propriétés r l/l eT-!'^-""^ ^''''"'"■- "•ait au fait concret II en ImTa ^ ! " •^^'«"""emenl absque la «erre nls'rrV'""^™' P'"' '=''•'' P-'^'-P'-ouver

formeestceied- n'eL M T"' ''!''"''''' '"«'"^ ^"^ ces travaux n'est n,s en t ! t ""■ ^' P*""-^""" ^e nous avons dônneTi? ""'l''''^''^"'"' «ve<= '« définition que

épuisé celle des sections coniques. Si, depuis le tenflps de Descaries, elle est devenue moins importanle, ce n'est pas qu'elle soit près d'êlre lerminée. Ici s'ouvre une aulre infinilé. Nous avions déjà le champ infini des liiines, puis le champ doublement infini des surfaces, et maintenant, nous voyons que non seulenent la variété des figures est inépuisable, mais, aussi, la diversilé des points de vue sous lesquels une même forme peut être envisagée.

Il y a deux méthodes générales de traiter les questions géométriques. On leur donne habituellement le nom de géométrie synlhéliqueet degéoméirieanalyli(jue. Je préférerais la dénomination historique de géométrie des anciens et de géométrie des modernes. Mais il est, à mon sens, encore préférable de les désigner par les noms de géoméirie spéciale et de géométrie générale, qui me paraissent plus propres à caractériser leur nature.

L'usage du calcul n'était pas, ainsi qu'on le pense communément, inconnu aux anciens, puisqu'ils faii^aient des applications de la Ihéorie des proporlions. La didérence entre eux et nous, à cet égard, est moins dans l'inslrument de déduction que dans la nainre des questions considérées. Les anciens étudiaient la géométrie par rapport aux corps à connaître, ou spécialement : les modernes 1 étudient par rapport auxpliénomènes à considérer, ou généralement. Les anciens étudiaient une à une les diverses lignes et les diverses surfaces avant de passer à Pexamen d'aulres formes, et chaque recherche n'était d'aucun secours à la suivante. Les modernes, depuis Descaries, se livrent à des recherches relatives à des figures quelconques. Ils séparent, pour la traiter en elle-même, chaque queslion se rapportant à un même phénomène géométrique, quel que soit le corps dans lequel il puisse être considéré. Par ce moyen, les géomètres se sont élevés à l'étude de nouvelles conceptions qui, appliquées aux courbes étudiées par les anciens, ont manifesté de nouvelles propriétés dont ces derniers n'avaient pas eu l'idée. La supériorité de la méthode moderne saute aux yeux. Le temps primitivement dépensé, la sa gacité et les efforts qu'exigeait la considération des détails, se trouvent infiniment économisés par la méthode générale employée depuis la grande révolution de Descaries. L'avantage,

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pour la géoméirie concrète, n'est n.s mni w géoméirie abstraite ; car la constainf ? '' ^"' P'"'' '^ tnques dans la nalu. étai /: ï';; ^ f^T ''''''' iignes, et l'appHca.ion de Jalu^^^^^^^^

existant pouvait n'être que fortuite eui' '" '''^'

douteuse; tan.is que, pi ,a rSlt^^r'::^^ ^" réelle ne saurait échapper à i'apnlicaiinn h ^ "' '^"'"^ analytique, aussitôt que ses él Z^^ connus. Cependant, Panciem e S ^^^^-^-'^-s sont élait nécessaire qu'elle précédât lat^^^^^^^^^^ ^* '^

leur procédé spécial, ont accumulé les I^i '"'''"^' ^'^ servir de base à la méthode ,é.Sa ' ? '"' ^"* '^'' '''''' Il est évident que le calcul nJT ^"' ^'' ^^^^^''t^s-

science quelcoiue.LsÎLioLr''' ''"' '^^^'^'"^ ^^'""« de départ des «Lux anS^ '^^^^^^^

l'élude directe du su^et, ^^^ ^Z^ ^^^^^^^^ relations précises. "^ ^ '^' découverte de

Nous examinerons brièvement la i^éométrip à.. comme constituant une introduction indTs^rs,!! TT modernes et nous mettrons dans tout le rTouH ! ' ^''

la première, la géométrie spéciale e "/?''''"' ^" seconde, la géométrie généra e dé -£!""""' "'^^ '' science géométrique proprement dite '"'^ ^" ^'"^^^^"^ ''

iNous avons vu que la iréométrie P<t „n. • '•observa,ion, q.oï.ue lel .aS 1 "irrVr'" '"' soient peu nombreux et simnipc n ^ ^ observation

que soient ,es raiso;,n r. Ï'u ^ 1:^,^'" '' ^^""^"^"^^ de déparl. Les seuls matériaux ort '"' '^' P"'"'

l'élude directe se rapporlentTb T T ■^""'' '^''"''' P»^ •He des ligne, à iJî^Z,':^:^:^^' % ^-'"^enfln à la cul>a,ure des corps .erl „ fp^^^^^^^^^^^ 'i^*'"''^"- "'

«•de corps ai::\t^^:^7Jt:":r^

'es autres formes, même celles du cëS " et H '?' ""'' volumes qui s'y rannoriPr.. „o ''^^ surfaces et

de Ja géoLtrie^ Eë LesT ''^"'^" ''"' '« '*'""-"« venons de parler fourrent d,?*"?" P'"'''"'"^^ •'°"' "«"«

* i I > Il 1».

inutile, mais on ne pourraif. se passer d'aucun. On a quelquefois cherché à éleiuire l'analyse de façon à dispenser d'une partie de ces fails : mais agir ainsi c'est simplement revenir aux procédés métaphysiques, en présentant des faits réels comme des abstractions logiques. Plus on conçoit la géométrie comme étant de nos jours essentiellement analytique, moins on doit perdre de vue la base d'observation sur laquelle est fondée la science géométrique.

Quand je vois qu'on essaye de démontrer les axiomes, j'incline à penser qu'il vaudrait mieu.x donnera l'observation plus d'extension qu'il ne serait rigoureusement nécessaire, que d'employer la démonstralion logique dans une région où l'observation directe serait plus efficace.

Il y a deux manières d'étudier la ligne droite, l'une graphique, l'autre algébrique. L'objet qu'on a en vue est de déterminer les uns par les autres les divers éléments d'une figure rectiligne quelconcjue, ce qui permet de connaître toujours indirectement une ligne droite, dans quelques circonslances qu'elle puisse être placée. La solution graphique consiste à rapporter à volonté la figure proposé^ , soit avec les mêmes dimensions, soit surtout avec des dimensions variées dans une proportion qiielconque. Les anciens, à l'origine de la science, faisaient grand usage de la méthode graphique. C'est de cette manière qu'Aristarqiie de Samos exprima la distance du soleil et de la lune à la terre, en prenant des mesures sur un triangle construit le plus exactement possible, de façon à cire semblable au triangle rectangle formé par les trois astres à l'instant où la lune se trouve en quadrature, et où, en conséquence, il suffisait, pour définir le triangle, d'observer l'angle à la terre. Archimède, lui-même, quoiqu'il eut le premier introduit en géométrie les déterminations calculées, a plusieurs fois employé de semblables moyens. L'introduction de la trigonométrie en amoindrit l'utilité, mais sans en supprimer complètement l'usage. Les Grecs et les Arabes s'en servent encore en un grand nombre de recherches pour lesquelles nous regardons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable.

La méthode gniphique ou de construction ne présente aucune difficulté théorique lorsque toutes les parties de la figure proposée se trouvent dans le même plan, mais elle doit recè-

VDE CÉKÉUALE DE M GÉOMÉTRIE. ,.„,

lèmos ,!e pn.jrcion ol n. "'""^^■'^'"'»"^ «' différents sys-

placer les con.truc.ions en relief nTr 3 V f""'""" ^''"- T^lleô.ai. la destination deler^Ï /,:;::"''?" ^J^"-' pla..es qui longtemps ont snppléé hcn^v"'''' ^"^'"'' les éléments de ce que nonsnnlo^ > "' •="""»'"ssaient

quoiqu'ils ne les out„ 7^ 'rotVîr:"'''^^^^^''^^ et générale. ^ ^"' '' ""^ '"'-""«re distincte

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que les questions de ce genre éla é. "' ""=""""

essentiellement, les uns aux contnni» ,"■"'"' ^'^ "Pportant "■ons des sur/acés et suscëntil!! • ' ' '"'''' """^ '""'«'•«e'--- '-'.os ; en sorte qU' ZT^]'2:''"'" ""^- '"'' P""'' peuvent se produire dans les i,E ' "rtfd l"""'"'"^ '"" la coupe des pierres la rh.n.n '"^ construction,

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C"'"me de simples c.narH^'nlT '""''' ^""^ "-^'''ées

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Ce..e c^éMion'Ii? i r ~;7- "7'- ^ chaque cas.

P^i^^sop|,.squiconçoiventln';™nbeK' ■'"'''' '"' ^^^ ^es '-,n.-e comme nkntqu-.rt'- ""'''' '''''"' -'- générale des trava'ux Imi*^^ .rdoir-""' ''"■''- '"US nos arts nu caraclèrp rl« ' ' ""P'''"ier â

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moins aisément, à toutes les autres opérations industrielles. Monf^e qui, mieux que personne, a compris la philosophie des arts, essaya d'esquisser un système philosophique des arts mécaniques, mais sans obtenir d'autre succès que celui d'indiquer la direction que devaient prendre les recherches de cette nature. On peut dire en outre, de la géométrie descriptive, que sous le rapport de l'éducation intellectuelle, elle exerce utilement la faculté d'imagination qui permet de se représenter dans l'espace des combinaisons géométriques compliquées ; et que, tandis qu'elle appartient à la géométrie des anciens par le caractère de ses solutions, elle se rapproche de la géométrie des modernes par la nature des questions qui la composent. Consistant, comme nous l'avons dit, en un petit nombre de problème abstraits, obtenus par des projections, et relatifs aux contacts et aux intersections de surfaces, les solutions invariables de ces problèmes sont à la fois graphiques, comme celles des anciens, et générales comme celles des modernes Cependant, en tant que destinée à une application industrielle, la géométrie descriptive n'a été traitée ici que sous forme de digression. Laissant donc la solution ijrapliique, nous allons passer à l'autre branche, la solution algébrique.

Quelques personnes pourraient s'étonner que cette branche ne soit pas traitée comme appartenant à la géométrie générale Mais, non seulement les anciens furent en réalité les inventeurs de la trigonométrie sphérique et recliligne, quoiqu'elle soit demeurée imparfaite en leurs mains, nh'iis encore les solutions algébriques ne font pas partie de la géométrie analytique, et ne sont qu'un complément de la géométrie élémentaire.

Puisque toute ligure rectiligne peut être décomposée en* triangles, il suffit de déterminer les différents éléments d'un triangle les uns par les autres, ce qui réduit la polygonométrie à la simple trigonométrie.

La difliculté consiste à former trois équations distinctes entre les angles et les côtés d'un triangle. Ces équations une fois obtenues, tous les problèmes trigonométriques se réduisent à de simples questions d'analyse. Il y a deux manières d'introduire des angles dans le calcul. On les y fait rentrer directement, par eux-mêmes ou par les arcs circulaires qui leur sont proportionnels; ou indirectement, par les cordes de