III. — L'INFINI

Cette interrogation spéciale portant sur la numération sans terme, sur le nombre sans fin s'était déjà présentée à Renouvier au cours, de ses études de mathématiques. Or tous les mathématiciens qui avaient pesé les termes de l'alternative dans laquelle était emprisonnée la réflexion du philosophe, étaient unanimes. Tous, depuis Galilée jusqu'à Cauchy ^, avaient souligné l'impossibilité de l'infini de quantité, l'absurdité de l'infini réalisé. « Je me sentais, explique Renouvier, après bien des tâtonnements et des essais infructueux de systèmes, obligé de choisir entre une théorie infinitiste dans l'abstrait comme dans le concret... et une théorie de la connaissance et de l'être de laquelle seraient rigoureusement exclues toutes les affirmations de nature à impliquer l'existence actuelle d'un infini de quantité ^ »•

» Esquissç dune classification systématique», t. II, p. 371.

^ Sept leçons de physique générale,

3 Critique Philosophique,,. 1878, t. II, p. 3i2.

Pourquoi ce qui est impossible et absurde, au point de vue mathématique, serait-il maintenu au point de vue métaphysique ? Si les mathématiques ne s'accommodent pas de la contradiction, pourquoi la métaphysique s'en accommoderait-elle ? S'il est démontré qu'il n'y a pas de nombre infini, ne faut-il pas réviser les théories et les solutions qui impliquent sa réalité ? Si la révision doit être la révision de toutes les notions traditionnelles, ne faut-il pas s'incliner devant l'évidence indéniable plutôt que devant la pseudo autorité de systèmes flottants ? Et quiconque se reconnaît obligé par la logique sait que le nombre infini n'est pas, que le nombre infini ne peut pas être.

Quand le philosophe eut formulé en lui cette certitude, quand il en eut vérifié la valeur absolue et saisi la portée incalculable, il possédait le principe par lequel il allait opérer daqs le champ des idées humaines sa grande réforme et instaurer le néocriticisme. Renouvier met à la base de sa doctrine la négation de l'infini quantitatif, il ne se lasse pas d'en accentuer la nécessité, il la rappelle dans chacune de ses thèses, dans chacun de ses livres il la fortifie de quelque argument nouveau, il tire de cet axiome négatif d'innombrables corollaires positifs. Ses preuves empruntées aux mathématiques ou suggérées par l'expérience, lui paraissent irréfragables. Elles le sont assez pour que ses contradicteurs, les partisans de l'infini, ne leur contestent qu'en partie ce caractère.

Soit un nombre quelconque. On peut le rendre aussi grand qu'il plaira à l'imagination de le concevoir, tel qu'il dépasse toute imagination ; même insaisissable, même inépuisable, ce nombre n'est pas infini. Il est toujours possible d'augmenter ce nombre d'une ou de plusieurs unités, donc de le rendre plus grand qu'il

n'était. Le nombre infini étant, par définition, le nombre le plus grand, ce nombre ne varierait pas si on lui ajoutait une ou plusieurs unités, car s'il variait, s'il grandissait, il n'était donc pas le plus grand. Tandis que tout nombre a pour propriété de croître indéfiniment, le nombre infini est un nombre qui ne croît pas, quelles que soient les sommes qu'on lui ajoute. En d'autres termes, le nombre infini est un nombre qui est le contraire d'un nombre.

Ce qui est dit du nombre abstrait vaut pour les nombres concrets. « Un nombre est une somme d'unités ; un espace, un temps, comme quantités, sont des sommes d'espaces égaux pris pour unités d'espace, des sommes de temps égaux pris pour unités de temps ; en sorte que cet espace et ce temps sont assimilés à des nombres » '. Toute somme d'unités, soit de temps, soit d'espace, peut-être augmentée d'autres unités semblables ; par conséquent tout nombre concernant le temps ou l'espace peut être suivi d'un autre nombre plus grand. La suite des nombres possibles n'a pas de terme, n'a pas d'existence déterminée ou actuelle. Un nombre infini désignant le temps ou l'espace est un nombre qui n'est pas un nombre. L'infinitisme concret reste contradictoire et se complique d'illusionisme.

Le nombre infini appartient à la série des nombres 1, 2, 3, 4, 10, 100, 1000, etc.. Ce nombre ne diffère de ceux qui le précèdent que par une ou plusieurs unités, il est donc fini comme eux. Le maintient-on en dehors de la série des nombres ? Alors il n'est pas un nombre ! Qu'est-il ?

Le nombre infini, s'il est vraiment un nombre a,

ï Premier EssaL, Manque dans la i"*^ édît. ; 2»? édît., t. I. p. 55-56.

comme tous les nombres, son carré, son cube. Il y a donc des nombres plus grands que lui. Ou bien il n*est pas un nombre, ou bien il n*est pas infini.

« Si toute la suite des nombres entiers était actuellement donnée, il y aurait deux nombres égaux dont Fun serait plus grand que Tautre, ce qui serait une contradiction formelle in terminis... Supposons cette suite donnée, nous pourrons former une autre suite toute et exclusivement composée des carrés de la première, car on peut toujours faire le carré d'un nombre. Ainsi, par hypothèse, la seconde suite aura un nombre de termes égal au nombre des termes de la première. Or la première contient tous les nombres, tant carrés que non carrés ; la deuxième ne contient que des carrés ; la première a donc un nombre de termes plus grands que la deuxième puisque, contenant tous les nombres, elle contient tous les carrés et qu'elle contient en outre les nombres non carrés. Mais, par hypothèse ou construction, ces nombres de termes sont égaux, donc il y a des nombres égaux dont Tun est plus grand que l'autre. Mais cette conséquence est absurde ; donc il est absurde de supposer la série naturelle des nombres actuellement donnée » '.

La géométrie est aussi probante que l'arithmétique et la rigueur démonstrative ne diminue pas si l'on considère la division au lieu de considérer l'addition.

Soit une ligne AX, et ses parties AB= , BC= — ,

ex

CD= , etc., à l'infini. La somme

' Les principes de la Nature,., 2^' édit., t. I, p. 55. Nouvelle Monadologie,,, p. 35.

AB+BC+CD, etc., est égale à la ligne totale AX. La ligne AX contient une infinité de parties, mais AB, moitié de AX, BC, moitié de BX, CD, moitié de CX, contiennent aussi une infinité de parties. Donc la moitié, le quart ou le huitième de la ligne sont des quantités équivalentes à la ligne entière. Donc encore « la quantité AX est un infini composé d*une infinité d'infinis tous égaux entre eux et à lui-même, si Ton suppose la donnée réelle d'une unité infiniment petite » '.

Nicolas de Cuss était fondé à identifier Tinfiniment grand et Tinfiniment petit ^. La gageure est légitime si l'on croit à l'infini. Conçu comme réalisé, comme actuel, l'infini de quantité ne représente rien, sinon le néant, n'exprime rien, sinon la contradiction dans les termes. Parler donc de nombre infini, c'est parler de ce qui est inconcevable rationnellement, contradictoire logiquement, impossible réellement. « On rougit d'avoir à dire que tout nombre est nombre, donc déterminé, et qu'un nombre sans nombre est un nombre qui n'est pas un nombre » ^. Cet axiome est l'axiome même du principe de contradiction : « On n'affirme pas, on ne nie pas à la fois le même du même, sous le même rapport ; on ne pose pas, on ne retire pas à la fois ce qu'on dit*. »

Quelques philosophes contemporains, par un artifice du langage ou une subtilité de la pensée, se sont efforcés de réincorporer l'infini de grandeur parmi les idées rationnelles. Le nombre infini est reconnu contradictoire, mais sous un autre nom on veut conserver la même chose.

> Nouvelle Monadologie.». p. 36.

Dilemmes de la métaphysique pure,,, p. 120-121. ^ Année Philosophique,,, 1868, p. 59.

8 Année Philosophique,,, 1868, p. 37.

-* Dilemmes de la métaphysique pure,,, p. 3.

Au lieu de dire : nombre sans nombre, ce qui décidément est trop difficile à énoncer, on dit : « nombre plus grand que tout nombre assignable ».

Si Ton entend par là un nombre que le calcul ne peut embrasser et que Timagination ne peut atteindre, ce nombre serait-il traduit par Tunité suivie d'un million ou d'un milliard de zéros, n'est cependant qu'un nombre immensément, démesurément grand. 11 est susceptible de s'accroître indéfiniment, il n'est pas le nombre le plus grand possible, le nombre infini.

Si l'on entend par inassignable un nombre plus grand que tout autre nombre, la contradiction reparaît. Ce nombre ne pourrait être augmenté d'unités nouvelles, ou, augmenté de nouvelles unités, ce nombre ne grandirait pas, puisqu'il est le plus grand possible, ce nombre n'est pas un nombre K

M. Boirac, après M. Paul Janet, imitateur lui-même de Leibniz, a distingué entre le nombre et la multitude. Le nombre est une idée subjective appliquée à la multitude, idée objective, par l'esprit qui veut faire la .somme de cette multitude. On ne peut concevoir de nombre infini parce que le nombre est une ^omme finie ; on peut concevoir des multitudes dont la pensée ne parvient pas à faire la somme, des multitudes infinies *.

Mais l'idée de multitude n'est pas moins subjective que l'idée de nombre. Avant que Tesprit la transforme en un nombre déterminé, une multitude renferme des unités et des collections d'unités. La multitude n'est pas la matière du nombre, elle est le nombre même, le nombre encore inconnu, mais donné. L'esprit qui

i Année Philosophique,» i868, p. 38-39.

2 Critique Philosophique,,, 1877, t.l , p. 193.

énumère la multitude nomme le nombre, mais il ne le crée pas K

M. Gaston Milhaud avait avoué qu'il ne pouvait exister un nombre plus grand que tout autre nombre ; toutefois la vraie question lui paraissait la suivante : l'univers n'ayant pas de nombre infini, s'en suit-il que l'univers ait un nombre fini, l'univers est-il un nombre?^. Dans le cours professé à l'Université de Montpellier, M. Milhaud reprend sa thèse ancienne et déclare que la loi du nombre ne s'impose pas comme l'impose le néocriticisme. A côté des deux hypothèses : les choses saisissables pour la pensée ont un nombre fini, les choses saisissables pour la pensée ont un nombre infini, il en est une troisième : les choses saisissables pour la pensée n'ont pas de nombre. Et on échappe à toute contradiction en affirmant que « la réalité offre indéfiniment des unités nouvelles à qui voudrait compter et former un nombre ^ ».

M. Gabriel Séailles trouve à cette objection une grande vigueur et la répète en Sorbonne. « Je ne puis affirmer tout à la fois d'une collection donnée le nombre et l'infini; mais il n'y a aucune contradiction dans les termes à nier le nombre d'une collection qu'on déclare infinie'' ». Si tout était nombre, la critique de Renouvier serait acquise, mais tout est-il nombre, et penser est-ce toujours nombrer ?

Cependant, si une collection donnée, si les choses définies ne sont pas unité ou pluralité, que sont-elles ?

ï Année Philosophique,,, 1890. F. Pîllon : la critique de tinfini.,. p. 116-118.

2 Essai sur les conditions et les limites de la certitude logique,,, p. 197, 233.

3 Revue des Cours et Conférences,,, 9 février i9o5, p. 670-671. ^ La philosophie de Charles Renouvier,,, p. 78.

Elles restent hors de notre pensée, elles n'existent pas pour nous ; si nous pouvons les penser, nous les pensons comme unité ou comme pluralité. Si une collection donnée, si les choses définies sont unité ou pluralité, elles sont nombre. On ne saurait, en effet, se contredire au point de soutenir qu'elles ont des unités, qu'elles sont composées d'unités et que, tout de même, elles pourraient n'avoir pas de nombre. Chaque élément de la collection donnée, chaque chose définie est une unité réelle, la pluralité de ces éléments et de ces choses est réelle aussi. Et la pluralité comme la multitude est un équivalent du nombre. La pluralité, comme la multitude, est le nombre encore inapprécié, mais existant, mais présent, mais certain. Le nombre est la pluralité évaluée comme il est la multitude spécifiée. Le dénombrement indique la somme mathématiquement déterminée, mais cette somme est formée avant que l'esprit ait totalisé les unités dont elle se compose. M. Séailles et M. Milhaud oublient, M. Janet et M. Boirac oubliaient, que le nombre réel préexistait, quoique inconnu, au nombre calculé ^

« Voici un troupeau de moutons, propose M. Pillon, c'est une pluralité d'unités données. A cette pluralité j'applique la question « combien », et le compte fait, j'y puis répondre : cinq cents. C'est le même troupeau. Il y a équation, identité, entre la pluralité ou multitude que ce troupeau offrait tout à l'heure à ma vue, et le nombre des moutons, cinq cents, dont je me suis assuré. Avant le dénombrement que j'en ai fait, la connaissance du nombre de ces moutons n'existait pour moi qu'en

^ Année Philosophique,,, l9o5, F. Pillon, Un ouvrage récent sur la philosophie de Charles Renouvier,,, p. 98-99. Nouvelle Monadologie,,, p. 101.

puissance, le dénombrement a fait passer cette connaissance de la puissance à Tacte ^ ».

« Les astres sont là, dit Renouvier, et tant qu'on les voit (ce qui est accidentel) on les compte. Quand la vue les perd, Tesprit les suppose, tout aussi nombrables qu'auparavant. Il serait étrange que les astres fussent là, fussent présents, l'éloignement ne fait rien à l'affaire, et que, pris en leur totalité, ils ne formassent point un nombre, alors que cependant ils sont des unités et que tous leurs groupes possibles sont des nombres. On avoue que cela est incompréhensible ; c'est inintelligible qu'il faut dire, c'est contradictoire » ^...

11 est important d'observer que l'infini exclu de la pensée n'est pas tout infini, la généralisation serait erronée, mais seulement l'infini de quantité, l'infini de grandeur mathématique. L'infini de qualité garde sa pleine réalité.

L'infini de qualité ne concerne pas les choses susceptibles de mesure exacte ; il s'applique aux choses d'ordre moral et intellectuel ; il marque, dans ces choses, une qualité portée à son degré suprême. Réalisable ou non, l'infini de qualité se confond avec la perfection. Qu'il désigne la justice idéale, la bonté jamais lassée, la science adéquate à son objet, l'amour à sa plus haute puissance, il ne désigne que des notions nettes, précises, concrètes. Il n'implique rien de contradictoire ; moralement désirable il est logiquement possible. L'infini de quantité et l'infini de qualité appartiennent à des domaines irréductibles. Il n'y a pas de perfection dans la quantité, puisque celle-ci peut être augmentée sans fin, il n'y a pas de quantité dans la perfection puis-

' Année Philosophique.., 1905, p. 99.

- Année Philosophique... 1868, p. 39-40.

que celle-ci est telle qu'au-dessus d'elle on n'imagine rien. L'infini de qualité est si bien distinct de l'infini de quantité qu'il suppose précisément ce que celui-ci supprime : l'achevé et le fini K

L'idée même d'infini de quantité est légitime, mais le langage est impropre, si, au lieu de désigner un infini actualisé, on veut désigner simplement un infini en puissance. L'infini en puissance, par définition, n'a pas de réalité. A quelque chose qu'il se rapporte, il ne représente rien de positif, de certain, rien d'existant. C'est une notion imaginaire, une fiction, nécessairement projetée dans l'avenir, qui nous sert à indiquer un accroissement continuel et toujours possible. L'infini en puissance est autre que l'infini de qualité ; la perfection exige que le dernier terme soit atteint et l'infini en puissance a pour caractéristique de n'avoir pas de terme. L'infini en puissance est autre que l'infini de quantité actuel ; celui-ci est supposé donné, réalisé, celui-là est supposé inachevé, irréel. L'infini en puissance n'est pas contradictoire, mais, dans ce sens, l'idée d'infini fait place à l'idée d'i ndéfini.

L'infini de qualité, ou perfection, l'infini en puissance, ou indéfini, ne diminuent en rien la contradiction de l'infini de quantité, n'ôtent rien à l'universalité et à l'évidence du principe que la logique nous contraint de recevoir : les choses de la réalité concrète fie pouvant, nulle part ni jamais, être en nombre infini sont, partout et toujours, en nombre fini.

Ce principe normatif que Renouvier appelle la loi du nombre, le principe du nombre, ou encore le principe

^ Année Philosophique», 1868, p. 36.

Année Philosophique,,, 1890... F. Pillon, la critique de t infini.

du déterminé, du fini, énonce sous une forme nouvelle le principe de contradiction, sous la forme la plus expressive et la moins contestable.

Et quand on a détruit la notion de Tinfinide grandeur, il se trouve que l'on a détruit par là même le caractère antinomique de la réalité. Ainsi dans le problème cosmologique tel que Ta résumé Kant, les antithèses sont désormais insoutenables. Désormais il est contradictoire d'affirmer que le monde n'est pas limité, ce qui attribue au monde une étendue infinie, d'affirmer que le monde n'a pas commencé, ce qui attribue au monde une durée infinie, d'affirmer que la matière est divisible à l'infini.

Qu'adviendrait-il si le principe de contradiction, règle première de toute pensée, postulat nécessaire de toute recherche, était porté, sous la forme du principe du nombre, au cœur des autres antinomies et de toutes les autres opinions? « Je voulus le savoir, explique Renouvier. Jamais la puissance de la logique, ni la fécondité d'un principe, porté où il peut aller, et loin au-delà de ce qu'on imagine d'abord, n'apparurent mieux qu'à moi, quand je me mis à développer les conséquences de ma pensée » K

Ces conséquences concrètes confirmèrent les résultats abstraits. Sous quelque aspect qu'il se présente. Tinfini de quantité est impossible à concevoir. Il y a « nonseulement impossibilité passive, pour ainsi parler, mais impossibilité active, et, en un mot, contradiction dans l'idée qu'on prétend se former. Soit qu'on veuille penser à des accumulations de parties en nombre infini, par addition ou par division, dans l'espace ou dans la

> Esquisse (Tune classification systématique.,, t. II, p. 374.

matière, soit qu*on entreprenne de poser des suites phénomènes existants sans nombre et sans commet ment dans le monde, ces idées sont contradictoires elles-mêmes, et toutes les doctrines qui les suppos sont ruinées d'avance » \

Parmi ces conséquences multiples, deux conséqu ces méritent d'être relevées spécialement. L'une se i porte à la conception du monde, c'est le phénoméî me ; l'autre se rapporte à la conception de l'homi c'est la liberté.

Année Philosophique.,. 1868, p. 36-37.