Coeïficients du développement en série de K. -— R, 8, G

obtiennent en remplaçant dans les formules (14) (5), par (je donné par la formule (24); on obtient : : AE P

; si Sin z COS z fes :) = Np e Pour avoir les coefficients des termes du 3° ordre, ©, Ÿ, ®, co

nous faut calculer les expressions :

LORS NC AE ; CA al Elec) La courbure totale, dont la valeur est donnée par (24), est constante

sur un parallèle et sa dérivée, suivant un méridien , a une expression simple quand on introduit la deuxième excentricité e à

\ nr) 1 lie nn. he sin L cos L à) CAE el 5G (&e) nd La dérivée par rapport à l'arc o& se réduit à :

à f/ 1 Les cosz Re Ven Sin D 008 1 ;

Les formules (23) se simplifient léécements mais perdent leur symétrie :

{| ‘lie?

por —ÿ, sin L cos L sin? 2 (1 + 9 cos? 2) | — € (R sin +38 cos 2) + (CRE “ sin L cos L sin z cosÿ z — Cc(Gcosz+38sinz (23 bis) He @— À sin L cos L cos z(1 —0 sin?) + = — C(R sin + 38 cos 2) . 39 tgL :

—— Ki sin L cos L sin 2 cos 2 SÈWL

-— 6(G cos z 138 sin 2).

TS Li

16. Équations des méridiens et des parallèles en projection. —. Nous supposons dans cé paragraphe que nous avons pris comme origine, pour les développements en série de K.et des courbures T et À, les points d’intersection du méridien ou du parallèle considérés avec la courbe de base (£). Dans ces conditions, nous ne considérons que les points qui sont situés, soit sur le méridien étudié, soit sur le parallèle étudié; on aura dans un cas :

et dans l’autre cas :

As— 0;

l'accroissement non nul As ou At est mesuré sur la courbe envisagée et

ces deux accroïissements représentent dans ces cas particuliers des accrois-

sements d'abeisse curviligne sur les méridiens ou sur les parallèles. D'après la formule (1 2), on trouve ainsi pour un méridien :

(32) K—i+ Rs + os +...

en prenant comme origine des abcisses curvilignes sur le méridien (s — 0), son point d’intersection avec (£ ).

D’après la même formule, on trouve pour le parallèle :

(33) K— 1 HIER tax.

en prenant comme origine des abcisses curvilignes sur le parallèle (t— 0) son point d'intersection avec (£ ).

Dans les mêmes conditions, les courbures Let A des projections de ces deux courbes s'obtiennent par application des formules (10°) :

T= ss + os...

É 1 A=—#> (a HG) + sr. + es

Soient Éet 7 deux axes rectangulaires se coupant en projection sur la courbe transformée de (£) et tangents respectivement au parallèle et au méridien qui passent par ce point. :

Si S représente l'arc de méridien en projection et T l'arc de arallèle en projection, comptés respectivement à partir des intersections de (£) avec le méridien et avec le parallèle, prises comme origines, en désignant par L,, Fe, Lo, A, À, Ac... les valeurs des courbures respectives et de leurs dérivées successives aux origines, les équations paramétriques du méridien sont :

Le es LT Te.

Ë | a S a va ali ù di (35) re n —S 5 a S* + ,

J. G. 703395. — M. Arraro. 5

D TUE Que

celles du parallèle sont : Me A? A

Le vu ms nat qu EST ul g T'+. ..

(36) A A° AENAC PR A VER OR MU VER PTE «0 DT ah +

Les tables de l’ellipsoïde donnent les longueurs de l'arc de méridien d’une minute et de l'arc de parallèle d’une minute aux différentes latitudes. Pour les calculs de la projection 1l serait intéressant d’avoir comme para-

mètres dans les équations précédentes les arcs s et { sur l'ellipsoïde à la place des ares 5 et T en projection. ll suffit, pour faire le changement de paramètres, d'intégrer le système différentiel :

dS dT == k

Sur le méridien, en partant du point d’intersection avec (£), on a d’après (32) :

: CR RÉ R Aon e ds 2 6 SR

d'où :

LE las Lo S=s+ehs oO +...

de même sur le parallèle d’après (33) :

neT SE de dt FREE EE d’où : :

T=i+:cé- TR XR+. .

Comme S — set T — { au troisième ordre près, les valeurs qui nous intéressent des dérivées de T'et de A restent les mêmes dans le changement de variable. En eflet :

dr dr dS dr ls 10 us ŒT. dk dr dT dr )dT D SE 0e RTS TE GS

À l’origme pour s — 0, on a donc :

ENT dr Ge Che PENSE TR E ns Ca:

Le même raisonnement montrerait que pour 4 = 0: dde Jan | - Ca Fa Éo à d'A GRAN ca ae Ge

La dérivation des formules (34) donne :

Bet Fes LEE tg L der É) AS Act 33 +.

\ Dans ces conditions, les équations (35) et (36) prennent les formes sui vantes :

RS ne FT NS Te

cf den p( se —° (He —5 —SÈ —— 1e )— 5 (4), 6 +w)] ass

qui sont particulièrement adaptées au calcul, avec l’aide des tables de l’ellipsoïde, des intersections des méridiens et des parallèles.

17. Projection de la courbe ({). Cas limite où elle se réduit à un point. — Comme le rapport de similitude K est égal à l'unité en tout point de la courbe (£), l’élément d'arc est conservé; de plus, comme le gradient du rapport K est nul, le long de cette courbe la courbure géodésique est conservée; dans le cas de la représentation plane de la surface (2), la courbure géodésique devient la courbure de la transfor

mée plane de (£).

Dans le cas particulier où (£) est une géodésique de la surface, la transformée plane de (£) est une droite sur laquelle l'arc de géodésique se développe en vraie grandeur. La fonction ®, convergence des méri- diens le long de cette géodésique se conserve aussi en projection et donne l'angle dont tournent les axes Ëet », définis plus haut quand on décrit la droite image de la géodésique.

Si on adopte comme courbe {£) une loxodromie, la transformée est une courbe où la fonction z reste constante par définition et l'angle dont tournent en projection les axes E et n ne dépend donc que de l'intégrale de la courbure géodésique de la loxodromie ; par conséquent cet angle est égal à la variation de la fonction ®, définie au paragraphe 14.

Si la courbure géodésique est constante sur (£ ) la transformée plane de (£) sera un cercle. Le cas particulier où la surface (2) est une sphère est intéressant : un petit cercle quelconque a une courbure géodésique constante. Si « est l'angle du cône de révolution circonscrit à la sphère le long de ce cercle, la courbure géodésique est égale à la courbure du cercle multipliée par sin «; le rayon du cercle transformé est donc égal à la longueur de la génératrice du cône circonscrit : à un petit cercle complet de la sphère correspond un, are de cercle dans le plan dont l'angle au centre est égal à 27 sin à.

Quand la courbe de base diminue progressivement pour se réduire à la limite à un point, la méthode qui a été exposée tombe en défaut : la condition, pour une projection, d’avoir son module de déformation linéaire stationnaire en un point ne suffit pas pour la définir. Tout ce qu'on peut dire, c’est qu’au voisinage du point central, le développement de K a la forme (6'), les coefficients des termes du second ordre satisfaisant à la seule équation de condition (13) :

H existe une famille de projections possibles; pour classer ces projections, on considère l’indicatrice au point central de la surface représentée par le développement en série de K : on distingue les projections à indicatrices hyperbolique, elliptique et parabolique. Gomme les champs d’application en géodésie sont des domaines limités et fermés, le cas de l'indicatrice hyperbolique n’a pas d'intérêt pratique. Un cas particulier intéressant est celui où l'indicatrice est circulaire : ce qui correspond pour la sphère à la projection stéréographique. Plus généralement, on désigne sous le nom de projection stéréographique de l’ellipsoïde, la projection conforme centrale à indicatrice circulaire, la forme des termes d’ordre supérieur du développement en série n'étant pas précisée.

Comme A: — Aw, la valeur commune des deux coefficients est et le développement en série de K débute de la façon suivante :

K= 1 + pp (As + AP) +...