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depuis les opérations numériques les plus simples jusqu'aux combinaisons les plus élevées de Tanalyse Iranscendanle. Son objet propre est de résoudre toutes les questions de nombres. Son point de départ, qui est le terme des mathématiques concrètes, est la connaissance des relations précises, c'est-à-dire des équaiions, entre les diverses grandeurs que l'on considère simultanément. L'objet du calcul, si compliquées ou si indirectes que puissent être ses relations, est de découvrir les quantités inconnues par les quantités connues. Celle science, quoique plus avancée qu'aucune autre, est encore en réalité très imparfaite ; mais il faut, pour définir la nature d'une science quelconque, la supposer parfaite ; et le vrai caractère du calcul est tel que nous l'avons dit.
Au point de vue historique, l'analyse mathématique semble s'être formée sous l'influence des considérations de géométrie ou de mécanique ; mais elle n'en est pas moins indépendante sous le point de vue logique. Les idées analytiques sont, plus que toutes les autres, universelles, abstraites et simples, el les conceptions géométriques et mécaniques reposent nécessairement sur elles. L'analyse mathématique est donc la vraie base . rationnelle du système entier de nos connaissances positives. Nous pouvons maintenant expliquer pourquoi elle donne, non seulement plus de précision à nos connaissances réelles, mais encore, comment elle établit une coordination beaucoup plus parfaite dans l'étude des phénomènes qui comportent son application. Si une seule question analytique, résolue abstraitement, renferme la solution implicite d'une foule de questions physiques, il devient possible d'apercevoir des relations entre des phénomènes qui semblaient isolés les uns des autres, el d'en tirer, pour le considérer à part, tout ce qu'ils ont de commun. A notre grand étonnement, nous voyons surgir des relations imprévues entre des phénomènes qui, loin d'être, comme ils le paraissaient d'abord, sans aucune liaison, deviennent, pour nous, identiques. C'est ainsi que, sans le secours de l'analyse, on n'apercevrait aucune analogie entre la détermination de la direction d'une courbe à chacun de ses points, et f-elui de la vitesse acquise par un corps à chaque instant de son mouvement varié ; et cependant, aux yeux du géomètre, ces deux questions n'en font qu'une.
^g LA PHILOSOPHIE POSITIVE.
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modifier l'o^g»-^'"^ /"^'^'^^ ^, „" e des géomètres pour Cant, en certains cas, » «J^ ^fj ^„^, ;„„,s, négatives, quelques-unes de ces q' »"''«' |X" je là qu'une telle ou même contradictoires. Une r su te p ^ . „^^
méthode puisse être suivie «^;j;;<^^'^\P;;,giqu^e, la science compliqués ;mais,envisagee au point de vue lOb i
concret à Tabslrait en mathématiques, efface une telle dislinction et prouve que toutes les idées de qualité sont réductibles à des idées de quantité. Descartes n'avait en vue que les phénomènes géométriques; mais ses successeurs ont fiiit entrer dans celte généralisation, d'abord les phénomènes mécaniques, et, plus récemment, ceux de la chaleur. Il n*y a plus maintenant de géomètre qui ne la considère comme susceptible d'une application générale et qui n'admette que tous les phénomènes pourraient, logiquement, être représentés par une équation aussi bien qu'une courbe ou un mouvement, si nous étions toujours capables (ce qui est très loin d'être vrai), d'abord de la découvrir et ensuite de la résoudre.
Les limites de la mathématique ne sont donc pas dans la nature. Ces limites sont dans notre intelligence : elles rétrécissent considérablement le domaine de la science, à mesure que les phénomènes, en devenant plus spéciaux, deviennent aussi plus compliqués.
Quoique, ainsi que nous venons de le voir, toute question puisse être conçue comme réductible à une pure question de nombres, cette réduction n'est praticable qu'à l'égard des phénomènes les plus simples et les plus généraux. La difficulté d'effectuer cette transformation, quand on considère des phénomènes spéciaux, et, par conséquent, complexes, devient bientôt insurmontable; en sorte que, tout bien considéré, c'est seulement aux trois premières catégories, comprenant la plii/sicfue inorganique^ qu'on peut légitimement espérer d'appliquer ce procédé.
Les propriétés des corps inorganiques sont presque invariables ; et, par ce motif, la première condition de toute recherche mathématique peut être rempile à leur égard : c'est-à-dire que les différentes quantités qu'ils présentent peuvent être évaluées en nombres fixes; mais les corps organisés, par la variabilité numérique de leurs propriétés, sont inaccessibles à l'analyse mathématique. Un corps organisé, possédant solidité, forme, consistance, pesanteur spécifique, élasticité, etc., présente des qualités qu'il est possible d'évaluer numériquement et de traiter mathématiquement; mais il n'en est plus ainsi quand, aux propriétés physiques, s'ajoutent les propriétés chimiques. Les complications et les variations
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Vin-ilvse malhémalique. Plus tard, peui-eire, un ';. tncnbres fl existent dans les co-b.na.^n c -n, ïues, mais nous sommes très-lom d'en ^"'^ 'f f ^^ J"^^^^ ïifûeuilc des évaluations numériques est bien plus ma.i le le cor i nous passons aux phénomènes que presen n e cls considérés dans cet étal d'agitation continuelle de leurs Scr t?. constitue ,a rie. ; aussi es,-on e-core plus e.o^n de pouvoir appliquer l'analyse mathématique a « "'e Je la physiologie. Parla rapidité de '""■•^ «fangemen s e leurs n Silles variations nnmériq..es,.^^^^^ pratiquement macessibles aux proceaes m
Lus voulons évaluer les qualités, même les plu. '^I^Jj^ '" être vivant, par exemple sa densité moyenne, «« '«"^P J^^;-^: la vitesse de sa circulation intérieure, la proport, n des ments qui composent ses solides ou ses fluides, la ^ anti e d'oxigèie qu'il consomme en un temps donne ^^ ^TlZ .es absorptions ou de ses «''halaUons etc e a plus o e raison, l'énergie de ses forces musculaires, I mten. le de es impressions, etc.; il ne faut pas seulement f^'^^ »»tan^ ^J ^^ servations qu'il y a d'espèces ou de races et de ^^^^'^^J^^ rhanue espèce • on doit encore mesurer les changements SUece;; quantité en passant d'un ^^^^,^^^-:;^ et quant au même individu, tenir compte de son a^e, de son étia'ïe santé ou de maladie, de sa disposition ."'-,e,|re, de. circonstances de tout genre incessammen mobi e qu. I en tourenl, telles que h. constitution de l'atmosphère, etc I e"t évident qu'aucune précision mathématique ne peut être obtenue au tnilieu d'une telle complication. Les phénomène 0 aux étant plus compliqués, comportent par conseq n encore bien moins l'analyse mathématique^ Cela ne s.gn.fle pas qu'une base mathématique n'existe pas dans ces ca . au s. bien que pour les phénomènes qui manifestent en toute évideil la loi de la gravitation ; mais cela montre seuleme n nue nos facultés sont trop bornées pour nous permetlie de résoudre mathématiquement des problèmes si compliques. Nous sommes déconcertés par les divers phénomènes que présentent les corps inorganiques eux-mêmes, quand ils sont trop complexes. Par exemple, on ne peut douter que les phe-
nomènes méléorologiqnes ne soient soumis à des lois malhémaliques, quoique nous ignorions encore la plupart d'entre elles ; mais leur multiplicité rend les effets observés aussi variables et irréguliers que si chaque cause n'était assujettie à aucune condition précise.
Nous trouvons ici, d'ailleurs, un second obstacle dans le nombre des conditions à étudier : quand bien même nous pourrions connaître un jour la loi malbématique à laquelle est soumis chaque agent, nos faibles facultés ne pourraient saisir et mettre en œuvre un aussi grand nombre de conditions. Même dans les cas les plus simples, quand on veut rapprocher l'état abstrait de l'état concret, en tenant compte de toutes les circonstances essentielles, par exemple dans le phénomène très-simple de l'écoulement d'un fluide par un orifice donné, en vertu de la seule pesanteur, la difficulté est si grande que l'on n'a pas encore la solution mathématique de ce problème. Le cas est le même pour le mouvement encore plus simple d'un projectile lancé à travers un milieu résistant.
D'après ces explications, il peut paraître étrange au vulgaire que nous sachions tant de choses sur les planètes. Mais, en réalité, les phénomènes célestes sont les plus simples de tous. Le phénomène le plus compliqué que présentent les planètes, est celui de la modification que produit, dans le mouvement de deux corps tendant l'un vers l'autre en vertu de leur gravitation, l'influence d'un troisième agissant sur tous deux (le la même manière ; et c'est là une question plus simple que n'importe quel problème terrestre. Néanmoins, nous n'avons atteint, en ce cas, que des solutions approximatives. La haute perfection à laquelle Tastronomie solaire a été portée par l'usage de la science mathémathique, est due à ce que nous avons profité des facilités pour ainsi dire accidentelles, qu'offre la constitution de notre système planétaire. En effet, les planètes dont il se compose sont assez peu nombreuses ; leurs masses sont très-inégales et beaucoup moindres que celle du soleil ; elles sont fort éloignées l'une de l'autre, leurs formes sont presque sphériques, leurs orbites sont presque circulaires et ne présentent que de légères inclinaisons mutuelles, etc. ; «l'où il résulte que leurs perturbations sont, le plus souvent, peu considérables; et tout ce que nous avons à faire consiste habi-
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tuellemenl à tenir compte, concurremment avec raclion du
: luur cha,ne planète, de ''"""-- /''Tlt^.Pfts capable par sa grosseur et sa proximité, d occa onner des San emenls sensibles. Si quelques-unes des conduions men- Îonnïs plus Haut avaient été dilîérentes,en supposani la même lide la^ravitation, nous ne serions pas encore parvenus uta d couv A et si noùsvoulions calculer d'apn. lamêmeloi es „rénom n^s chimiques, la solution serait aussi impossible ÏeUe e s;rait en astronomie, si les conditions des corps SellLetïent telles que nous ne puissions pas les soumettre
à l'analyse mathématique.
En montrant que l'analyse mathématique ne peut être
apXuée qu-à la physique inorganique, nous avons plutôt
é£i que îesireint son domaine. Sa rigoureuse un.versahe
u pit de vue logique, été établie. Mais prétendre qu el e
e'st ans la pratique applicable au même degré, sera.t s.mple-
Slluiaounier l'esprit humain de ^^ ^^^" ^^^^^^^
pour la recherche d'une perfection impos ible . '«s ..en es
les iilus difliciles doivent rester, pour un temps indéfini, dans
cet a. réliminaire qui prépare pour les autres I époque ou
es deviennent access'ibles aux théories .nat'>é-t.ques No
devrons donc étudier les phénomènes compliques d apns les
c r L et les relations sous lesquels ils se présentent a
Ztus abstenant d'introduire ''e^co-•■dé-Uuns e Ji-
lilés et de lois mathématiques, qu'il nous est impossible
"'^^SEons aux mathématiques le Po;"' f ^f j;;^ i'.: philosophie positive ainsi que sa méthode. Des que ceU Lthod • a été introduite dans les autre sciences, on lut nalu Sm nt porté à l'étendre trop loin. Mais chaque sc.enc a ail slir l la méthode des modifications déterminées pa, les S;;;:mènes qui lui som propres, et a pris aiivs. son caracter délinilif, qui ne doit jamais être confondu avec celui d aucune autre science fonilamenlale.
A ant exposé, autant qu'ils peuvent l'être |.ar un tel aperçu le bitle c ractWe et les relations générales de la science maiLmalique. nous allons passer à l'examen des trois grand » ^a^ZZn elle est composée : le calcul, la géométrie et la mécanique rationnelle.
