ANALYSE MATHO,..T,QUE S

que celle des différen.ielles explicites oar IV. quelles le calcul inlé-ral •. nri» ^ élaboration des-

seslefforcé,au.ant uep S;'?^;"^^'^ "«"' e„s..i,e on Tous les divers p.oc dés a aU ^ '" '''^'"'^'' '«^ ""'^«^•

v-'-nables, soil k r„é,|,„de des mu l'int / ''"'■"""" ''"^^ ?"'"■ but de ramener ce. iJl '"""'P''="'eurs, etc, ont eu

différentielles, la seue 1 ..'"'' ' '"'" '"' ''"""^'^ Malbeureusemem Zeiau "^^ :'''' ""'''"'' directement, base nécessaire e' o ,e Sfcut'" *?" T *"^''"'''^' -"« '•i-éKratio„ des é.uatio Z^S' IT "'^ '''""'' «noms avancé. "t^'tniieiies est encore bien

encre, selon qu L co ™r"^ '" ^"''^"' ''"^•^^•■«' - divise variable, ou de fonZsT, T" "' 'T'""' ' ""« ^«"'« ''«lie distinction e T J' '"? '"'"'^'«^ indépendantes.

in>|.or.Hnte pou r ùcî o T?"" '' "f "'''■""'' ''""•"'■''' P'est surtout remarn àbfe ï • ' •"""" '" '''«'^'■enliation. Cela 'ielics. £n .ff^S^lfT''''"' '"'^ "l-"io- différenindépendantes pe^ u denX""' ' ''''" ^^'•'"'^'eanutéristique et d'un ord e I "T"- '" ''"" '''"""''

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"on entre ses diverses dérivées sn^r i T "'"'''" '■'^'''rentes variables uvW.. "Petiales relatives au.v diff,-

Pfus dil«ciï,e 'aussi a'nr''"?"'; ''' ''' '''"''' '» '^'•"-•- '«

-.ielles, créé par d'Ale.i btr, " f ;' r,*^ ""^---s

.;-;e ren.an,ue de Lagran^e, les^éo, res ar'i'e.rr'' '" réellement nu r-ilmi ..... r '"^"th auraient du voir

l'analyse transcendante es ne ^ In^ ""'? '''"''' ''^

Dans le cas le plus sim.I 1 '"'"'''""'"^ dans reufance.

ramener 1 in é-r on ' '. , '" ^'°''''"' <^""'l"èteme„t

orduiaires. ''"'' ''^^ •^"''"""""^ diirérent.elles

calcul dillér I ' L ,' ."T ''"'^^""" ^P««i«'e dans le

diirérenliaZ î "'"'''■' '''"' "" "'<>*"« élevé des

'-eutiations. ^ous devons regarder celte distinction comme

! : il 1 i

une subivision de Tinlégralion des différentielles explicites ou implicites. Relativement aux différentielles explicites à une ou à plusieurs variables, la nécessité de distinguer leurs divers ordres ne tient qu'à l'extrême imperfection du calcul intégral ; relativement aux différentielles implicites, la distinction des ordres est plus importante. Dans le premier cas, nous savons si peu intégrer même les formules différentielles du premier ordre, que l'intégration des formules différentielles d'un ordre plus élevé produit de nouvelles difficultés quand on arrive h la fonction primitive, objet propre d'un tel travail; et, dans le second cas, s'ajoute cette diflicultéque l'ordre supérieur des équations différentielles donne lieu, nécessairement, à des questions d'une nature nouvelle. En thèse générale, plus est élevé l'ordre des équations différentielles, plus sont inipliciti's les cas qu'elles présentent, et ils ne peuvent rentrer les uns dans les autres que par des méthodes spéciales dont la recherche constitue, par conséquent, une nouvelle classe de questions, à l'égard desquelles on ne sait jusqu'ici presque rien, même pour les fonctions d'une seule variable.

On voit, d'après les considérations précédentes, que l'intijgration des formules différentielles explicites du premier ordre, à une seule variable, est la base nécessaire de toutes les autres intégrations, qu'on ne parvient jamais à effectuer qu'autant qu'on peut les faire entrer dans ce cas élémentaire, le seul susceptible d'être traité directement. Cette intégration simple et fondamentale, souvent désignée par l'expression commode de quadratui'es, corresipond, dans le calcul différenliel, au cas élémentaire de la différenliation des fonctions explicites à une seule variable. Mais la question intégrale est, par sa nature, bien autrement compliquée et beaucoup plus étendue que la question différentielle. Nous avons vu que celle-ci se réduit à la différentialion de dix fonctions simples qui fournissent les éléments de l'analyse; mais l'intégration de fonctions composées ne se déduit pas nécessairement de celle des fonctions simples dont chaque combinaison doit, quant au calcul intégral, présenter des difficultés spéciales. De là, l'étendue indéfinie et la complication si variée de la question des quadratures sur laquelle, malgré tous les efforts des analystes, nous possédons encore si peu de connaissances complètes.

VUE GÉNÉRALE Z,E l'a«ALVSE «AT„ÉMAT,QUE. 87

premier es. i pi^v cï s it^thr'""""'""'^^- ''' lions irralionnelles il est vn.î n7 '"""' ""' ^""<=-

in^-ies n'ayant é't ' olle:; 's rdï:! ZZ' T'. ''"'' 1res restreint, et surlont^n J 7 "•""'"'^ ^^ «as

«ration des fonctior "e ^3 rs'u:' '^'T''''' ^''"'- '•u calcul intégral qui ait pu ïre ^T' ''"'' """"^ plèle ; sous le rapport lo-Le pIiI ""' '"'""'^'"^ «"'"-

la plus sa,isfaisar,V™lï;euû<- 2:^^' '""' '^ ''''' Il est même essentiel de remar ' ^r no r " ""''"'■''"'^•

de l-imperrection du calcul 3 a ' oT'"" ""'^"'"^ '''' "'est entièrement résolu JZl^r J ' " P'" ^''"''" lion envisagée d'une m" Jère 2, . ^"^ '""''""' ''""^S'-ala théorie s IrouZeZl' ? : '"" "'"' ''"^'="""-"'

«ent l'.ntésra.ion de la résolutiol ^b 'ue J!" ^ '"'" ce qui en limite beaucoup l'usa-e rfnuî- , ^'ï"»"»"*.

transcendantes esttoulà fai daïi'e^, r."" "/'" ''"''''"' ce qui concerne les f,.,, ,t «"fancejusqu'à présent, en

de cas de ces trois divers eenrp, «. ^ '" "°"''"'«

plus simples, ilsconduitlriE"" "' ''"''' ''' La tliéorie des soluiion« c; ? ^"^'"^'"Pén'l'les.

sous le nom d^LSrArjSr;^"^'^'''^ ,"->"grange dans son calcul des fonction 1 '"'".'"'"'«^^ P^^ La-

été dignement appréciée pa^ oi^ZZ;" "V^ née à cause de sa oerfectinn .r""'""^^' "oU être mention -

applications. Cet eThéo énorme' in. '.' f ''"'"'"*^ '' ^' de la théorie générale de riniIrP!""""'"' ""* P<"-"«n lielles: mais je Z ii „l ^ " '^'' ^"ï'""*""^ ^'«"«'"en-

ai- dire, en^irrs7u^:7X7Sît ''' ^°"'

puisque ces so.utLns%m I J oEéT 'l r"'"' '"''=^-'' lions différentielles sans mJ ^ '^""^""^ *"* ^qua-

.fT-v

Celte théorie a un caractère de généralité parfiiite, car Lagrange a donné des procédés très simples pour trouver la solution simiulière de toute équation différentielle quelconque qui en est susceptible; et, ce qui n'est pas moins remarquable, ces procédés n'exigent aucune intégration, consistant seulement dans des différentiations, et par cela même ils sont toujours applicables. La diffêrentiation est ainsi devenue, grâce à un heureux artifice, un moyen de suppléer dans certaines circonstances à rimperfection du calcul intégral.

Enfin, il nous reste à mentionner une théorie importante pour compléter notre examen de l'ensemble des recherches analytiques dont se compose le calcul intégral. Je Tai laissée en dehors du système, parce qu'au lieu d'être destinée à une véritable intégration, on s'y propose de remplacer la connaissance des intégrales vraiment analytiques qui sont le plus souvent i<jnorées. On voit qu'il s'agit de la détermination des intcfirales de/iuies. Ces intégrales définies sont les valeurs des fonctions cherchées pour certaines valeurs déterminées des variables correspondantes. Leur usage dans l'analyse transcendante correspond à la résolution numérique des équations dans l'analyse ordinaire. Les analystes, ne pouvant ordinairement obtenir l'intégrale véritable, qu'on nomme par opposition l'intégrale générale ou indéfinie, c'est-à-dire la fonction qui, différentiée, a produit la formule différentielle proposée, ont dû s'attacher à déterminer du moins, sans connaître une telle fonction, les valeurs numériques particulières qu'elle prendrait en assignant aux variables des valeurs désignées. C'est évidemment résoudre la question arithmétique sans avoir préalablement résolu la question algébrique correspondante, qui, le plus souvent, est la plus importante. Une telle analyse est par sa nature aussi imparfaite que nous avons vu l'être la résolu lion numérique des équations. Elle présente comme celle-ci une confusion vicieuse du point de vue arithmétique avec le point de vue algébrique, d'où résultent, soit sous le rapport logique, soit relativement aux applications, des inconvénients analogues. Mais, par suite de l'impossibilité où nous sommes d'obtenir les véritables intégrales, il est de la plus haute importance d'avoir pu obtenir au moins cette solution, quoique incomplète et insuffisante. Or, c'est à quoi on est parvenu

VUE GÉNÉRALE DE l'anALYSE MATHÉMATIQUE 89

pour tous les cas, Tévalualion des mié-v,\^. .uc ■

analystes dirigent tontes leurs Iranl', "'' '"'''"' '^^ regardant comme parfa ,e cet e s r T;" "'''^''''- ^" d»nte. la difficulté dll , «'■"''""'"?'"' "-anscen-

dépendre finairmt Te:,: ct^os: ^^ ' ^ '^ delern,ination d'intégrales définies ce a„i . f "'"P"' saurait être toujours possible/llnue'ra'br: •"?"'• "' ^^Puisse employer. e^ct'uJrrtrS^^^^^^^^^^

'e calcul intég;:,: r,:r;;;;:é r SéS::; t'r-^ t

un champ inépuisable à l'activité de Vespri^^Z'Z damment des applications indétines do tri'.'''"' dame est évidemment susceptible/lls ,oJ %"'''"' démontrent l'impossibilité de découvrir iLl ' """'

générale des équations al^ébrlT l'un H ■ ''''"''"'''" sont encore pi J décisifs ^tvllt T I l^ir^;: proce e umque d intégrations applicable à t „? t ', " « t est, dit Lagrange, un de ces problèmes dont «,. , « espérer de solution générale „ pi. . "^^a"™"

sujet, plus on sera conva nTu au', ne tell"" ?''T' '"' '' lement chimérique comm pC la or 'e T " "' "^'^ agence, quoique les travaux dT 1^ ^ lt;^^^'".'«'- ■nent ajouter par la suite à notre connl ^ de ' . "" et créer des procédés d'une plus grande Si .'""'"'f"" transcendante est encore irlp pr'.s 1 fr n ".'"^"'

surtout trop peu de temps qu'el e s coITh'"''' " ' ' vraiment rationnelle nournil ni ®'\ '°"f "« d une manière

■ de ce qn'elle deviS I our la sTlT" """] '"'" ' ''"^^ nos légitimes espérances, n'oubh! s ! T •'?!""' '""^ 'out les limites imposées par e co! 1 1 "!' n'" '" '"""'

qui bien qu'elles ne soien! pas dLm'Znet- •'"'''.• «se, n'en sont pas moins réelle, Tn. "''"""''' P""^'

augmentation dï ressoir^' ^dj tusLr;"'" !"'"" -. dans ,e mode de dériva.! de: ^rtSs^:. S

intruduiles pour faciliter l'élablissement des équations. Leurforinatioii pourrait suivre une inlinilé d'autres lois que la relation très simple qu'on a choisie. J'y vois des moyens bien plus féconds (jue ceux qui pourraient résulter de nos efforts à pousser plus loin le calcul des fonctions indirectes ; et je suis persuadé que quand les géomètres auront épuisé les applications les plus importantes de notre analyse transcendante aclueîle, ils tourneront leur allention dans rette direction, au lieu de faire de vaines tenlalives pour atteindre une perfection impossible. Je soumets ces vues aux géomèlres qui dirigent leurs méditations sur la philosophie générale de l'analyse.

Du reste, jquoique j'aie dû montrer dans mon exposition sommaire l'élal d'exlréme imperfection dans lequel se trouve encore le calcul intégral, on aurait une idée fausse des ressources générales de l'analyse transcendante si l'on attachait trop d'importance à cette considération. Il en est ici comme dans l'analyse ordinaire où l'on est parvenu à utiliser à un degré immense un très petit nombre de connaissances fondamentales sur la résolution des équations. Quelque peu avancés que soient jusqu'ici les géomètres dans la science des intégrations, ils n'en ont pas moins tiré, de notions abstraites très peu multipliées, la solution d'une multitude de questions de la plus haute importance en géométrie, en mécanique, en thermologie, etc. L'explication philosophique de ce double fait général résulte de l'importance et de la portée prépondérantes de la science abstraite, don! la moindre partie correspond naturellement à une multitude de recherches concrètes, l'homme n'ayant d'autres ressources pour Texlension successive de ses moyens intellectuels que la considération d'idées de plus en plus abstraites et néanmoins positives.

Calcul des variations.

Par son calcul, ou plutôt sa méthode des variations, Lagrange a démontré l'aptitude de l'analyse transcendante à établir les équations dans les problèmes les plus difficiles, en considérant une classe d'équations encore plus indirectes que les équations différentielles proprement dites. Ce calcul est encore trop près

VUE GÉ.XÉnALE DE ..'a.ause MATi.ÉMAT.QUE. 9,

vraiment applicable qu'à u , é h l""""""'"' "'^^' Ils ec,nsis,en'. dans la recl" . els' r! :: m "'" '"^■ . certaines formules inlé-rales inZnl ' """""" "^^

'oi ana„i,„e de .el eut; ^j; rSE:;'':"""' '^ nique, considéré indépendammnn. ..^''"'"''"T'^ o" mecai).>ns la ,l,éorie orcCa ^ril Cir'^'' """'""■"• c..erc„ons, rola.ivemen.à une loLr , „ ZT'sli'rr de plu.s,onrs variables, quelles valeurs pa icu ié eV ; 1 " assii;nor à ces variables pour nue h vole,, / , "

la fonolion proposée soi un ZJ ^'-n'cspondanle de

rappor, à celle L priden. et Z?- "" "" "''""""'" l'^'ces,-à-.lire que lus c S „ ^ r ""' "'"'^""«'«'"«'".

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prcnier ordre de latColo ,""""'. ''"'''' "" rapport à cbaqne varia Id;:'::^'^"'''^?'"'^'" P^ plus, un carnclère propre i di.ii, ' ,1 ' '"''"'"•''"'' '"'

•"-. .|"i consiste dan le 'ef'''"r '"'"," '" ""'"'■-

variable, par exemple, ouce 'ol r r"" ' "'"^ ''"^'

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lion d'un nouvel ordre de problèmes à la fois plus imporlanls et plus difficiles, ceux des isopi'riiuètres.Ce ne sont plus alors les valeurs des variables propres au maxinium et îiu minimum d'une fonclion donnée qu'il s'agit de déterminer; c'est la forme de la fonction elle-même qu'on se propose de découvrir d'après la condition du maximum ou du minimum dune certaine intégrale définie, seulement indiquée, qui dépend de cette (onction. Nous ne ferons pas ici Tbistoire suivie de ces problèmes, dont le plus ancien est celui du solide de moindre résistance traité par Ntwion dans le second livre des « Principes, n où il détermine quelle doit être la courbe méridienne d'un solide de révolution, pour que la résistance éprouvée par ce corps dans le sens de son axe, en traversant avec une vitesse quelconque un fluide immobile, soit la plus petite possible. La mécanique a fourni d'abord cette nouvelle classe de problèmes; mais c'est dans la géométrie qu'on a a pris ensuite les sujets des investigations principales. Les travaux des meilleurs géomètres n'avaient encore servi qu'à les rendre variés et compliqués à l'extrême, quand Lagrange assujettit leur solution à une méthode abstraite et entièrement générale, dont la découverte a fait cesser l'empressement des géomètres pour un tel ordre de recherches.

Il est évident que ces problèmes, considérés sous le point de vue analytique, consistent ta déterminer quelle forme doit avoir une certaine fonction inconnue d'une ou plusieurs variables pour que telle ou telle intégrale dépendante de cette fonction se trouve avoir, entre des limites assignées, une valeur qui soit un maximum ou un minimum relativement à toutes celles qu'elle prendrait si la fonclion cherchée avait une autre forme quelconque. En traitant ces problèmes, les prédécesseurs de Lagrange se proposaient essentiellement de les ramener à la théorie ordinaire des maxinia et minima. Mais leur procédé pour effectuer cette transformation consistait en de simples artifices particuliers à chaque cas, irréductibles à des règles certaines, en sorte que chaque nouvelle question reproduisait des difficultés analogues, sans que les solutions déjà obtenues pussent être d'aucun secours. La partie commune à toutes les questions de celte classe n'était pas découverte et on n'était pas parvenu à les traiter d'une

VUE GÉAÉnALE KE l'analïse .MATUÉMATJQUE. 93

manière générale et abstraite En rliPivl,-.n. .-. -, ■

primitivement d'autre obiet hup I. .- , "^^'^^'^^^s n ait eu général, d., f^m.^JZT^J,^'""" ,'«""»•"• «

questions de mécanique rationnelle pour leJ^Zs^^

Mves qu occupe, en vertu du mouvement, un même », ,n, T chaque corps dans deux instants consécuti s "uT "7 '

d'un point du corps à ua autre dans le mêm I uT' .T'

i ut^drr'"" '"'"'' '^^ ^'fféren.iXrord Lirr voir le calcul des variations, pour apprécier "onvenaSm

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Fimportante de cet admirable irislrument logique, le plus puissant que l'esprit humain ait construit jusqu'ici.

Cette méthode n'étant qu'une immense extension de l'analyse transcendante générale, il n'est pas besoin de démontrer qu'elle est susceptible d'être envisagée sous les divers aspects que comporte le calcul des fondions indirectes considéré dans son ensemble. Lagrange a inventé le calcul des variations d'après la conception infinitésimale proprement dite, et même bien avant d'avoir entrepris la reconstruction générale de l'analyse transcendante. Quand il eut exécuté cette importante réforme, il montra aisément comment elle pouvait aussi s'appliquer au calcul des variations, qu'il exposa avec tout le développement convenable, suivant sa théorie des fonctions dérivées. Mais, plus l'emploi de la méthode des varialions est difficile, à cause du degré supérieur d'abstraction des idées considérées, plus il importe de ménager, dans son application, les forces de notre esprit, en adoptant la conception analytique la plus directe et la plus rapide qui est, avonsnous dit, celle de Leibnilz. Aussi, Lagrange lui-même l'a-t-il constamment préférée dans l'important usage qu'il a fait du calcul des variations dans sa « Mécanique analytique. » Il n'existe pas, en effet, la moindre hésitation à cet égard parmi les géomètres.

Dans la section relative au calcul intégral, j'ai fait remarquer la création par d'Alembertdu calcul aux di/J'érences partielles, création dans laquelle Lagrange reconnaissait un nouveau calcul. Cette nouvelle idée élémentaire, qui consiste dans la notion des deux sortes d'accroissements distincts et indépendants les uns des autres que peut recevoir une fonction de deux variables, en vertu du changement de chaque variable séparément, me semble établir une transition naturelle et nécessaire entre le calcul infinitésimal ordinaire et le calcul des variations.

La conception de d'Alembert me paraît, par sa nature, très rapprochée de celle qui sert de base générale à la méthode des variations. Cette dernière, en effet, n'a réellement fait autre chose que transporter aux variables indépendantes ellesmêmes, la manière de voir déjà adoptée pour les fonctions de ces variables, ce qui en a singulièrement étendu l'usage. J'in-

VUE GÉNÉRALE DE L'a.NALYSE MATHÉ.fATiQUE. 95

et pins aisées à obtenir n„e ce L H, ! P'"««"nples

que M„us en eussions ianiais Or l'L . "'''''"''" ^upposer ren-rcr dans le do na d eÏu Îm- "" '"'''''"' ^^" équ..ions d,fré..entieil s; ca ■ e ^^^T"" ""r "" 2 grand nond.e de ues.io^:' i^ o ,al '7mZ

delarecl.erlet ,''"■■ ''"''""''' ""' °''J«'^ P™l"-e« vel ordre' i il iï- ?'"'?'"' '"''""J-^" ^ '^"^'"<^^ '« "<>»-

ees.a..ïo:l'dSs:::;;:;;t:-2-^ ■

PoNée di t L: i ' P '-s .rrécnsable .én.igna^e de ,a

naissons «ne P. „ ?' ' "'""" '"""P^' "«"^ recon- .sons qne en.,,l„, ,|e celle mélhode exi^^e le plus bant

sonnemen,. 1 ,f ?• ' '" '''^'''"^''^ '" ^"i«"" ^es rai-

eun se . r; n h '" '' "^"'' '"^ '""' P^-^^l"*^ '''an-

géomîin ; '^""'P'-endons comment il se peu que les

.ercôSpir"^^' "■"''''' '''"' ^^" ^' P- d We d'une

Nous avons maintenant examiné l'analyse nialhémalique dans ses bases et ses divisions, très sommairement, mais d'un point de vue philosophique, négligeant seulement les conceptions qui ne faisaient pas partie de l'ensenible, ou qui, poussées à leurs limites, seraient reconnues appartenir à quelque division déjà envisagée. Je vais donner un semblable aperçu de la mathématique concrète. Ma lâche spéciale sera de montrer, en supposant parfaite la science du calcul, comment il a été possible de ramener, à l'aide de procédés invariables, à de pures questions d'analyse, tous les problèmes de géométrie et de mécanique; et, par suite, de donner à ces deux grandes bases de la philosophie naturelle ce qu'elles ne pouvaient obtenir autrement, c'est-à-dire la précision et Tunilé qui constituent leur perfection.

■tau

GlJAPlTIiE JJ[

Vuo .^cnérale do Ja ^éomélvie.

Nous avons vue aup h <rA,.r..A, • «aturelle, seule^eT^^ZZ'V'' """.-"'«»"« science qu'aucune au.re. Il neïrtilr:^"''^' "'"^ ''''''">

science pnre.nent lowlue i 1 ÎT'"''"''"''' ^"^ «°'"' ""« Chaque corps é.ud,' ."ie ' S!"'' '' ''"'^""^''•'"• phénomènes primiufs qui, „ï,ané ah '""'''"" ''"'"^"^^ -n,, ne peuvent é.elonite ^vZ:::: ^'"""^-

seulement tous les col ,17, . '' Phénomènes. Non

«ies recherches «SnTrli^u ^ •■■'re7:;ï"j "^^T '^ ' mécaniques, mais les Dhènnm^n ^'^".'1"^ ^es reclierches

encore^uand mé„:: t er.r;i"eTd?r""''^'^^^'^"' supposées immobiles. La séomé r e /„ t I""' ''''""'

que la mécanique. Elle est auss n " ' °"' '''"' 8'^"«™'«

-ènessontind'épendan. ::;/ ell'ï;;"^ "^ '^''^"<'ies pliénomènes mécaninnp» 1 . . mécanique, tandis que

de ia géométrie. uZlTlZ :^:Z7Z''^'''' '' '^"^ géométrie avec la thermoiogie absira.T nJ "°"'^''' ^'

ia géométrie doit être classée coml ^ '"' '"°^'^''

mathématique concrète. ^"'""'"' ''«''"« ^e la

Au lieu d'adopter la définition va"ue au'on ,tnn ^- ■

rcmenl de la «éomélrip • r-M. a ^ """"^ ordmai-

disposé à lui'en d ner ! ■T"''''''''''''''''^'^'J««"'^ nière plus précise enT- '^n' ' '''"'"^'■'''^ **'""« «"«-

^'-i. Cs'^:t.:ïrn2:: :„::si:t^ ~ '-

est vrai, toutes les opérations d Ta gémre'rT''T''' coup de recherches qui ne paraissent ^ ' ^ ^ '''^"■

mesure de l'étendue M,i! P'""''^"' P«« '"'^o"- Pour objet la

-ble ^^ ^^^^';,:^2^^^^^^ d-^ '-entromper dirennP h n..c " *:^'^^' "^"^ pouvons, sans nous

me Jest'lett^Val :;'X^Sdtr'^^-^^ '] -'souvent mdirect, des trav'au'x gSriq^ ' ""'"" '^ "'"

Uélude ralionnelle de lagéomélrie n'aurait jamais pris naissance, si on avait considéré à la fois toutes les propriétés physiques des corps en même temps que leur grandeur et leur forme. La nature de notre esprit nous permet de penser aux dimensions et à la forme d'un corps, abstraction faite des autres phénomènes qu'il présente. Après que robservalion nous a montré, par exemple, l'empreinto laissée par un corps dans un fluide où il a été placé, nous pouvons retenir l'image d'une telle empreinte, qui devient la base d'un raisonnement géométrique. C'est ainsi que, indépendamment de toute idée métaphysique, nous est suggérée l'idée de l'espace. Cette abstraction, maintenant si familière que nous avons peine à apprécier les conséquences qui résulteraient de sa suppression, est peut-être la plus ancienne création philosophique de l'esprit humain.

Une autre abstraction reste ;i faire avant d'aborder la science géométrique. Nous devons concevoir trois espèces d'étendue et apprendre à les concevoir séparément. Nous ne pouvons imaginer un espace rempli par un objet quelconque qui n'ait pas à la fois voltune, surface eiligne. Cependant les questions ne sont quehiuefois relatives qu'à deux, et souvent qu'à une seule de ces dimensions; même quaiul toutes les trois doivent être fmalement considérées, il est souvent nécessaire, a!in d'éviter des complications, de n'en étudier qu'une a la fois. C'est la seconde espèce d'abstraction indispensable à notre élaboration; elle consiste à considérer la surface et la ligne indépendamment du volume, et même la ligne indépendamment de la surface. Nous y parvenons en nous représentant le volume comme devenant de plus en plus mince, jusqu'à ce qu'il soit réduit à une surface sans épaisseur, ou à l'état de pelhcule; et ensuite en concevant celte surface comme devenant de plus en plus étroite, jusqu'à ce qu'elle soit réduite à un fil aussi ténu que possible, ce qui nous donne l'idée de ligne. Quoique nous ne devions pas considérer le point comme une dimension, nous devons aussi en avoir une idée abstraite, ce qui s'obtient en réduisant la ligne d'une extrémité à l'autre, jusqu'à ce qu'il n'en reste que la plus petite partie possible. Ce point n'indique naturellement aucune étendue, mais la position ou le lieu d'une étendue. Les surfaces ont évidemment la propriété de