CHAPITRE PREMIER

Malhén>aU<|UC abstraite et mathématique concrète.

En commençant à entrer direc.emen. en "'«t-'-J P»/ ''^'J^f^ ,le h i-remière des six sciences, nous avons l.eu de constater :iSen,ent l'importance de la philosophie posU.ve pour perfectionner le caractère de chaque sc.ence en P«r'.cu e • ' Ouoique la mathématique soit la plus ancienne e 1. plus paSe de toutes les sciences, l'idée générale quo^^to. en former est loin d'être nettement déterminée. La ff^"^ la science, ses principales divisions, sont demeurées j imiu .ç va r e incertaines. Le nom multiple par lequel oti a déîne ordinairement indique le délaut d'un.te de son caractère philosophique tel qu'il est conçu -"•"""7;"'; J; effet c'est seuletttent depuis le com.nencement du dern.er siècl'e qu'elle a pu être conçue comme un ensemb e ; et, e Itis,';: géome^tres ont èté trop absorbés P- '« Per ec ton nement spécial de ses différentes branches e '^ ) .^' "" nu'ils en ont faite aux lois les plus importantes de I uni er 1 diri-er leur attention sur le système gênera de la L nce Ma s aujourd'hui le progrès des spécialistes n'es, plus llem nt rapide qu'il interdise la contemplation .le ensemb La m théJlique a maintenant atteint un degré de consistance qui permet de s'efforcer de coordonner ses dtversesTirtïes en un système, alin de déterminer de nouveaux pro. rè^Les derniers perfectionnements des mathématiciens ont préparé cette importante opération, en montrant avec

évidence, clans ses principales parties, un caractère d'unilé qui n'existait pas auparavant. Tel est, éminemment, l'esprit des travaux de l'incomparable auteur de la Théorie des fonctions et de la Mécanique an ahj tique.

La dérinition qu'on donne habiluellement de la science malhémalique de science des grandeurs, ou, ce qui est plus positif de science qui a pour but la mesure des grandeurs, est trop vague et insignifiante pour avoir été employée autremeni que faute d'une meilleure. Cependant, l'idée quelle renferme est juste au fond, et a même une étendue suffisante lorsqu'on la comprend bien ; mais elle manque de précision et de profondeur. Il est important, en pareille matière, de ne pas se départir sans motif des notions généralement admises ; aussi nous verrons comment, en partant de ce point de vue, nous pourrons nous élever à une définition digne de l'importance de l'étendue et de la difficulté de la science mathématique.

La question de mesurer une grandeur ne présente à l'esprit d'autre idée que celle de la simple comparaison immédiate de cette grandeur avec une autre grandeur semblable supposée connue, qu'on prend pour unité entre toutes celles de la même espèce. Ainsi, quand nous définissons la mathématique comme ayant pour objet la mesure des grandeurs, nous en donnons une idée très imparfaite et qui ne paraît pas devoir donner lieu, sous ce rapport, à une science quelconque. Il semble, d'après cet énoncé, que nous parlions seulement d'une série de procédés mécaniques, tels qu'une superposition de lignes pour obtenir la comparaison des grandeurs, au lieu rie cet immense enchaînement de raisonnements qui offre à notre activité intellectuelle un aliment inépuisable. Néanmoins, celle définition n'a d'autre défaut que celui de n'être pas suffisamment approfondie. Elle n'induit pas en erreur sur le but réel des mathématiques, seulement elle présente comme direct un objet qui est au contraire très indirect, et elle nous conduit ainsi à méconnaître la nature de la science. Pour rectifier celte vue, remarquons un fait général, facile à constater, c'est que la mesure directe d'une grandeur est souvent une opération impossible, de sorte que si nous ne possédions pas d'autre moyen pour déterminer la grandeur que les comparaisons immédiates, il nous faudrait renoncer à la trouver.

l'ii

j^Q LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

» «.âmP nouvons-nous mesurer une ligne droite par

LT:; ne /roi et c'est cependant .a plus simple Je

? .: PS mesures. La première condition, pour cela, est de toute, les mesu es p ^ ^.^^^^^^ ^^ ^^^^^ ^^^j,.

r""ZTas em U pour la plupart des distances qui lion nest pas renip' H J- j mesurer la

r if ;:r:o"r;s^:é! ïes ! ire :«.: li ,l é..^.. ceue

t a r eVqrique autre corps céleste, ui même pour

ï erminer le plus grand nombre des distances terrestres De

, ..Ton. ueur ne doit pas être trop grande ou trop pel.le.

lignes arl.1 celles, '«^« J^ l parvenons à rattacher ,,,rmina..or..re.u elles n ^^ p. ^^^^^^^^ ^^^^,^^^^

loules les »""-^^- = ' ; i-einbarras est bien plus grand

P"" % W e «. - ^ volumes, de vitesses, de temps, quand .1 s agU de su ac^, ,,„,es les «randeurs sus-

de forces, etc., et en >^n«"'' présentent

-*''^'*'", ?;^:btt;ture ;::: ir:d.ate . 'c-est le rail

"";;V' cet m l é inhérente à la plupart .les cas qui ^.ea?o nation de la science mathématique ; car, trou- "'? mesure docte si souvent impossible, nous sommes ;tét ardl^rchcr les mojens de lu déterminer .nd.ecte-

«. np IH ré<iuUe la malhémalique.

""T'm lllodT" éralequon emploie, la seule concevable, , de rtàctrles grandeurs en question à d'autres qu, pu.s- ^,^tectment déterminées, et de decouvnr les

"" nt r 1 ê r Tndlreete à des degrés différents. Il arr.ve ''În a! k grandeurs auxquelles il faut avo.r recours '""^^^.T miner les grandeurs cherchées, ne peuvent elles- SittrT «^eVdir.^ et doivent aussi deven.r le

mathématique: abstraite et mathématique concrète. 4t

sujet d'une opération antérieure, et ainsi de suite ; en sorte que Tesprit est souvent obligé d'établir une longue série d'intermédiaires entre le premier et le dernier point de ses recherches, points qui, d'abord, ne semblent avoir aucune liaison entre eux.

Il est facile d'éclaircir par quelques exemples ce que les généralités précédentes pourraient avoir de trop abslrail. En observant un corps qui tombe, on reconnaît qu'il présente deux quantités, à savoir : la hauteur d'où le corps tombe et le temps dosa chute. Ces deux quantités sont liées l'une à l'aulre, puisqu'elles varient ensemble et restent fixes simullanément. Dans le langage des mathématiciens, elles sont fo}ictiom l'une de l'autre. Quand la mesure de Tune est impossible on y supplée par celle de l'autre. En observant le temps employé par une pierre pour tomber au fond d'un précipice, nous pourrons déterminer la hauteur du précipice aussi exactement que si nous avions à mesurer une ligne horizonlale. Dans d'autres occasions, il nous est possible de connaîlre la hauteur d'où le corps est tombé et impossible d'observer avec précision le temps de la chute. Alors, nous avons recours à la question inverse, déterminer le temps d'après la hauteur; comme, par exemple, si nous voulions connaîlre la durée de la chute verticale d'un corps tombant de la lune sur la terre. Dans ces divers exemples, la question est très simple, du moins quand elle n'est pas compliquée par les considérations de variation d'intensité de la pesanteur, ni de la résistance du fluide que le corps traverse, etc. Mais pour agrandir la question, il suffira de considérer le phénomène dans sa plus grande généralité, en supposant la chute du corps oblique, et en tenant compte de toutes lestirconstances principales. Alors, au lieu de deux quantités variables liées par une relation très simple, le phénomène en présentera un grand nombre : l'espace parcouru, soit dans le sens vertical, soit dans le sens horizontal, le temps employé à le parcourir, la vitesse du corps à chaque point de sa course, et même l'intensité et la direction de son impulsion primitive, qui pourront aussi être envisagées comme variables, et enfin, dans certains cas, pour tenir compte de tout, la résistance du milieu et l'énergie de la gravité. Toutes ces quantités seront liées entre elles, de telle sorte que chacune

. .nnrrn Pirp déterminée indireclemenl, d\^près les :;:;s : "s e ':::.a„t de recherches .«.W-naUcues 1 V fde ràndeurs coexistantes dans le phénomène consi- T Veto ment très simple dans les rondilions phys.- Î^s c^ n C; peut .aire qu'une question ma.hémaUc,«e ^Wnilivèment lorl élémentaire, se place toul a coup au rang Se ci qu'ils dilllciles donl la solution complète et ngour..,^e surpasse les forces de l'espril humam. ,

pl ns un exemple dans la géométrie : supposons qu .-nie le déterminer une dislance qui n'esl ,>as susceptible Te u e ^ecte. Nous la concevrons comme l^-san, par Ue a-une fmre ou d'un système de lignes, cho.s. de telle so.te ue ses ul,es élén.nts puissent être i^'-diatemenl obse. e. P.r exemnle .lans le cas le pins simple et auquel tous les autres ! ..Tse r''dùire on considérera la distanceproposee comn.e rnUu':uia„gle dans lequel on po-r-t dé.ermmer ilirectemenl soit un aune coté et deux angles, so t deux î ,és e un seul angle. Dés lors, la connaissance de la d.s ance hercl e "'oblient , ar un travail mathématique qu. consiste a

déduir 1 dltanci inconnue des éléments observés, d âpre deau re .^ ^ jo„„„e ,1

'rr Ï:;.uT 0 ;i reren^Lt con,pliqué^i .s éléments ; sés'connus ne peuvent eux-mêmes être '^^^^^ d-une manière indirecte, à Ta.de de nouveaux s sternes Ix Ihi^s donl le n ombre est, quelquefois, très cons.dorable. La Ï e une fois déterminée, nous permettra dob.en.r de

n utlTesquantités, qu. donneront lieu à de nouvelles ques.o,. mathématiques. Ainsi, quand on sa.t a quelle distance .si ^tué un objet, robserva.ion simple et toujours possd.le de : diamètre apparent peut nous /'é-iier avec — ^; nuoique indirectemeut, ses dimensions réelles, e , par une Se de recherches analogues, sa surface, son volume, on poids même, e. un grand nombre .l'autres \--TTj"rlsi connaissance semblait devoir nous être ajama.s '"lerd. e-C ' nar de tels travaux que l'homme est parvenu a connaître, 0 1 seulement la distance des planètes à la terre, et par uite, leur distance entre elles, mais encore leur gran eu , leur véritable figure, jusqu'aux inégalités de leur su.face, e, clqui semble échapper d'avantage à nos moyens d inves-

tigation, leur niasse respective, leur densité moyenne, les circonstances principales de la chute des corps pesants à la surface de chacun d'eux, etc. Par la puissance des théories mathématiques, tous ces résultats, et hien d'autres encore, n'ont exigé d'antres mesures immédiates que celles d'un trèspetit nombre de lignes droites convenablement choisies, et d'un plus grand nombre d'angles. On peut môme dire, pour résumer la portée générale de la science, que si l'on ne craignait pas de multiplier sans nécessité les opérations mathématiques, et si, par conséquent, on ne devait pas les réserver seulement pour la détermination des quantités qui ne pourraient pas être mesurées directement, la connaissance de toutes grandeurs susceptibles d'estimation précise que les divers ordres de phénomènes peuvent nous offrir, serait finalement réductible à la mesure immédiate d'une ligne droite unique et d'un nombre d'angles convenable.

Nous pouvons maintenant définir la science mathématique avec précision, en lui assignant pour but la mesure indirecte des grandeurs, et en disant qu'on s'y propose de déterminer les (/randeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent entre elles. iusq[x'\c\,\es définitions lui ont donné le caractère d'un art ; celle-ci l'élève immédiatement au rang d'une véritable science. D'après cet énoncé, l'esprit mathématique consiste à regarder toujours comme liées entre elles toutes les quantités que peut présenter un pliénomène quelconque, dans la vue de les déduire les unes des autres. Or, il n'y a pas évidemment de phénomène qui ne puisse donner lieu à des considérations de ce genre, et de là résulte l'élendue naturellement indéfinie et la rigoureuse universalité logique de la science mathématique. Quant à son extension pratique, nous verrons plus loin sa limite.

Ces explications justifient le nom de mathématique employé pour désigner la science que nous considérons. l*ar lui-môme, il signifie science en général. Les Grecs n'en avaient pas d'autre, et nous pouvons l'appeler la science par excellence ; car sa définition n'est autre chose (si on en écarte la circonstance de la précision des déterminations) que la définition de toute science quelconque. Toute science consiste dans la coordination des laits ; et il n'y aurait pas de science, si les obser-

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valions étaient enlicreinerU isolées. On pourrait même dire, en général, que la science est essenliellemenl .lesUnee a nous dispenser de toute observation directe, en nous permeltanl ae déduire, du plus petit nombre possible de données immédiates, le plus ^rand nombre possible de résultais. N'est-ce point la, en effet. rusa!,'e réel, soit dans la spéculation, soit dans 1 action, des lois que nous découvrons dans les pbenomenes naturels ? S'il en est ainsi, la mathématique ne fait que pousser au plus haut degré, dans son domaine, des recherches que chaque science poursuit à dos degrés plus ou moins in erieurs dans s;, sphère respective. C'est donc l'étude des malhemaliques, et elle seule, qui peut faire comprendre complètement ce que c'est qu'une science véritable. Là seulement, nous trouvons dans toute sa fimplicilé et sa rigueur, la loi scienlilique et le plus haut degré d'abstraction que l'esprit humam puisse atteindre. Toute éducation scientifique qui ne part pas de ce point pèche par sa base.

Jusqu'ici, nous avons envisagé la science mathématique dans son ensemble. Nous allons maintenant considérer sa division fondaMienlale : les divisions secondaires seront examinées dans la suite. La solution de toute question mathématique se décompose spontanément en deux parties. L objet (te la recherche étant, comme nous l'avons vu, de déterminer (tes grandeurs inconnues d'après leurs relations avec des grandeurs connues, il faul.tout d'abord, parvenir .à connaître les relations existantes entre les quantités que l'on considère Ce premier ordre de recherches constitue la partie concr(>(.;de la so ution Quand elle est terminée, il ne reste plus qu'à résoudre une pure question denombres.consislant simplement a déterminer des nombres inconnus, quand nous savons par quelle relation ils se lient aux nombres connus. Cette seconde opération est . la partie abstraite de la solution. De là résulte la division fondamentale de la science mathématique en deux grandes sciences : la mathematu,ue abstraite et la »"'"""»''''!'"!,": crête. Celle division existe en toute question mathomat que complète, quelque simple ou quelque compliquée qu elle soit. Revenant au cas le plus simple de la chute d un corps, non scom,„encerons paî chercher la relation entre la hau eur d'où le corps est tombé et la durée de sa chute, ou, suivant

le langage des géomèfres, Y équation qui existe entre elles. Avant que cette première recherche soit terminée, on n*a aucune base de calcul. Cette détermination peut-êlre extrêmement difficile, et elle constitue la partie incomparablement supérieure du problème. Le véritable esprit scientifique est si moderne, que personne, peut-être, avant Galilée, n'avait remarqué Taccroissement de vitesse d'un corps qui tombe. On supposait naturellement (cette hypothèse étant la plus simple) que la hauteur était proporlionnelleau temps. Celle première recherche aboutit à la découverte de la loi de Galilée. La partie concrète une fois traitée, il reste la partie abstraite. Sachant que les espaces parcourus par le corps dans chaque seconde successive de sa chute, croissent comme la suite des nombres impairs, nous n'avons plus qu'à en déduire ou la hauteur d'après le temps, ou le temps d'après la hauteur, ce qui consistera à trouver que, d'après la loi établie, la première de ces deux quantités est un multiple connu de la seconde puissance de l'autre, d'où Ton devra finalement conclure la valeur de l'une quand celle de l'autre sera donnée. Dans cet exemple, la question concrète est la plus difficile des deux. Si le même phénomène était pris dans sa plus grande généralité, l'inverse aurait lieu. Suivant les cas, ce sera tantôt la première, tantôt la seconde de ces deux parties qui constituera la principale difficulté de la question totale : la loi mathématique du phénomème pouvant être très simple, mais difficile à obtenir, et, dans d'autres occasions, facile à découvrir, mais fort compliquée ; en sorte que les deux grandes sections de la science mathématique, quand on les compare en masse, doivent être regardées comme équivalentes en importance, en étendue et en difficulté, ainsi que nous le constaterons plus tard en considérant chacune d'elles séparément.

Ces deux parties, distinctes par l'objet que l'esprit s'y propose, ne le sont pas moins par la nature des recherches dont elles se composent.

La partie concrète dépend du genre des phénomènes considérés, et doit varier quand on envisage de nouveaux phénomènes ; tandis que la seconde, la partie abstraite, est complètement indépendante de la nature des objets et porte

^g LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

seulement sur leurs relations numériques. Ainsi, un grand nombre de phénomènes différents peuvent présenter les „.êmes relations, qui sont résolues une fois pour toutes par le Géomètre, tandis que la partie concrète devra être repr.se séparément pour chaque question. La parlie abstraite est donc Générale, la partie concrète spéciale. Le caractère de la mathématique concrète est expérimental et phjsu,ue, celui de la mathématique abstraite est logique et rationnel. La parlie concrète de toute question mathématique repose nécessairement sur une considération du monde exteneur tandis que la parlie abstraite consiste en une suite de déductions lo-iaues. Les équations une lois trouvées, en un cas quelconque rinlelligence n'a plus qu'à en tirer, sans aucun secours extérieur, les résultais qu elles renferment.

On voit par cette comparaison, combien est naturelle et profonde cette division londamenlalc. Nous allons maintenant circonscrire chaque section.

Puisque la maihémalique concrète a pour objet de découvrir les équations des phénomènes, il semblerait quelle doit comprendre autant de sciences distinctes qu'il y a de caterories de phénomènes. Mais il s'en faut de beaucoup quon soit parvenu à découvrir des lois mathématiques dans tous les ordres de phénomènes. En réalité, il n'y a jusqu'à présent que deux grandes catégories de phénomènes dont on connaisse constamment les équations, à savoir : les phénomènes eéométriques et les phénomènes mécaniques. Ainsi, la parlie concrète des mathématiques se compose de la géométrie el de la màaniiiue rationnelle. ' , , ,

Considérés d'un certain point de vue, tous les phénomènes pourraient être compris dans ces deux divisions. En effet. Us pourraient tous rentrer dans les lois de l'étendue ou dans celles du mouvement. Mais un tel point de vue est trop eleve, et cette transformation n'a pu, jusqu'à présent, s étendre qu'à l'astronomie el en partie à la physique terrestre. Nous persisterons donc à regarder la mathématique concrète comme uniquement composée de la géométrie et de la mécanique.

La nature de la mathématique abstraite est nettement déterminée Elle se compose de ce qu'on nomme le calcul, en prenant ce mot dans sa plus grande extension, qui embrasse