VUE GENERALE DE L ANALYSE MATHÉMATIQUE

seul gémométre qui ne se soit occupé de pousser plus avant la résolution des équations. L'équation générale du cinquième degré elle-même a jusqu'ici résisté à toutes les tentatives. La formule du quatrième degré est si difficile, qu'elle est presque inapplicable ; aussi les analystes, quoiqu'ils ne regardent pas comme impossible la résolution des équations du cinquième degré et même de degrés supérieurs, ont, par un accord tacite, renoncé à de semblables recherches.

La seule question de celte sorte qui oifrirait une grande importance, du moins sous le rapport logique, serait la résolution d*équations algébriques d'un degré quelconque. Or, plus on médite sur ce sujet, plus on est conduit à penser,avec Lagrange, qu'il dépasse la portée de notre intelligence. En admettant même que la formule requise soit obtenue, elle ne saurait être utilement employée, à moins qu'on ne parvînt à la simplifier, sans diminuer sa généralité, par l'introduction d'une nouvelle classe d'éléments analytiques dont nous n'avons encore aucune idée. Et d'ailleurs, si nous avions obtenu la résolution des équations algébriques d'un degré quelconque, nous n'aurions encore traité qu'une très petite partie de l'algèbre proprement dite, c'est-à-dire du calcul des fonctions directes embrassant la résolution de toutes les équations qne peuvent former les fonctions analytiques aujourd'hui connues. De plus, il importe de nous rappeler que, par une loi de la nature humaine, nous demeurerons toujours au-dessous des difticultés de la science ; nos moyens pour concevoir de nouvelles questions étant toujours plus puissants que nos ressources pour les résoudre, ou, en d'autres termes, l'esprit humain étant plus apte à imaginer qu'à raisonner. Ainsi, quand même nous aurions résolu toutes les équations algébriques maintenant connues, et que nous eussions, à cet effet, trouvé de nouveaux éléments analytiques, ils introduiraient encore des classes d'équations que nous ignorons aujourd'hui ; en sorte que, quelque grand que puisse être l'accroissement de nos connaissances, l'imperfection de la science algébrique se reproduirait perpétuellement.

Dans l'état présent de l'algèbre, les méthodes que nous possédons sont la résolution complète des équations des quatre premiers degrés, des équations binômes quelconques,

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LA nni-osopiiiE POSITIVE.

pour .el ou lel ^ï^^^ "« «^^ ^^^ c^^, éralion présente un buées aux (luanlile. ^7'"' .'• ,"^' , , es nuesliousarill.mé-

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i b W et de uaiter séparément la partie algébrique de la

queÏio q est commun à tous les cas résultant de la s.m-

VUE GÉNÉRALE DE l' ANALYSE MATHÉMATIQUE 65

pie variation des nombres donnés, nous sommes obligés de passer encore par la série entière des opérations pour le plus léger changement qui peut survenir dans une seule des quantités considérées.

Ainsi le calcul des fonctions directes est à présent divisé en deux parties,selon qu'il est employé à la résolution algébrique ou à la résolulion numérique des équations, La première, la seule satisfaisante, est malheureusement très bornée et il y a peu d'espoir qu'il en soit jamais autrement ; la seconde, le plus souvent insuffisante, a, du moins, l'avantage d'une généralité beaucoup plus grande. Elles doivent être soigneusement distincles en notre esprit ;i cause de leurs différenis objets, el, par suite, des divers points de vue sous lesquels on y considère les quantités. De plus, relativement à leurs méthodes, on trouve dans leur disiribution rationnelle une marche toute différente. La première partie, en effet, doit se diviser d'après la nature des équations que l'on sait résoudre et indépendamment de toute considération relative aux vnleura des quantités inconnues. Dans la seconde, au contraire, ce n'est pas suivant les def/rés des équations que les procédés se distinguent, puisqu'ils sont applicables à des équations d'un degré quelconque, mais suivant l'espèce numérique des valeurs des ffuanlités inconnues.

Ces deux parties, qui constituent l'objet immédiat du calcul des fondions directes, sont subordonnées à une troisième, purement spéculative, à laquelle toutes deux empruntent leurs ressources les plus puissantes, el qui a éié très exaclement désignée par le nom général de théorie des ciiualiona. quoiqu'elle ne porte encore que sur les équations dites algébriques. La résolution numérique des équations, à cause de sa généralité, exige spécialement cette base rationnelle.

Deux ordres de questions divisent cette branche importante de l'algèbre : D'abord celles qui se rapportent à la composition des équations, et ensuite celles qui concernent leur transformalion ; ces dernières ayant pour objet de modifier les racines d'une équation sans les connaître, suivant une loi quelconque donnée, pourvu que cette loi soit uniforme relativement à lentes ces racines.

Il me reste à mentionner une autre théorie pour compléter i"on rapide exposé des différentes parties essentielles du cal-

gg LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

de on i.npor.ance ; mais l'extension ";>-^*."'.^ ,f . .7, ' transcendante a, tout en diminuant sa ^^^^^^^^^'^^ ' applications el agrandi ses ressources ; en sur e qu. p r . c mbinaison des deux théories i emp o. d; ^^ /" ^f ^^;,'^^, coefficients indéterminés est devenu beau oup plus .end^ qu'il ne lelail, même avant la forni .tmn du calcul de»

'■Tyaîf 'Snant complété mon aperçu du cal-ul des fo^- «on Ïreces. je vais passer à l'examen de a »>n|"c be Plu. i„,portante el la plus étendue de la sc.ence . le cal.ul fondions indirectes.

Analvse Iransccnclantc ; ou calcul des fonctions indireclcs.

VUE GÉNÉRALE DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE. 67

à peine si la génération des iréomèlres s'est renouvelée depuis qu'a été créée la conceplionqui donnera sans doute un caractère fixe et uniformo à la science ; aussi, les habitudes intellecluelles qu'exige son perfectionnement n'onl-elles pas encore été suffisamment formées.

Le premier germe de la méthode infinitésimale, qui peut être conçue indépendamment du calcul, se trouve déjà dans l'ancienne méthode employée par les géomètres grecs, et connue sous le nom Ae méthode tVexhaustion. Elle leur servait à passer des propriétés des lignes droites à celles des courbes, et consistait à substituer à la courbe la considération auxiliaire d'un polygone inscrit ou circonscrit, d'après lequel on s'élevait à la courbe elle-même en prenant convenablement les limites des relations primitives. La filiation des idées n'est pas douteuse en ce cas ; mais il ne faudrait pas y voir l'équivalent réel de nos méthodes modernes; car les anciens n'avaient aucun moyen rationnel et général pour la détermination de ces limites, qui constituait la principale difficulté de la question. La tache réservée aux géomètres modernes était de généraliser la conception des anciens, et, en la considérant d'une manière abstraite, de la réduire en calcul, ce qui était impossible avant eux.

Lagrange attribue avec justice au grand géomètre Fermât, la première idée qu'on ait produite dans cette nouvelle direction. Fermât peut être regardé, en effet, comme ayant ébauché la formation de l'analyse transcendante par sa méthode pour la détermination des maxima et minima et pour la recherche des tangentes, qui consistait à introduire des quantités auxiliaires, supprimées ensuite, comme nulles, quand les équations obtenues avaient subi certaines transformations convenables. Après quelques modifications intermédiaires des idées de Fermât, Leibnitz, un demi-siècle plus tard, dégagea son procédé de quelques complications et constitua l'analyse en un calcul ijénéral et distinct ayant sa propre notation. Ainsi, Leibnitz est vraiment le créateur de l'analyse transcendante telle que nous l'employons aujourd'hui. Cette découverte capitale était tellement mûre, ainsi que le sont d*ailleurs toutes les grandes découvertes au moment de leur manifestation, que Newton avait, en même temps, ou un peu auparavant,

gg LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

découvert une mù.hode ^^'-^^'"'^^' ;rT:^rr^ ranalvse sous un point de vue . fferent, p raUom Pn luVmème mais moins convenable que celui de Le I nL 0 nner à la méthode fondamentale l'étendue e a a ùraésirables. Lagrange, ensuite é-tant es con ■ erations hétérogènes qui avaient guidé Le.bnilz et Newton, e Sl'analys: à ui/ système purement .algébru.ue auquel .1 ne manque que plus d'aptitude aux appl'cat.ons .

Nous allons exposer les trois méthodes dans leur ode La méthode de Leibnitz consiste à introduire '^^^^^ afin de faciliter l'établissement des éqn allons, es ' J- ""^^^^ ou éléments inûniments petits dont on «^^^'^f « ';,«'X LT posées les quantités entre lesquelles on cherche '«^ ^ « Uo"^ 1 existe eiure ces dilTérentielles des relations qui sont pk simples ou plus faciles à découvrir que celles des qua lU.s primitives, et an moyeu desquelles nous P""^^ /simÏes' par un calcul spécial employé à éliminer .««s >" " ;^™^'j auxiliaires, remonter aux équations cherche s, qu I ai al et le plus souvent, impossible d'obtenir d|rectemen Cet ana

Ivse indirecte pourra l'être à des degrés différents ; car lor» qu-Vjalropd difficulté àforinerVéqualionentre les iffern

ielleLlesgrandeursenquestion,uneseco,uleapp lica. d^^^^^^

méthode est nécessaire, et il faut alors traiter I s J f '«J^ comme de nouvelles quantités primitives et '^^^^JJ^ relation entreleursélémentsinfinimentspelitsou«m^^^^^^^^

rentielles; et ainsi de suite, la même transformation pouvant é : pétée un nombre quelconque de fois, PO»- jne Ona-

lement'le nombre total de quantités »-' '"'^t^';'' ^ ^ " 1. Un esprit encore étranger à ces études demandea corn ment il se fait que ces quantités auxiliaires puissent e re d au-

Tu, usa- p»ïq»elle'-nt de la même espèce que les grancun usa^e, pu i ^^.^^ j ^^^

deurs proposées, et que la vaieui i> i , .

' ,„ .r:r,niiAnpp mir une recneioiic

niianiilé ne oeul exercer d iniiuenct sui «i

VUE GÉNÉRALE DE l'ANALYSE MATHÉMATIQUE. 69

puissances des rapports finis; en sorte que, par exemple, les différentielles seconde, troisième, etc., d'une même variable, sont classées comme infiniment petits du second ordre, du troisième ordre, etc., parce qu'il est facile de montrer en elles des multiples finis des puissancesseconde, troisième, etc., d'une certaine difTérentielle première. Ces notions préliminaires étant posées, Tesprit de l'analyse infinitésimale consiste à négliger constamment les quantités infiniment petites à l'égard des quantités finies, el généralement les infiniment petits d'un ordre quelconque vis-à-vis tous ceux d'un ordre inférieur. Nous voyons de suite combien une telle faculté doit faciliter la formation des équations entre les différentielles des quantités, pui^que nous pouvons substituer à ces ditTérentielles tels autres éléments que nous choisissons, et qui seront plus simples à considérer, en nous conformant à cette condition que les nouveaux éléments ne diflèrent des précédents que de quantités infiniment petites par rapport à eux. C'est ainsi qu'il sera possible, en géométrie, de traiter les lignes courbescomme composées d'une infinité d'éléments rectilignes, les surfaces courbes comme formées d'éléments plans, et, en mécanique, lesmouvements variés, comme une suite infinie demouvements uinïormes, se succédant à des intervalles de temps infiniment petits. Cette simple indi(ation de l'application variée de cette méthode peut donner une idée de l'immense portée de la conception de l'analyse transcendante telle que Leibniiz l'a formée. Elle constitue, sans contredit, la plus haute pensée à laquelle l'esprit bumain se soit jamais élevé jusqu'à présent.

On voit que cette conception était indispensable pour achever de fonder la science mathématique, en permettant d'établir d'une manière large et féconde, la relation du concret à l'abstrait. Sous ce rapport, nous devons l'envisager comme le complément nécessaire de la grande idée fondamentale de Descartes sur la représentation analytique générale des phénomènes naturels, idée qui n'a pu être dignement appréciée et convenablement mise en usage que depuis la formation de l'analyse infinitésimale.

Cette analyse, outre la propriété de faciliter l'élude des lois mathématiques de tous les phénomènes, en a une autre peutêtre aussi importante. Les formules différentielles ont une

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•JO LA PHILOSOPHIE POSITIVK

extrême généralité, exprimant en une seule équation chaque phénomène déterminé, quelque variés que puissent cire es iujets auxquels il appartient. Ainsi, telle équat.on donne les tangentes à toutes les courbes, une autre leurs rectifications, une troisième leurs quadratures; et, de même, une formule invariable exprime la loi mathématique, de tout mouvemenl varié; enfin une seule équation représente la reparution de a chaleur dans un corps et pour un cas quelconques Letlc remarquable généralité est la base des considérations les plus élevées. Aussi cette analyse n'a pas seulement fourni une méthode générale pour former indirectement les équations qui n'auraient jamais été directement découvertes, mais elle a introduit, dans Tétude mathématique des phénomènes un ordre nouveau de lois plus générales, qui nous permet d apercevoir des rapprochements positifs, entre des classes de phénomènes tout à fait différents, d'après les analogies que présentent les expressions dilTérenlielles de leurs lois mathématiques. Ln vertu d'une telle propriété de l'analyse, le système entier d une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu être condensé en un petit nombre de formules analytiques a l'aide desquelles la solution de tous les problèmes particuliers peut être déduite par des régies invariables.

Celle belle méthode est malheureusement imparfaite dans sa base logique. Dans les premiers temps de l'analyse infinitésimale, les géomètres furent naturellement plus portes a étendre la découverte de Leibnilz, et à multiplier ses applications, qu'à établir le fondement logique de ce nouveau calcul. Ils se contentèrent pendant longtemps de répondre aux objections par la solution inespérée des problèmes les plus difficiles. Il devint, néanmoins, nécessaire de revenir sur les fondements de la nouvelle analyse pour établir la rigoureuse exactitude des procédés employés, malgré les infractions apparentes aux règles ordinaires du raisonnement. Leibnitz lui-même fournit une explication erronée de sa conception, quand, presse de répondre, il la représenta comme un simple calcul d'approximalion dont les opérations successives pouvaient évidemment comporter un accroissement constant des premières erreurs Ses successeurs se bornèrent à montrer que ses résultats concordaient avec ceux que fournissait l'algèbre ordinaire

VUK GÉNÉRALE DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE. 7i

ou la géométrie des anciens, en reproduisant, d'après les anciennes méthodes, quelques solutions qui n'avaient pu être obtenues jusqu'alors que par la nouvelle; ou bien encore ils démonlrèrenl la conformité de sa conception avec d'auires, celle de Newton surtout, dont l'exaclilude était à l'abri de toute objections. Ces vérifications procuraient une justification pralique; mais, dans une question d'une telle importance, il fallait une justification logique; et il était indispensable de donner une preuve directe de la rationnante nécessaire de la mélhode infinitésimale. Carnot la présenta enfin, en montrant que la mélhode était fondée sur le principe de la compensation nécessaire des erreurs. Quoique tout cet échafaudage logique de la mélhodeinlinilésimale puisse n'avoir simplement qu'une existence provisoire, en tant que radicalement vicieux par sa nature, dans l'étal présent de nos connaissances, le principe .le Carnot est bien plus important qu'on ne le pense communément pour légitimer directement l'analyse leibnilzienne. Son raisonnement est fondé sur la conception de quanlilés infinitésimales indéfiniment décroissantes, tan.lis que celles d'où elles sont dérivées restent fixes. Les erreurs infiniment petites introduites avec les quantités auxiliaires ne peuvent avoir occasionné que des erreurs infiniment petites dans toutes les équations; et quand les relations des quanlité» finies sont obtenues, ces relations doivent être riiçoureusenienl exactes, puisque les seules erreurs alors possibles doivent elre (mies et qu'il n'a pu en survenir aucune de ce genre- d'où > faut conclure que les équations finales sont parfailes La 1 icorie de Carnot est sans doute plus subtile que solide; mais elle n'a cependant, en réalité, d'autre vice logique que celui de la méthode infinitésimale elle-même, dont elle est, ce me semble, le développement nalurel et l'ejplication générale • en sorte qu'elle devra être adoptée aussi longtemps que celle melliode sera directement employée.

Le caractère philosophique de l'analyse transcendante a ma.ntenant e^té exposé avec assez de développements pour qu .1 suffise de ne donner que l'idée principale des deux autres méthodes.

Newton a présenté successivement sa conception sous plusieurs formes. Celle qui est aujourd'hui le plus communément

adoptée, du mouis sur le coiili.ienl, a élé désignée par luimême, tantôt sous le nom de mctitode des premières et dernières raisons, tantôt sous celui de mèlhode des limites qu on emploie plus fréquemment. Dans cette méthode, les qua.ililes auxiliaires introduites sont les limites des rapports des accroissements simultanés des quantités primitives, ou, en d autres termes les dernières raisons de ces accroissements, limites ou dernières raisons qu'on peut aisément montrer comme ayant une valeur déterminée et finie. Un calcul spécial, qui est réquivalent du calcul infinitésimal, est ensuite employé pour s-élever de ces équations entre ces limites aux équations correspondantes entre les quantités primitives elles-mêmes.

U facilité que donne cette analyse pour exprimer les lois mathématiques des phénomènes tient à ce que le calcul portant non sur les accroissements eux-mêmes des quantités proposées mais sur les limites des rapports de ces accroissements, on pourra toujours substituer à chaque accroissement une -randeur quelcon.iue plus simple à considérer, pourvu que îeur dernière raison soit la raison d-égalité. ou, en d autres termes, que la limite de leur rapport soit Tunite. Il est clair, en effet que le calcul des limites ne saurait être nullement nlfecté de cette substitution. Eu partant de ce principe, on retrouve à peu près l'équivalent des facililés ollerles par 1 analyse de Leibnilz. qui sont seulement conçues alors sous un autre aspect. Ainsi, les courbes seront envisagées comme les ■ limites d'une suite de polygones reclilignes, les mouvements variés comme les limites d'un ensemble de mouvements uniformes de plus en plus rapprochés, etc. Telle est, en substance, la conception de Newton, ou plulol celle que Maclaunn et d'Alembert ont présentée comme la base la plus latiomielle de l'analyse transcendante, en chcrchanl à fixer et a coordonner les idées de Newton a ce sujet.

Newton eut une autre vue que je crois devoir indiquer ici, parce qu'elle est encore la forme parlicuhère du calcul des fonctions indirectes communément adoptée par les géomètres anglais et aussi à cause de son ingénieuse clarté en quelques ca' puis enfin comme ayant fourni la notation la mieux appropriée à cette manière d'envisager l'analyse transcendante.

VUE GÉNÉRALE DE l'a.NALYSE .MATHÉMATiQtE ' 73

Je veux parler du calcul des flnrinn, ». ,, n

surla ncion générale des vitesses ^""""' '"""''^

Pour en concevoir l'idée m.'/m „ considérons chaque courbe corn „ T' i*'"' ^' ^"'=""^' animé d'un mouvement variT T"^''" P"*" "" P"'"'

Les diverses quantité II h V r"' ""' '"' 1"«'<^«"'l»e. l'ordonnée, l'arc Taie p. ""'^' P^"' ""■■"''■ ^ ''"''cisse. simultanément produites' nar 1^'°"' '''''"'^''' """'"« .nouvemenl. UvSTaJl T'. '"""^'"^ P^'"'»"' <=« sera dite la // J" de" ^ ;: i^'"""^ ^"^ «''^''-"'e enserait„omméela/^,.,jrDè lo : '".'' '" ^«"^ '"verse, consistera, dans celé c n^epl n 'f ^^ ^"'.•""""''""''""^ équations entre les fluviZ,i' '""■ ''"•«•^'«'"ent les

déduireensuUe aîn "1? '""Vf P'-«l">«ées, pour en fluenles elles-i ;« „e " r/ • '!""""' '^^ '^''""""-'^ «""'e les

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■néthod est v dem nenM'""'"' ''' ""'^■^ ^'"^^ «"'res. Cette

conipliqnéede r n ntrr,!'" ''"' 'l' "'""-• en e,re., qu'un moyen de ret^sene """"'• ^''' "'"''' empruntée à la n.écaniquV mé, Îd' T ""' •:?'"P='^»''^°" nières raisons, qui seule Jt re7u et Sr'.ff, ^' "porte donc nécessairement les mêmï; '""""

dans les diverses applications rri.S ZT'] ^"'""" cendante. '"'"cipales de 1 analyse Irans-

Kraild ar L X" J n'" '""?'-""'-""' -"""« un ■•établissement de^éZL; T'"" . "i"!^'' P""^ '"'"''«'• fonctions prunitivi; ol r^, eTl!;; r^":"' " "^" "•'

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•""""" ""l"i'«, po.r déduire Je leurs ,el,ii„„ le/'l.

lu

!ranscendanle n'est alors qu'une simple extension 1res considérable lie ranalvse ordinaire.

C'était depuis ion-lemps un procédé familier aux géomètres d'introduire, dans les considérations analytiques, à la place des grandeurs en question, leurs diverses puissances, ou leurs lo^ai ilhmes ou leurs sinus, etc. , afin de simplifier les équations, et'même de les obtenir plus aisément. La dérmitwn successive est un artifice général de la même nature, mais de plus d'étendue, et procurant, en conséquence, beaucoup plus de ressources importantes pour ce but commun.

Mai< quoiqu'on conçoive facilement, à priori, quel emploi auxiliaire de ces dérivées i>eut faciliter Tétude des équations, il n'est pas aisé d'expliquer pourquoi cela doit être nécessairement ainsi d'après le mode de dérivation adopté, plutôt nue suivant toute autre transformation. Tel est le côte (adjle de la grande idée de Lagrange. Nous ne sommes pas parvenus iu^qu'ici à saisir ses avantages précis d'une manière abstraite et^ans rentrer dans les autres conceptions de l'analyse transcendante. Ces avantages peuvent être établis seulement dans la considération séparée de cbaque question principale, et celte vérification devient laborieuse quand on choisit une question

compliquée. , i i j

D'autres théories ont été proposées, telles que le calcul des évanouissants d'Euler, mais elles ne sont réellement que des modifications des trois méthodes exposées. Nous allons maintenant comparer et apprécier ces méthodes et d'abord constater leur conformité parfaite et nécessaire.

Fn considérant les trois méthodes quant à leur destinalion indépendamment des idées préliminaires, il est clair qu'elles consistent toutes en un même artifice logique et gênerai : l introduction d'un certain système de grandeurs auxiliaires uniformément corrélatives à celles qui sont l'objet propre de la nuestion : ces auxiliaires étant substituées expressément pour f'acililer l'expression analytique des lois mathématiques des phénomènes, quoiqu'elles doivent finalement être éliminées au moyen d un calcul spécial. C'est ce qui m'a détermine a définir l'analyse transcendante le calcul des lonctwnsindirectes, afin démarquer son vrai caractère philosophique, en écartant toute discussion sur la meilleure manière de laconcevoir et de

VUE r.ÉM:RALE DE l'aNALVSE MATHÉMATIQUE. 75

l'appliquer. Quelle que soit la méthode employée, l'eflet général de cette analyse est d'amener plus promplement chaque question mathématique dans le domaine du calcul, et de diminuer ainsi considérablement la grande difficulté que présente le passage du concret à l'abstrait. Nous ne pouvons espérer que le calcul s'empare jamais de chaque question de philosophie naturelle, géométrique, ou mécanique, ou thermologique, etc. , dès sa naissance : cela serait contradictoire. En tout problème il y aura toujours à effectuer, avant que le calcul puisse être d'aucun secours, un certain travail préliminaire qui ne saurait être par sa nature assujetti à des règles abstraites et invariables; c'est celui qui a pour objet l'établissement des équalions qui sont le point de départ indispensable de toutes les recherches analytiques. Mais cette élaboration préalable a été singulièrement simplifiée par la création de l'analyse transcendante qui a ainsi hâté le moment où les procédés abstraits et généraux peuvent être uniformément et exactement appliqués à la solution, en réduisant l'opération à trouver les équations entre les grandeurs auxiliaires, d'où le calcul conduit ensuite aux équations directement relatives aux grandeurs proposées qu'il fallait, avant cette conception, établinmmédiatement. Que ces équations indirectes soient des équations différentielles suivant Leibnitz,ou des équations aux lïmiles suivant Newton, ou des équations dérivées suivant Lagrange, le procédé général est évidemment toujours le même. La coïncidence est non seulement dans le résultat obtenu, mais dans la manière de l'obtenir; car les grandeurs auxiliaires introduites sont réellement idenliques et ne diffèrent seulement que par la manière de les envisager. Les conceptions de Leibnitz et de Newton ccmsislent à faire connaître en chaque cas deux propriétés générales nécessaires de la fonction dérivée de Lagrange. L'analyse transcendante, examinée abstraitement et dans son principe, est donc toujours la même, quelle que soit la conception qu'on adopte, et les procédés du calcul des fonctious indirectes sont nécessairement identiques dans ces différentes méthodes qui doivent, pour une application quelconque, conduire constamment à des résultats rigoureusement conformes.

Si nous cherchons à apprécier leur valeur relative, nous

trouverons en chacune des Irois conceptions des avantages et des inconvénienis qui lui sont propres, et qui empêchent les géomètres de s'en tenir exclusivement à l'une quelconque

d'entre elles.

La méthode de Leibnitz présente inconlestablement l'avantaae quanta la rapidité et à la facilité avec lesquelles elle conduit à la toimalion des équations entre les grandeurs auxiliaires. Nous devons à son usage la haute perfection qu'ont acquises toutes les théories générales de ia géométrie et de la mécanique. Quelles que soient les opinions spéculatives des géomètres sur la méthode infinitésimale, tous s'accordent à l'employer de préférence aussitôt qu'ils ont à traiter une question nouvelle quelconque. Lagrange lui-même, après avoir reconstruit l'analyse sur de nouvelles bases, a rendu un hommage sincère et décisif à la conception de Leibnitz en remployant exclusivement dans sa « Mccanique anahjiique » . Un tel fait nous dispense do toute rétlexion. Cependant, on ne peuts'emi)êcher de reconnaîlre avec Lagrange que la conception de Leibnitz est radicalement vicieuse au point de vue logique, en ce que la notion des infiniment petits est une idée fausse qu'il est impossible de se représenter clairement, quoiqu'on se fasse quelqueibis illusion à cet égard. Celle fausse idée porte l'empreinte caractéristique de l'époque de sa formation et des tendances de son fondateur. Par l'ingénieuse idée de la compensation des erreurs nous pouvons, comme nous l'avons vu, expliquer Texaclitude nécessaire des procédés qui comiiosent la méthode infinitésimale; mais c'est un inconvénient radical d'cireobhge d'indiquer en mathématiques deux classes de raisonnements, ceux qui sont parfaitement rigoureux et ceux dans lesquels on commet à dessein des erreurs qui devront se compenser plus tard. Il n'y arien en cela de très logique. Ce serait éluder la difficulté que de dire avec quelques-uns qu'il est possible de faire rentrer la méthode infinitésimale dans celle des limites dont le caractère logique est irréprochable ; et, d'ailleurs, par une telle transformation on perdrait les avantagesdecette méthode, c'est-à-dire la lacilité et la rapidité qui la recommandent essentiellement. Enfin, la méthode infinitésimale présente ce défaut capital de rompre l'unilé des mathématiques abstraites en créant une analyse transcendante fondée sur des principes

VUE GÉNÉRALE LE l'aNAIVSI: MATHÉMATIQUE 77

entièrement différents de ceux qui servent de base à l'analyse ordinaire. Celte division de l'analyse en deux systèmes presque indépendants tend à empêcher la formation de conceptions analytiques générales. Pour en bien apprécier les conséquences, il faudrait nous reporter p ar la pensée à l'étal de la science avant que Lagrange eût établi entre ces deux grandes sections une harmonie complète et générale.

La conception de Newton est à l'abri des objections logiques auxquelles donne lieu celle de Leibnilz. La notion de limites est, en effet, remarquable par sa netteté et sa précision. Les équations sont, en ce cas, regardées comme exactes dès l'origine ; et les règles générales du raisonnement sont aussi constamment observées que dans l'analyse ordinaire; mais elle est iaible en ressources et embarrassée dans sa marche, si on la compare à la méthode infinitésimale. Dans ses applications, l'infériorité relative de cette théorie est très marquée. Elle sépare aussi l'analyse ordinaire et l'analyse transcendante, mais à un moindre degré que la théorie de Leibnitz. Comme Lagrange l'a remarqué, l'idée de Utnites, quoique nette et rigoureuse, n'en est pas moins une idée étrangère, dont les théories analytiques ne devraient pas dépendre.

Une unité parfaite de l'analyse et un caractère purement abstrait dans les idées fondamentales, se trouvent dans la conception de Lagrange et ne se trouvent que là. Elle est donc la plus philosophique de toutes. Ecartant toute considération hétérogène, Lagrange a réduit l'analyse transcendante à son caractère propre : celui d'oftrir une classe très étendue de transformations analytiques qui facilitent à un degré remarquable l'expression des conditions des divers problèmes. En même lemps, cette conception s'est présentée par là comme une simple extension de l'analyse ordinaire : elle n'a plus été qu'une algèbre supérieure. Toutes les diverses parties des mathématiques abstraites, jusqu'alors si incohérentes, ont pu dès ce moment être conçues comme formant un seul système. Une telle conception, que sa supériorité philosophique destine à devenir la théorie finale de l'analyse transcendante, présente malheureusement trop de difficultés, lorsqu'on la compare aux autres, pour pouvoir être encore exclusivement adoptée. Lagrange lui-même n'est parvenu que très péniblement à

uoi

retrouver d'après sa iTiélhode les résullals principaux déjà obtenus par la méthode intinilésimale, pour la solution des questions -énéralesde géométrie et de mécanique; d'où nous pouvons juger combien on rencontrerait d'obstacles si l'on voulait traiter de la même manière des questions réellement nouvelles et importantes. Quoique Lagrange, slimulé par la difficulté, ait obtenu, en quelques cas, des résultats que d'autres hommes auraient désespéré d'atteindre, sa conception n'en est pas moins jusqu icidemeuréeessentiellementimpropreaux

applications.

Le résultat de cette comparaison des trois méthodes est donc que pour connaître parfaitement l'analyse transcendante, il faut non seulement l'étudier d'après ces trois conceptions, mais nous accoutumer à les employer toutes, surtout les deux extrêmes, presque indifféremment, à la solution de toutes les questions importantes, soit du calcul des fonctions indirectes en lui même, soit de ses applications. Dans toutes les autres parties de la science mathématique, la considération de méthodes diverses pour une seule classe de questions peut être utile, même indépendamment de l'intérêt historique qu'elle présente ; mais elle n'est point indispensable. Ici, au contraire, elle est strictement nécessaire. Sans elle, on ne pourrait porter aucun jugement philosophique sur cette admirable création de l'esprit humain, ni employer avec succès et (acilité ce puissant instrument.

Calcul intégral et différciUicl.

Le calcul des fonctions indirectes se divise nécessairement en deux parties, ou plutôt il se compose de deux calculs distincts, quoique par leur nature intimement liés. Par l'un, on cherche les relations entre les grandeurs auxiliaires à l'aide des relations entre les grandeurs primitives correspondantes ; par l'autre, on cherche, en sens inverse, à découvrir ces équations directes d'après les équations indirectes établies immédiatement. Tel est le double objet de l'analyse transcendante. On a donné différents noms à ces deux calculs, selon le point de vue sous lequel l'ensemble de l'analyse a été considéré. La méthode infinitésimale proprement dite étant la plus usitée,

VUE GÉNÉRALE DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE. 79

presque lous les géomètres emploient la dénomination de calcul dilfcrentiel et de calcul intéqml établie par Leibnilz Newton, d'après sa méthode, a nommé le premier le calcul (les fluxwm et le second le calcul des puentes, expressions communément adoptées on Angleterre. Suivant la théorie de Lngrange, l'un devrait être appelé le calcul des fonctions dé^ rivces et l'autre \e calcul des fonctions primitives. Je me servirai des termes de Leibnilz comme plus propres à la formation des expressions secondaires, quoique je doive, d'après les explications précédentes, employer toutes les conceptions concurremment, en me rapprochant autant que possible de celle de Lagrange.

Le calcul différentiel est évi.lemment la base rationnelle du calcul intégral. Nous avons vu que dix fonctions simples constituent les éléments de notre analyse. Nous ne savons intégrer directement que les expressions différentielles produites parladifférentialion de ces dix fondions. L'art de l'intégrahon consiste ensuite à ramener, autant que possible, tousses autres cas à ne dépendre finalement que de ce petit nombre de fondions simples.

Il se peut que lous les esprits ne voient pas d'abord l'utilité propre du calcul différentiel, indépendamment de celte relation nécessaire avec le calcul intégral qui semble devoir être par lui -même le seul directement indispensable. En effet, l'élimination des infinitésimales ou des dévivces introduites comme auxilliaires étant l'objet définitif du calcul des fonctions indirectes, il est naturel dépenser que le calcul qui nous enseigne a déduire les équations entre les grandeurs primitives, d'après celles qui existent entre les grandeurs auxiliaires,' doit suffire aux besoins généraux de l'analyse transcendante, sans qu'on aperçoive immédiatement quelle part spéciale et constante la solution de la question inverse peut avoir dans une telle analyse. Pour définir l'office du calcul différentiel, on lui assigne d'ordinaire la destination de former les équations différentielles ; mais c'est évidemment là une erreur, car la formation primitive des équations différentielles n'est 1 objet d'aucun calcul, puisqu'elle est, au contraire, le point de départ de tout calcul quelconque. Le calcul différenhel, dont l'usage consiste à nous donner les moyens de f////-é^';-ew-

tier les diverses équations, ne peut donc êlre un procédé pour les établir. Celle erreur commune vient de ce qu'on confond \e calcul infmilésimal avec la mcthode infinitésimale, qui seule facilite la formation des équations dans toute application de Tanalyse transcendante. Le calcul est le complément indispensable de la méthode dont il est, d'ailleurs, parfaitement distinct. Mais, nous aurions conçu bien imparfaitement Hmportance propre de cette première branche du calcul des fonctions indirectes en n'y voyant qu'un simple travail préliminaire destiné à préparer une base indispensable pour le calcul intégral. Quelques explications montreront qu'un office direct et nécessaire est toujours assigné au calcul dilférenliel. En formant les équations différentielles nous nous bornons rarement à introduire différentiellcment les seuls grandeurs dont nous cherchons les relations. Il serait souvent impossible d'établir des équations sans introduire d'autres grandeurs dont les relations sont connues ou supposées l'être. Or, en de tels cas, il est nécessaire que les différentielles de ces intermédiaires soient éliminées avant que les équations deviennent propres à l'intégration. Cette élimination est du ressort du calcul ditVérentiel ; car elle doit s'opérer en déterminant, au moyen des équations entre les fonctions intermédiaires, les relations de leurs différentielles, ce qui n'est qu'une question de dinérentiation. D'où l'on voit que le calcul différentiel, non-seulement prépare une base au calcul intégral, mais, de plus, le rend propre à un nrand nombre de cas qui, autrement, ne pourraient être traités. Il y a quelques questions, en petit nombre, mais très importantes, qui ne comportent quel-emploi du calcul différentiel. Ce sont celles ou les grandeurs cherchées entrent directement, et non par leurs différentielles, dans les équation diff"érentielles primitives,lesquelles alors ne contiennent différentiellement que les diverses fonctions connues,employées comme inlermédiairesd'après l'explication précédente. Ce calcul suffit alors entièrement à rélimination des infinitésimales, sans que la question donne lieu à aucune intégration . Il est aussi des questions qui, en sens inverse des dernières, nécessitent l'emploi du calcul intégral seul.Danscelles-cileséquationsdilîérentiellessetrouventimmé-

diatement propres à rintégration,parcequ elles ne contiennent.

VL'E GÉNÉRALE DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE. 81

dès leur première formalion,que les infinitésimales relatives aux onctions cherchées, ou aux variables réellement indé end ânes sans qu on ait été oblip,é d'introduire différentiellement d autres fonctions comme intermédiaires. Si des ionctionT hl ermedjaires sont introduites, elles entreront alors, par . p , thèse, directement et non par leurs différentielles, ^I Se ordinaire suffira pour les éliminer et pour réd ire a n e on a ne plus dépendre q„e du calcul intégral. Ainsi, tou s

classes distinctes. La première classe comprend les problèmes qui peuvent êlre résolus par le calcul différentiel seul La s

seul. Enfin, la troisième, q„i constitue le cas normal les autres n'étant que d'exception, comprend ceux dans K'ul les calculs difTérentiel et intégral ont chacun une part nies saire et distincte. ^ ^^^^

' Il

Calcul (lifférenliol.

Le syslome entier du calcul dilïérenliel est simple et parpàrfai!' ''"' '"'"■' '""^'S™' '•'^"'«"•■e extrêmement im-

Nous n'avons pas à nous occuper ici des applications de ces

tel Tru 'f'^""".'«^'^•'"^'i'"e"' ""e élude tout à fait difféen e de celle des pnncpes abstraits de la didérentiation et de

I .ntegralion. Par suite de la confusion habituelle de ce. p in-

II rievient d>fnc.le de concevoir convenablement soit l'analyse ou la géométrie. I/étude des aplications appartient aux 2

thématiques concrètes.

La division capitale du calcul ditîérentiel est fondée sur la

d.stmct,on desfonctionsàdillérentier en «,/ù.teout;". d ou résultent la différentiation des/brm„/.., etia différent 1 on

des.,„,, Ce,,eclassinca,io„estrenduenéce.ssairepâ per econ de l'analyse ordinaire, carsi nous savions .ésoudîe u esles équations algébriquement, il serait possible de ndre

exTl.cUestou.eslesfonctionsimplici.es;e.,ennelesd.^San qne dans cet état, la secondepartie du cai;ul différentiel rne

oveT Hm,"'"!'' P^'""'^^ ^""^ •'''""-"«" à aucune nouvelle difficulté. Mais la résolution algébrique des équations

g2 LA PHILOSOPHIE positivi:.

étant comme nous lavons vu, pres(iue(lans l'enfance et ignorée pour le plus grand nombre des cas, on comprend qu'il en dbil cire autrement, puisqu'il sagil de dilîérenlier une fonction sans la connaître, bien qu'elle soit déierminée. Nous avons ainsi deux classes de questions, la différentialion des fonctions implicites constituant un cas distinct de celle des fonctions explicites, et beaucoup plus compliqué. Nouscommencerons par la différentialion des formules cl nous ramènerons ensuite au premier cas la différentialion des équations, à l'aide de certaines considérations analytiques. Ces deux cas généraux sont encore distincts à un autre point de vue. La relation obtenue entre les différentielles est toujours plusindirecte par rapport à celle des quantités finies, dans la différentialion des fonctions implicites, que dans celle des fonctions explicites.Nous retrouverons cette considération relativement au calcul intégral, où elle acquiert une importance prépondérante.

Chacune des deux parties principales du calcul dilferenliel se subdivise encore, et cette subdivision présente deux théories très-distinctes, suivant qu'il s'agit de dillérentier des fonctions à une seule variable ou des fonctions à plusieurs variables indépendantes; ce second cas étant beaucoup plus complexe que le premier, même en ne considérant que les fonctions explicites, el, à plus forte raison, pour les tondions implicites. Pour compléter cet aper.-u des diverses parties du calcul différentiel, il faut encore distinguer le cas où il s'agit de différentier à la fois diverses fonctions implicites mêlées dans certaines équations primitives, de celui où toutes ces fonctions sont séparées. La même imperfection de l'analyse ordinaire qui nous empêche de convertir toute fonction implicite en une fonction explicite équivalente, ne permet pas davantage de séparer les fonctions qui rentrent simultanément dans un système quelconque d'équations, et les fondions sont évidemment encore plus implicites quand elles sont combinées que si elles sont séparées. Dans ce cas, en differenliaiU, nous sommes non-seulement dans l'impossibilité de résoudre les équations primitives, mais même d'effectuer entre elles les éliminations convenables.

Nous avons vu maintenant les différentes parties de ce calcul dans leurs relations el leur distribution nalurelles. Il

VUE |;É.\ÉKALE UE l'analyse JlATIIÉMATIQlrE. 83

repose finalement sur la différentiatiun des fondions exnlicites a une seule variable, la seule qui s'exécute diredem'ent Or, on comprend aisément que celte première théorie, base nécessaire de tout le système, consiste simplement dans la difrerenlialion des fonctions élémentaires, au nombre de dix qui forment toutes nos combinaisons analytiques; caria différentialion des fonctions composées se déduit évidemment d une manière immédiate et nécessaire, de celle des fonctions smiples qui les constituent. L'on voit donc que le .vslème emier de difrérenliation se réduit à la connaissance JeTd" d.irerenlielles fonda.nenlales, et à celle des deux principes généraux par l'un desquels la différenliation des fonctions nnpliciles est déduite de celle des fonctions explicites, tandis quel autre ramène la différentialion des fonctions à plusieurs variables à celle des fonctions à une seule variable Tel es

remir ''"'''''"'' " '" ^''^''^'"'"' '« '^'^^"'^ 'l» calcul diffé-

II estunelliéorie qu'il faut menliomier pour éviter l'omission ,1 un complément indispensable du système de différenliafon. c est celle qui a pour objet la transformation des fonci.ons dérivées, par suite des changements de variables. Cette Iheorie est aussi complète et aussi parfaite que les autres parties de ce calcul, et sa grande importance consiste à aumen.er nos ressources en nous permettant de choisir, pour laaiiler la formation des équations différentielles, le système de variables indépendantes qui paraît le plus avantageux, bien qu'il ne doive pas être maintenu plus tard, comme un . egre intermédiaire à l'aide duquel nous passons au système mal, que nous ne pourrions pas, en certains cas, considérer directement.

Quoique nous n'ayons pas à nous occuper des applications concrètes de ce calcul, nous ne devons pas négliger ses applications analytiques, parce qu'elles sont de la même nature que la heorie et qu'elles peuvent être regardées comme liées avec e le. Ces questions sont réduciibles à trois essentielles : ' le développement en séries des fonctions à une seule ou à pusieurs variables, ou, plus généralement, la transformation des fonctions, qui constitue la plus belle el la plus importante application du calcul différentiel à l'analyse générale, et qui

comprend, oulre la série fondamenlale découverle par Taylor, les séries si remarquables Irouvées par Maclauriii, Jean Dernouilli, LaijTange, elc. ; 2** la Ihéorie générale des valeurs maxima et ïninima pour des lonclionsquelconquesà une seule ouâ plusieurs variables, un des plus intéressants problèmes ([ue puisse présenter l'analyse, quoiqu'il soit devenu élémentaire; 3'' la détermination de la vraie valeur des fondions qui i^e présentent sous une apparence indéterminée pour certaines hypolhèses faites sur les valeurs des variables correspondanles. La première question est la principale sous tous les rapports; elle est aussi la plus susceptible d'une extension future, surtout en concevant, d'une nianière plus large qu'on ne l'a f;iit jusqu'ici, remj)loi du calcul différentiel pour la transformation des fonctions, au sujet de laquelle Lagrange a laissé quelques indications précieuses qui n'ont encore été ni généralisées, ni suivies.

CVst avec regret que je me borne aux généralités qui sont le sujet propre de cet ouvrage tant sont étendus et intéressants les développements (jui pourraient être donnés. Quelque insullisants et sommaires que soient les aperçus que j'ai présentés, je ne m'étendrai pas davantage dans Texamen qui va suivre du calcul intégral proprement ilil, c'est-à-dire du traité abstrait de l'intégration.

Calcul intégral.

La division du calcul intégral est fondée sur le ménie [ïrincPpe que celle du calcul dilïérentiel. Klle repose sur la distinction de l'inlégralion des formules dilTérentielles explicites, de l'intégration des dinërenlielles implicites, ou des équations dilTérentielles. La séparation de ces deux cas est même plus radicale relativement à l'intégration. Dans le calcul dilïérentiel, celte distinction ne repose, comme nous l'avons vu, (pie sur i'exlrénie imperleclion de l'analyse ordinaire. Tandis que, quand même tontes les équations seraient algébriquement résolues, les équations dill'éientielies n'en constitueraient pas moins un cas d'intégration tout à fait distinct de celui que présentent les formules différentielles explicites. Leur intégration est nécessairement plus compli(iuée