CHAPITRE II

Vue générale do l'analyse malhémaliquc.

Le développement historique de la partie abstraite de la science nialliématique a, depuis Descartes, presque toujours été déterminé par celui de la partie concrète. Cependant, on doit considérer le calcul dans (ouïes ses branches principales, avant de passer à la géoméirie et à la mécanique. Les parties concrètes delà science dépendent des parties abstraites qui en sont tout à fait indépendantes. Nous allons donc procéder à un rapide examen des principales conceptions de l'analyse.

Mais d'abord, il faut approfondir plus qu'on n'a coutume de le faire l'idée fondamentale d'équation, et voir cond)ien elle s'éloigne de celle ([u'en ont généralement les géomètres. Car, si ce point n'était pas tixé, nous ne pourrions déterminer avec précision le but réel et l'étendue de lamalhémaliqne abstraite.

L'objet de la mathématique concrète est de découvrir les équations qui exjjriment les lois mathématiques des phénomènes que l'on considère ; et ces éciualions sont le point de départ du calcul qui doit en déduire la détermination des quantités les unes par les autres. C'est seulement en nous formant une idée vraie d'une équation, que nous pourrons tracer la ligne réelle de démarcation entre la partie concrète el la partie abstraite des mathématiques.

On donne un sens beaucoup trop étendu à la notion d'équation, quand on suppose qu'elle signifie toute espèce de relation d'égalité entre deux fonctions quelconques des grandeurs que l'on connclère ; car, si toute équation est une relation d'égalité, il s'en faut bien que, réciproquement, toute relation d'égalité soit une équation du genre de celles auxquelles, par leur nature, l'analyse est applicable. 11 est évident que cette confusion rend à peu près inexplicable la difficulté qu'on éprouve à établir la relation du concret à l'abstrait dans chaque grande question mathématique prise à part. Si le mot équation signifie ce qu'on suppose communément, il n'est pas aisé de voir de quelle grande difficulté pourrait être l'étabUssement des

54 LA PHiLOSOPIIIE POSITIVE.

équations d'un problème qiieîconque.Mais la notion d'équation, telle qu'on la conçoit ordinairement, ne correspond aucunement au sens réel que les géomètres attachent à cette expression dans le développement effectif de la science

A mon sens, les fonctions doivent être divisées en absiraites et en concrètes. Les premières, seules, peuviMit entrer dans les véritables équations. Toule équation est une relation d'é-alité entre deux fonctions abstraites des -randeurs considérées, contenant, oulre les grandeurs que le problème présenle de lui-même, toutes les autres grandeurs auxiliaires qui s'y rallacbent et dontrinlroduclion peut facditer la découverte des équations cherchées.

Celte distinction peut êlre établie par deux voies différentes à priori et à posteriori ; c'est-à-dire en caractérisant chaque espèce de fonction, et ensuite en énumérant loules les lonctions abstraites aujourd'hui connues, du moins quant a leurs

éléments. . , a^c

A priori : Les fonctions abstraites expriment, entre des grandeurs, un mode de dépendance qu'on peut concevoir uniquement entre nombres, sans qu'il soit besoin d indiquer aucun phénomène quelconque où il se trouve réalise,tandis que les fonctions concrètes sont celles dont Tex pression exige un cas phvsique déterminé, soit géométrique, soitmécanique,etc. La plupart des fonctions ont commencé par être concrètes, même celles qui sont aujourd'hui le plus purement abstraites; et les anciens découvrirent seulement d'après leur dehnition ^géométrique, les propriétés algébriques élémentaires des fonctions auxquelles on n'a attaché que longtemps après une valeur numérique, rendant ainsi abstrait pour nous ce qui était concret pour les anciens géomètres. Il y a un autre exemple très propre à bien faire sentir la distinction que je viens d'exposer : celui des fonctions circulaires, soit directes soit inverses, qui sont encore aujourd'hui tantôt concrètes, tantôt abstraites, selon le point de vue sous lequel on les envisage.

A posteriori : Le caractère distinctif abstrait ou concret d une fonction ayant été établi, la question de savoir si une fonction déterminée est vraiment abstraite, et, conséquemment, si elle est susceptible d'entrer dans de vraies équations analytiques, devient une simple question de fait, puisque nous connaissons

VUE GÉNÉRALE DE l'ANALYSE MATHÉMATIQUE.

tous les éléments qui composent loules les fonctions abstraites. Nous disons que nous les connaissons, quoique les fonctions analytiques soient infinies, parce que, il ne iiiut pas l'oublier, nous ne parlons ici que des éléments, des fondions simples et non des composées. Nous possédons dix formules élémentaires qui, malgré leur petit nombre, suffisent pour donner lieu à une infinilé de combinaisons analytiques (1). On n'a aucun motif de supposer qu'il n'y en aura jamais davantage. Nous en possédons plus que n'en avaient Descaries et même Newton et Leibnitz, et sans doute on en admettra de nouvelles dans la suite, mais nous ne pouvpns pas espérer que ces éléments soient jamais fort multipliés, leur augmentation donnant lieu à de très grandes difficultés.

C'est rinsulfisance de ce petit nombre d'éléments analytiques cjui constitue pour nous la difficulté de passer du concret à l'abslrail. Afin d'établir les équations des phénomènes, il faut concevoir les lois mathématiques de ces phénomènes à l'iiide de fonctions composées de ces seuls éléments analytiques. Ju^qu'à ce point, la question était essentiellement concrète et ne rentrait pas dans le domaine du calcul. Si l'on considère la diversité des relations que doivent représenter ces éléments, on comprendra aisément combien nos conceptions se trouvent au-dessous de la difficulté réelle, surtout si l'on ajoute que ces éléments d'analyse nous ont été fournis par la considération mathématique des plus simples phénomènes d'origine géométrique, lesquels ne peuvent nous donner aucune garantie rationnelle de leur aptitude à représenter les lois mathématiques des autres classes de phénomènes. Nous verrons dans la suite combien la difficulté que présenle la relation du concret à l'absirait a été atténuée, sans qu'on ait eu besoin de multiplier le nombre des éléments analytiques.

Ayant ainsi considéré le calcul dans son ensemble, nous allons maintenant examiner ses divisions. Nous donnerons à CCS divisions les noms de calcul algébrique ou algèbre, et de calcul arithmétique ou arithmétique, en ayant soin de prendre

(t) Voir à la fin du volume le tableau de ces éléments fondamentaux.

5(j LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

ces termes dan. leur aeceplion logique la plus élendue et non dan. le sens restreint qu'on leur attache ordmairemenl.

îl t lair que toute question d'analyse mathémal.que p esente deux parties success.ves dont la nature est essent.elle-

" U Sitre consiste à translormer les équations proposées de a on"à mettre en évidence le mode de «on d^ nuantilés inconnues parles quantités connues. ^' est ce qui îonsle la question «/.-,^frn<?«. . Ensuite v.en la seconde, irsTruîleon a en vue d'.-t.«/«.r les /ormu?.. ams. ob e- „„" Les ours des nombres cherchés sont déjà représentée „ar certaines fonctions explicites des nombres donnes. Ces ^, .7 loivent être déterminées, et cette determmat.on iTt L la qtst -mr/.«..,/«.'. Vinsi, le calcul algébrique e ecÏu iarithmé dilîèrent dans leur objet Ils différent

. si uar le point de vue sous lequel on j considère es quann ?Il èbre les considérant quant à leurs reaUons et rUhiléUque quant à leurs valeurs. En pratique, .1 n'est pas r; iours oss bl, à cause de l'imperfectio n de la science du

Suîde pare les considérations algébriques des considecalcul,de epa ^^^.^^^^ ^,^^^ ^^^,^,^ . ^^,^ ^^

rauonsarithm . ue.po ^^ ^^^.^ ^^^ ^,^^

SrLit est don, le Zcu, Oes ^n.ion, et VarU,.

"ir l::' vu qu^ ieS est divisé en deux branches. Il Js^^n les Comparer, afin de connaître leur étendue, y .lortance et leur dilficulté respectives. '"Lrald valeurs ou l'arithmétique parai, au premier hnnl toir «n champ aussi large que l'algèbre, pu.squ .1 "m wnir donner ieu à autant de questions distinctes

'r""'' i couc oir de for'""'^^ ''^'"''''' ' ''''''''■ ''"" ''" "" C in fort simple montrera qu'il n'en est pas ainsi, une réflexion tort s mp ^^ ^^ composées, il est

'";":r I •- S déterminer la valeur des fonctions ev.dent que I J ^^ .^^^^^^^^ p,^^ ^„^„„,

';7cuUé loi le point de vue algébrique, une fonction com- •* 1 1 un rôle diflérent de celui des (onctions élémentaires posée joue u role u ^^^ ^^^ principales

VUE GÉiXÉRALE DE l'ANALYSE MATHÉMATIQUE. 57

calcul arilhméliqiie. Ainsi, le nombre des opérations arilliméliques distinctes est indiqué par celui des fonctions élémentaires abstraites, lesquelles sont, comme nous l'avons vu, en très petit nombre. L'évaluation de ces dix fonctions donne nécessairement celle de toutes les fonctions, en nombre infini, comprises dans l'ensemble de l'analyse maihémalique; et il n y aurait lieu à de nouvelles opérations arithmétiques que si Ton venait à créer de nouveaux éléments analyliques, dont le nombre, quoi qu'il arrive, sera toujours extrêmement restreint. Le domaine de l'arithmétique est donc, par sa nature, très borné, tandis que celui de l'algèbre est rigoureusement indéfini. Cependant, le domaine de l'arithmétique est plus étendu qu'on ne le suppose communément, car beaucoup de question, traitées comme incidentes au milieu d'un ensemble de recherches analytiques, sont vraiment arithméliques, puisqu'elles consistent en des évaluations. A cette espèce appartiennent la construction d'une table de logaiithmes, le calcul des tables (rigonométriques et quelques autres procédés d'un ordre 1res distinct et plus élevé ; en un mot, toute opération qui a pour objet de déterminer les valeurs de fonctions quelconques. Nous devons aussi y comprendre cette partie de la science du calcul que nous appelons théorie des nombres, dont l'objet est de découvrir les propriétés inhérentes aux différents nombres, en vertu de leurs valeurs et indépendamment de toute numération particulière. Elle constitue une sorte d\irit/tmétiqiie transcendante. Quoique le domaine de l'arithmétique soit donc plus étendu qu'on ne le conçoit ordinairement, le calcul des valeurs ne sera jamais qu'un point en comparaison du calcul des fonctions, dans lequel la science mathématique consiste essentiellement. Cela devient plus sensible quand on considère la véritable nature des questions arilhmétiques.

Les détcvniinalions devaleursne sont pas autre chose que des transformations réelles des fonctions à évaluer. Ces transformations ont un but spécial ; mais elles sont essentiellement de même nature que toutes celles enseignées par l'analyse. Sous ce point de vue, le calcul des valeurs pourrait être regardé comme un appendice et une application particulière du calcul des fonctions, de telle sorte que V arithmétique disparaîtrait

\ Il

VUE GÉNÉRALE DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE.

LA PHILOSOPIUE POSITIVE.

donne, .1 es. par le eu. ^^^^ ^^^^^.__^ f^^,„^ . .^

nic.ique, deja der.m et exprime expression sous

en l-évaluan.. on ne fa.l H"" «^^ "^«^f^^ a 'habilude de „„e aulre forme dé.ermmee ^ 'J^ ^.^^ .jeulier, en rapporter la not.on -- « ^'»;;^»^\"42r de ^i numération. ,e faisant rentrer dans e sj.teme . .^ansformation,

^•«-l-''°riCi^o P in "ve du nom'bre se trouve el.e- ,,ue, lorsque 1 «"P"^^ f " ^ .^^,io„ régulière, il n'y a plus

d'évaluat.on,oupluotonrep« i ^^ ^^^^.^ ^.^.^^^^^

même. Par exemple, quand """^ ,renle-sept ; mais

.rente e. sep., nous appelons 1 resul a , n P s'il s a,it d-ajou.er -S^-lro-s e M '^^ ,^^^^^ ^.^^

ainsi, car alors la soirime n .«' P»« .■,^^;,,, «en ei i, (au. transformer 'M-^^ ;^;tn june question déjà es, pas moins une J-^^^^^'^^^l ,,«, le calcul des définie et -P"-^ , a comme une application particuvaleurs pou ra l être refca i,,,^^,; disparaissant

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par la combinaison de celles que Ton connaît déjà? Cela paraît presque impossible ; Tinlroduction d'une autre fonction abstraite élémentaire dans l'analyse suppose donc la création simultanée d'une nouvelle opération arithmétique, ce qui est certainement fort difficile. Si nous cherchons à employer la méthode qui nous a procuré les éléments que nous possédons, l'observation nous laisse, à cet égard, dans une entière incertitude, car les artifices déjà mis en usage sont entièrement épuisés. Nous n'avons ainsi aucune idée de la manière de procéder pour créer de nouvelles fonctions élémentaires. Cependant, il ne faut pas en conclure que nous ayons atteint la limite posée, sous ce rapport, par les bornes de notre intelligence. Des perfectionnements spéciaux de l'analyse mathématique ont mis à notre service certaines intégrales définies, qui, en une certaine mesure, tiennent lieu de nouveaux éléments pour augmenter nos ressources ; mais il demeure incontestable que le nombre des éléments ne peut s'accroître qu'avec une extrême lenteur. Ce n'est donc pas dans celte direction que l'esprit humain a trouvé les moyens de faciliter l'établissement des équations.

Ce premier moyen écarté, il n'en reste plus qu'un seul. Puisqu'il est impossible de trouver les équations directement, nous en chercherons de correspondantes entre d'autres quantités auxiliaires liées aux premières suivant une loi déterminée, et de la relation desquelles on remonte ensuite à celle des grandeurs primitives. Telle est la féconde conception que nous appelons analyse transcendante : elle constitue le plus admirable instrument pour l'exploration mathématique des phénomènes naturels.

Cette conception a beaucoup plus de portée que ne lui en ont supposé jusqu'ici même les plus profonds géomètres ; car les quantités auxiliaires que l'on introduit pourraient dériver, suivant une loi quelconque, des éléments immédiats de la question. Cela est à noter, parce que nos perfectionnements futurs de l'analyse mathématique résulteront peut-être de la découverte d'un nouveau mode de dérivation. Mais, quant à présent, les seules quantités auxiliaires habituellement introduites, à la place des quantités primitives, dans Vanalyse transcendante, sont ce qu'on appelle :

Il ;

gQ LA nilLOSOPHIE POSITIVE.

10 Les ôlémenls /»/-«>»<'«'F'''«>^ '''//■''■•■''''''''''''■^;''^ '''!'r ordres de ces q»anlilés, si Ton conçoit celle analyse a la

manière de Leibnilz ; ou ■,,„mûnie

2" Les fluxions, les limiU'x desra,.porls des arcro.ssemenis

simullanés des q..antilés primitives comparées les unes anx

aulres; ou, plus brièvemenl. les premières et rf':''"";'";'^ "«

de ces accroissemenls, en adoplanl la concepl.on de Nevvlon .

ou bien, enfin, . , , , i j:„

3» Les f/<-nr<;-« proprement dites de cesquantites.c esl-a-dire les coefficients des difiévents termes de leurs accro.ssemenls respectifs, d'après la conception de Lagrange.

Ces conceptions, de même que toutes celles V^'°fj'^ proposées sont, par leur nature, identiques. Les d,n r n,s motifs de préférer Tune quelconque aux deux autres seront

exposés dans la suite. , i j„„ f„n,.

Nous voyons, par ce qui précède, que le calcul de fonctions on rllgèbre se compose de deux branches d.s me es L-une a pour objet la r^solntiov des équations quand elles sont directement ét.l.lies entre les grandeurs en question; I aulre partant d'équations généralement beaucoup P>"^ '«<;'; ^J former entre des quantités indirectement l.ees a Çelloju p oblème, a pour destination d'en dédu.re, par des proced s analytiques invariables, les équations correspondantes en re les grandeurs directes que l'on considère, fa.sanl an,s, rentrer le problème dans le .lomaino du calcul précèdent 1 .r«"'™

sembler qne l'analyse transcendante "o'-.^'7,.'^'"t!f de l'analyse ordina-re, puisqu'elle facib.e ' ^"=''>'-«7 '' .^, équations que la seconde doit résoudre.Ma.s quo.que I al e transcendante soit logiquement indépendante de 1 ay e ordinaire, il vaut mieux se conformer à l'usage cons nt de commencer parl'élude de la première; car es q"»'^^'"' ^ P;°posées avanl toujours besoin d'être complétées par I nalyse ordinaire, on sérail contraint de les laisser en suspens s. 1 msirutnent de résolution n'avait été P-'é^'f "^'"«"^ f j' '^,;„,^, ^^ A l'analyse ordinaire, je propose de donner le nom de calcul d.s oncion. ,lirccle.. A l'analyse 17-7^"^'" sous les divers noms de calcul infinités.mal. calcu des (lu ons et desflu.ntes, calcul des évanouissants, calcul ^f^'Tm intégral, etc., selon le point de vue sous lequel elle a été

VUE GÉNÉRALE DE l' ANALYSE MATHÉMATIQUE. 61

conçue, je donnerai le nom de calcul des fonctions indirectes.

Je forme ces expressions en généralisant et en précisant les idées de Lagrange, et je les emploie pour indiquer avec exactitude le caractère propre à chacune des deux analyses.

Analyse ordinaire, ou calcul des fondions directes.

L'algèbre suffit à la solution des questions mathématiques quand elles sont assez simples pour qu'on puisse former directement les équations entre les grandeurs mêmes que l'on considère, sans qu'il soit nécessaire d'introduire à leur place, ou conjointement avec elles, dans le problème, aucun système de quantilés auxiliaires dérivées des premières. 11 est vrai que, dans la plupart des cas importants, son emplu' a besoin d'être précédé et préparé par celui du calcul des fonctions indirectes destiné à faciliter l'établissement des équations. Mais, quoique ral{]èbre alors prenne la seconde place, elle n'en a pas moins une part nécessaire dans la solution de la queslion ; en sorte que le calcul des fonctions directes doit continuer à être, par sa nature, la base de l'analyse mathématique. Nous devons donc considérer la composition rationnelle de ce calcul et le degré de développement auquel il est parvenu.

Son objet étant la résolution des équations, c'est-à-dire la découverte du mode de formation des quantités inconnues par les quantités connues, d'après les équations qui existent entre elles, il présente autant de parties que nous pouvons concevoir de classes distinctes d'équations; et son étendue est, par conséquent, rigoureusement indéfinie, le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer dans les équations étant illimité, bien qu'elles ne soient composées, comme nous l'avons vu, que d'un très petit nombre d'éléments primitifs.

La classification rationnelle des équations doit être évidemment déterminée par la nature des éléments analytiques dont se composent leurs nombres. En conséquence, les analystes divisent d'abord les équations à une ou plusieurs variables en deux classes principales, selon qu'elles ne contiennent que des fonctions des trois premiers couples, ou qu'elles renferment

L^ssi des fonctions, soi t exponenlielles soit circulaire. Q^^^^^^^^^^ les dénominalions de fondions algébriques el de fonc on r^nsclndantes .ionnées à ces deux groupes principaux soient rrop es a division entre les équations correspondantesn en eTtCmoi réelle, en ce sens que la résolution des equ- Sr^nLuant les fonctions t-scendantes est J us djfij^^ e^ nue celle des équations algébriques. Aussi, étude de» pre ïière ses, extrêmement imparfaite et nos méthodes analytique. Lni nrpsnue exclusivement sur l'élaboration des secondes, •■t 11 nunihitenantdeceséquationsalgé^ lemei Sabord, nous remarquerons que, quoiqu elles pu .- ;^ouventcontenirdesfonctions,^■a.■o,m.//e. de^^^^^^^^^^

connues, aussi bien que des fonctions ^^^^2:tl^^llZl cas peut -i-- ^'-;;-":-rq:eS e^:.e^^^^^^^^^ aeiniei 4UC . Omnt à leur classificalion, la

. . .' .lAinrmînp rifroureusement la diilicuiie piu& uu

degré comprend nécessairement toutes celles de diver^ de re inférieurs, en sorte qu'il en doit être ains. de a ^^^J^ détermine l'inconnue. En conséquence, q^/'j/ ^"'f^^^^;,,^" sunoose à priori, la difficulté propre au degré que 1 on cons dé e^ oL toujours plus d'obstacles àmesure que ^ eg e de l4quation s'élève, parce qu'elle se complique dans 1 exe c tion, de ceux que présentent les degrés précédents^

Cet accroissement de difncuUés est s. grand, que a re.oiu ,io„ des questions algébriques n'est connue de no. pur que dans les quatre premiers degrés seulement A cet égard ÎaWbre A fait que peu de progrès depuis les travaux de nïcar es e es anal s.es italiens du xvf siècle, quoique Sa st deux dernier siècles, il n'ait peut-être pase.ste un