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formée de cette géodésique de base; comme la géodésique se développe suivant la droite avec conservation des arcs, les formules établies suivant l'une ou l’autre des méthodes exposées dans les deux paragraphes qui précèdent, définissent un point d'abcisse x sur l'axe des æ comme l'image d’un point de coordonnées géographiques Let G de la géodésique de base; “de plus, l'azimut z de la géodésique étant connu, les axés Êet » tangents respectivement au parallèle et au méridien en ce point sont complètement déterminés. Les équations paramétriques (35') et (36') fournissent alors le moyen de calculer le canevas de la carte : il suffit de remplacer les
se te L 4 ; coefficients &, 8, &, Ü, Ÿ, ®, X et (E), qui intervicnnent dans ces
formules par leurs valeurs numériques au point d’abcisse +; les équations (35) donnent la projection du méridien de longitude G et les équations (36) la projection du parallèle de latitude L. Dans le premier cas, le paramètre est l'arc s de l’ellipse méridienne, dans le second cas, c’est’ l'arc { du parallèle de latitude L: ces deux paramètres ont été choisis en vue de l'emploi des Tables de l'Ellipsoïde International publiées par l'Union Géodésique et Géophysique Internationale, qui donnent, en fonction de la latitude, la longueur s de l'arc de méridien depuis l'équateur et la longueur de l'arc de parallèle compris entre deux méridiens écartés d’une minute en longitude.
30. Rapport de similitude. — Les expressions {rouvées pour &, 8, . 6, 0, Ÿ,®, X donnent la valeur du développement en série du rapport de similitude K en fonction des accroissements As et At comptés sur le méridien et sur le parallèle qui passent par le point variable M. On à :
(81) K—:1--- \; (As? sin? z — 2AsAf sin z cos z + AP cos? 2) 1etoiLisinez ; , s 0 LS 2 # ?
+ Tr P (As sin z — Af cos 2)
ete
+5 snL cos L [— PAYS sin? z (1 se 9 cos? 2) 3e CAIN EN 0e — 3AsAP cos? z (1
2 sin? 2) — 2AS sin z cos®z]E.., les quantités N, p, L, + doivent être prises pour le point M, de la géodésique de base qui est l'origine du développement en série.
On peut adopter un point variable de (£) comme origine et définir un point quefconque m de l'ellipsoïde voisin de (£) en considérant le méridien qui passe par ce point; on prend comme origine l'intersection du méridien avec [£ ); z sera l'azimut de la courbe (£) par rapport au méridien qui passe par celle origine et le point » peut être défini par la seule coordonnée As qui devient ici égale à l'abscisse curviligne s. |
L'autre coordonnée At est toujours nulle; l'équation (81) devient :
IRD SN eee : (82) Ki nssinte— x sin L'eos Lsin? (1 + à 00822) st +...
Prenons comme origine fixe le point O de la géodésique situé sur le parallèle limite; l'axe Ox est la transformée de la géodésique de base (£) et l'axe Oy le méridien qui passe par le point O, axe de symétrie de la projection, Considérons à l’origine variable sur l'axe Or l'axe n tangent au méridien et l’axe Ë perpendiculaire (fig. 9).
Des équations du méridien :
Gi «o) D a on tire :
0, ete RE et :
$? — »° |- termes en ni.
En remplaçant s? par sa valeur dans (82), on obtient :
1 , 26° ; = KE: ac snrT a n sin L cos L sin? 2 (1 + 2 cos” 2).
Dans le changement d’axes (x, y), 3 n), On a : y = n Sin z — Ë cos z — » sin z - termes en n°,
y? = n° sin? z + termes en nf.
La formule (82) se transforme à nouveau et devient :
p'2 s 1 + 9 cos? z (83) Rip psin Loos L'E.
sin z
Le troisième coefficient peut s’exprimer en fonction de L seul comme le
: 1 RE a : à coeflicient — : en effet, si on néglige e? dans le coefficient du troi- P
sième ordre qui est déjà très pelit par suite de la présence du facteur e?, L, étant la latitude du parallèle limite, la relation de Crarraur simplifiée :
cos L,— cos L sin z permet d'éliminer :. 2" à 1 . 1 Le coefficient = ne doit pas, par contre, être remplacé par une valeur : 2Np approchée; si on veut conserver l’approximation de la formule, on prendra :
1 (1 — e sin L}
2Np 28 (1 —e?) À Finalement, nous avons :
1 — & sin L}?. 2e°y sin L (3 cos? L — » cos? ] Fe ere © J sn L (ste Le tos Li) 2 @(1—e) 34 cos L,
dans laquelle y est l’ordonnée du point m et L la latitude du point d’intersection du méridien qui passe par m avec la géodésique de base (£).
A titre d'exemple, caleulons K dans le cas où le parallèle limite a la latitude 60° et où y est égal à 1/10 du grand axe de l’ellipsoïde : a (Ellipsoïde de référence international).
Dans ce cas particulier, sin z— —.
2 cos L à
Le terme du troisième ordre change de signe soit quand y, soit quand L change de signe. Le maximum de ce terme se produit pour L— 32° environ et 1l est inférieur à 0,00001. Par suite, la valeur du rapport de similitude ne dépend pratiquement que de l'ordonnée y qui intervient dans la formule (84) par son carré; le coefficient du terme du second ordre varie légèrement avec la latitude; cette variation ne porte dans le cas particulier que sur 5 unités de la dernière décimale.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs du rapport de similitude à
différentes latitudes pour une distance y de la géodésique de base égale à a
LATITUDE. VALEUR DE z. VALEUR DE K.
(RE RS RE ERP SM AR ME AL ee 150°,0 1,00)03 LOS RER EE Le ET PPS RE LR 1/19°,5 1,00503 20e CR ET Pom ee ROSE SE 147°,8 1,00902 DOS FRANS RS Sn SES ANS RATE RAT NE TEE 144°,8 1,00501 AO RSS AT RCE An CMS TR NE 139°,2 1,00500 DOPSSR ART A RER ren 129°,0 1,00499 GOSSES RE RE LATE ES EUR 90°,0 1,00498
at AU
Done à 600 kilomètres de la géodésique de base {£), si on utilise la pro- . Jection brutalement sans correction d'échelle, l'erreur sur les longueurs est épale à 5 kilomètres pour 1.000 kilomètres, à 500 mètres pour 100 kilomètres. Pour une carte au millionnième, 100 kilomètres sont représentés par 10 centimètres et l'erreur graphique correspondra à un demi-millimètre : pour tous les usages pratiques, il n’y aura pas lieu de faire de correction
31. Courbure de la courbe transformée d’une géodésique. Correction finie. — [L'étude de la variation du rapport de similitude dans le champ de la projection n’est pas suffisante pour les usages pratiques de la géodésie ou de la navigation. Le gradient de ce rapport de similitude est souvent plus important que la valeur de ce rapport lui-même parce qu'il a une influence directe sur la courbure de la transformée plane
d’une courbe quelconque.
Soit (2) cette courbe tracée sur l’ellipsoïde, nous avons vu que, c étant sa courbure géodésique, la courbure G de la transformée est donnée par la formule (IT) du paragraphe 3:
HILL ITR K K4n RUR ET RE Æ 3 où 7 est la dérivée du rapport de similitude K dans la direction normale à la courbe (©) et dans le sens précisé au paragraphe 3 in fine. S1 (©) est une géodésique, «— 0 et C se réduit à tar Or, il résulte de l'étude faite dans le paragraphe qui précède que, pour la zône utilisable de la projection, les lignes d’égal rapport de similitude sont pratiquement parallèles à l'axe des x; par suite, l'altération de
< . : 4 dK courbure sera maximum dans la direction parallèle Oy et (x) est max
dn TOR dE DU os égal à A dont la partie principale est “.
Pour la plupart des cas pratiques, cette approximation est grandement suffisante.
Considérons (fig. 9) la géodésique qui joint les points 48 du plan des æy; appelons y l'angle de la droite 48 avec l'axe des x ; en un pointu quelconque de la géodésique :
1 dK 1 dK
2 ; y DE Kdn K? dy CC & COS X
si on néglige les termes d’ordre supérieur. On aura aux points « et en 8:
Au point p, la dérivée de G par rapport à l'arc | de. la géodésique qui joint aB, est :
dG dG .
V4 AT dy Am RAA
En partant de l'équation intrinsèque, il est facile de trouver l'angle € que fait la tangente à la géodésique «8 avec la corde correspondante. On a, eg en appelant e, et € les valeurs de cet angle en «& et en 8 :
C G Cr nr A &
si CG, et C, sont les dérivées par rapport à l'arc ! des courbures C, et Ce; en remplaçant G,, G;, Ge, Ce par leurs valeurs :
Ya 1 .
| Ea = COS x +5 Psin x cos x
€ SE lèos — 7 P sin y cos 8 9®ù x 6& 1 X CES X OL [COS y = 23 —%as sin X —Y3— Ya donc :
(tet18)3 (gay LÉ de M NE TE END (85)
EYS+ME (x — y) re te on me
ÿa étant l'ordonnée du point situé au tiers de a8 à partir de «& et y, l'ordonnée du point situé au tiers de à8 à partir de 6.
Les corrections finies sont maxima si y, et y, sont égaux, c’est-à-dire si la géodésique joint des points équidistants de (£). Dans ce cas, les corrections finies sont égales en a et 6.
Pour avoir le sens de ces corrections, il n’y a pas lieu d’utiliser de règle de signes compliquée. La courbe a«B transformée de géodésique tourne toujours sa concavité vers l'axe des x: en eflet, la courbe ne pourrait pas, s’il en était autrement, être plus courte que la courbe représentée
par la droite joipnant 48 én projection puisque le rapport de similitude croît toujours quand on s'éloigne de (£ ).
A titre d'exemple, voyons ce que donnent les formules pour :
Ya = Ve == 637,8 Km.,
Tag 637,8 km.
On trouve :
Ex — = — 0,005 radian, soit 18 minutes sexagésimales et, dans ce cas, la courbe transformée en projection de la géodésique joignant à6 est un arc de cercle d'angle au centre 36’. La flèche de cet arc (plus grande distance entre l’arc et la corde en projection) est : 800 mètres. À l'échelle du millionnième pour un arc de géodésique de 600 kilomètres dans une zone située à 600 kilomètres de la courbe (£ ), cela fait une flèche inférieure à 1 kilomètre, c’est-à-dire à 1 millimètre sur la carte. Toute correction graphique est superflue.
32. Courbure de la courbe transformée d’une loxodromie. Différence avec la géodésique. — Si la courbe (©) est une loxodromie, nous avons vu au paragraphe 14 que la courbure c de la loxodromie es donnée par l'équation (30). Si on appelle V l’azimut constant : <
te L :
=—-—— sIn € N D) V
et l'application de la formule générale (IT) donne pour la courbure de la transformée :
(PRE 126760 Ko dK CR sin Ve (5 sin V— 5 cos V).
En un point quelconque À de la projection, considérons la géodésique el la loxodromie issues de ce point et passant par un deuxième point voisin B (fig. 10). Les courbures respectives des deux courbes sont :
1 dK BUS — gg pour la géodésique,
teL . 1 dK ÿ — EN Sin V pa pour la loxodromie,
si on admet que les deux points À et B sont suflisamment voisins pour
ss
0 . 0 7 Peur dK - s qu’on puisse considérer que les dérivées -—— sont identiques.
dn La correction finie de la géodésique est traitée dans le paragraphe 81.
