II. — CAS DE L'ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION
Dans ce chapitre et les suivants, nous développerons la théorie générale qui précède dans le cas intéressant la géodésie où (2) est un ellipsoïde de révolution. Nous étudierons en particulier le cas où (£ ) est une loxodromie, c’est-à-dire une courbe coupant les sections méridiennes sous un angle constant pour laquelle seront données des propriétés valables sur une surface de révolution quelconque. Nous indiquerons aussi la méthode de calcul pratique des tables de projection pour toutes les projections de la classe considérée en explicitant la correspondance ponctuelle entre un point de l’ellipsoïde défini par sa latitude et sa longitude
et son homologue sur le plan.
13. Ellipsoïde de révolution. — Nous rappelons d’abord quelques définitions relatives à cette surface avec les notations classiques des géodé-
siens :
a, grand axe de l’ellipse méridienne ;
b, petil axe de cette ellipse (axe de révolution); dc, distance focale de l’ellipsé méridienne ;
: a —,b æ, aplatissement a — :
a . x HAE CD Wa —"b?
e?, carré de l’exentricité 6? — ae
e?, carré de la 2° excentricité :
B At TN
N, grande normale, rayon de courbure de la seclion perpendiculaire au méridien ; le centre de courbure, d’après le théorème de Meusxier, se
trouve sur le petit axe de l’ellipse méridienne (axe de révolution de l'ellip-
soïde) ; de e, rayon de courbure de l’ellipse méridienne ; L, latitude comptée à partir de l'équateur, positivement vers le Nord,
négativement vers le Sud ;
Mare
G, longitude comptée positivement vers l'Est, négativement vers l'Ouest à partir d'un méridien origine (méridien de Greenwich).
r, rayon du parallèle de latitude L (r—N cos L);
z. azimut compté à partir du Nord positivement vers l'Est.
Les formules classiques qui donnent, en fonction de la latitude, les deux rayons de courbure principaux N et p sont :
ai à
Én = # sin L) jee (= esmple La courbure totale est :
Gi) 1 ref: — e sin? L}
Np & (1 — e?) Le rapport des deux courbures est :
(25) ; — 1 + e? cos?
44. Choix du réseau orthogonal. Convergence des méridiens. — Nous prendrons comme réseau -orthogonal sur l'ellipsoïde celui qui est formé par les méridiens et les parallèles ; les deux paramètres « el v seront respectivement L el G; la forme quadratique fondamentale qui définit l'élément linéaire de A surface est :
p°dL? + r24G?.
Les variables s et + sont définies par le système différentiel : ds — pdL dt = rdG.
Les méridiens sont des géodésiques particulières ; leur courbure géodésique est nulle :
Les parallèles sont des cercles; leur courbure géodésique est : te L d—=— Ar
Considérons une courbe (£ ) tracée sur l’ellipsoïde qui coupe les méridiens sous l'angle z, la formule (5°) donne la dérivée de z par rapport à l'arc :
dz ty J: . .
(26) =c6 + sin.
do
ET 2e
“cette formule condense plusieurs propriétés qui sont en général éparses dans les traités de géodésie.
1. Equation de Clairaut. — Dans le cas particulier où la courbe (£) est une géodésique c—0, la formule (26) se réduit à la relation : : dx tgL .
(1) sa | DEN 2
“TE est facile de vérifier que :
dr : (28) x ; Me L et comme :
x d e iL < Ra Et “HNCOS TUICOS T il vient :
cos zdz sin Z 1e n
et, en intégrant on oblient la formule classique de Crarraur : (29) rsinz— (.
. Courbure géodésique de la loxodromie. — Dans le cas où la courbe Le) a une loxodromie, l'azimut z est constant; la formule (26) nous donne alors l'expression de la courbure géodésique de la loxodromie :
(30) =" tsin Ze
Comparant à (27), on voit que, si on considère une loxodromie et une géodésique tangentes, la courbure géodésique de la loxodromie et la dérivée par rapport à l'arc de l’azimut sur la géodésique sont égales en valeur absolue et de signes opposés.
3. Convergence des méridiens. — Si on intègre (26) le long de la courbe (£ ) quelconque, on oblient la relation :
(ex to É à pute Z—% —f cdo +f N Sn 2do.
To Te
Comme rdG— do sin z, la deuxième intégrale peut s’écrire ; ,G DD | sin LdG.
La fonction ® s'appelle la convergence des méridiens. Ainsi, sur une surface de révolution, la variation d'azimut d'une courbe quelconque est égale à l'intégrale de sa courbure géodésique augmentée de la variation de convergence des méridiens. Pour une géodésique, la variation d’azimut se réduit à la variation de convergence des méridiens. Pour une
