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V, relèvement sur la:carte réduite (carte de Mercator) Z,,, azimut de la géodésique.
L,, latitude de l'origine (point m,).
Ÿ, différence de longitude entre les points m, et m.
Quand on remplace c par sa valeur dans la formule (40), 11 s’introduit le paramètre V, angle constant de la loxodromie avec les méridiens. Nous allons modifier un peu la formule (42), de façon à ce qu'on puisse la comparer plus facilement à la formule que nous établirons dans ce qui suit.
RTE . 1 ; :
Pour éliminer l'angle Z, nous le remplaçons par V — z Ÿ sin L,, approxi-
mation: suffisante si on se limite au 3° ordre par rapport à Ÿ. On aura : . cotg 2, —cotg V+ - Ÿ sin L, (1 cotg? V) et la formule (41) devient ;
(43) V—Z,= : Ÿ sin L, — = Ÿ? cotg V (1 — 3 cos? L,) + sin L, cos? L, (1 — 3 cotg? V) +: :
si on lient compte de tous les termes du 3° ordre, y compris le terme 1 . 4 US oligé x Ÿ sin L, cos 2L, négligé par Givry.
Dans une thèse d'astronomie (1), À. Bravais a donné à la formule de
Givrx une forme légèrement différente en faisant intervenir la latitude moyenne : L..
sin L, — sin L, + - Ÿ cote V cos? L,
au 2° ordre près et par suite :
(ai) V— 2,4 sin L, ——4?cotg Nr
20. Transformation de la formule (40). — Nous allons transformer la formule que nous avons établie de façon à pouvoir la comparer aux expressions classiques de Givry et de Bravais. La formule (40) s'applique à une surface de révolution quelconque, nous supposerons dans ce qui va suivre que la surface est un ellipsoïde de révolution dont le carré de la deuxième excentricité est représenté par e?. Les deux normales principales sont presque égales et leur rapport est :
es + €? cos’ L.
fe
(1) Thèse d'Astronomie sur les méthodes employées dans les levés sous voiles
(Lyon, 1837).
DO TOUee
ÏLest intéressant pour la simplification des formules de faire apparaitre comme variable le rayon » du parallèle dont la dérivée par Da DPPEUS à L est égale à — p sin L (voir chapitre Il).
La courbure géodésique de la loxodromnie et ses dérivées première el seconde peuvent s'écrire sous les formes suivantes :
sin V sin L IE 4) Lt
, sim Vcos V
(45) CE -—;— {1 +e*cosL),
y Sin V cos? V sin Pr € = ——
- a — €? cost L — 3e" cost L).
Le développement de / en fonction de Ÿ s'obtient en partant de l’équaüion différentielle de la loxodromie :
dl sin V — rdŸ
que l’on intègre de 0 à Ÿ:
Lsin V— fr (5) Dee (TE) V4 +... dy
où dresse Ro Te sin COLg res 2 “He of CAPE SV ms =" cotg V(sin? L — cos? L — e? cost L);
si le développement est fait à partir du point m, on a: 46) Lsin V—rçÿ —= 47, sin L, cotg.V + ÿ%r, cotg V(sin?L, — cos?L, — e°? cos! L,) +. - .; si le développement est fait à partir du milieu de mm, on a: (46) sin V=—r,ÿ + Ÿÿr, cotg V (sin? L, — cos? L, — e? cos' L,) +
Pour obtenir la formule analogue à (43) pour lellipsoide, il faut remplacer dans (40) c, par son développement :
l [LA P gts tot PE
ce qui donne :
no
car 1l est légitime de confondre c, et €, c, et c, dans le dernier terme du développement.
Tous calculs effectués, on obtient alors :
(ir NES . Ÿ sin L, -- Ÿ? cotg V (1 — 3 cos L, — 2%? cos’ L,) + J Ÿ sin L, cos L, (1 + e? cos? L,)[1 — 3 cotg” V(1+e? cos? L,)] +: : :
La comparaison avec la formule de Givry sous la forme (43) montre que la forme ellipsoïdale de la terre modifie légèrement les coeflicients des termes du deuxième et du troisième ordre.
Le développement, en prenant comme origine le milieu de mm, conduit à une expression analogue à celle obtenue par Bravais :
ro n Ca Co — Co T Co per ds if r Pers C— el ++ (se+ RE) | En tenant compte de la formule (46), on trouve : 1 . 1 ! / (48) C = sin L, —— 4? cotg V (1 + e? cos’ L,)
= sin L, | cos? L, (1 +- e? cos? L,) — cotg? V(1— é' cos L) |: 2 S é Dr
Si on se reporte à la formule (44) de Bravais, on voit que la forme ellipsoidale de la terre introduit dans le terme du deuxième ordre le facteur :
(1 Le? cos’ L,).
24. Transformation de la formule (41). — Si on néglige le terme du cinquième ordre de la formule (41), on peut, en conservant le même ordre d’approximation, prendre :
sin V sin L,
à à Va
bsin V=—r,} Cela nous donne la formule:
__nswL ,; (19) Er 24 sin V ÿ
qui est exacte au cinquième ordre près.
Pour le calcul du terme du cinquième ordre, il est indifférent de prendre les valeurs de la courbure et de ses dérivées à l'origine ou en un point quelconque de l'arc de loxodromie, par exemple au milieu de cet arc.
On peut remplacer :
4 sin? V cos? V sin? L
cc par - (2 — e? cos! L — 3e' cosf L) À
a sin? V cos? V , ET c par Sen | Ne cos! L)
k siné V sini L
x SRE Anne & G par =
ce? sin? V sin? L cos? L ;
à 2 2 NW pat eee me ce 00 et enfin :
lsin V par rŸ + 7" Ÿ° cotg V (sin? L, — cos? L, — e? cost L,). Tous calculs effectués, on trouve la formule suivante :
1 + Ÿ? ÊË cotg V (sin? L — cos? L — e°? cost L)
CASE FC o4sinV
+ an (2 — €? cos! L — 3e“ cos L) + a (1 + cotg? V) (1 + e? cos' L}?
— - sin? L + = cos? L(1 +- cotg? V) (1 + 2 cos? L)|
qui contient tous les termes du cinquième ordre du développement en série, les quantités r et L étant prises au milieu de l'arc de loxodromie pour le terme principal en 4° et en un point indifférent de cet are pour le coeflicient du terme 4°.
La formule (50) est analogue à celle que nous avons établie pour la différence angulaire G. La différence des longitudes Ÿ se calcule facilement quand les deux extrémités M, et M sont données par leurs coordonnées géographiques et bien que cette formule apparaisse plus compliquée que sous sa forme (41), elle peut dans la pratique être plus intéressante.
