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Te AU LE Se de +=: La courbure géodésique est alors positive si le centre de courbure

géodésique est situé sur la partie positive de cette normale; elle est népative dans le cas contraire. On voit que cette convention n’est en accord avé la première convention qui a été faite seulement pour les courbes de la deuxième famille: pour la première famille, au contraire, les deux conventions de signe sont inverses.

Considérons sur la surface (Z) un quadrilatère curviligne élémentaire abed (fig. 2), dont les côtés sont des ares des deux familles de courbes

(v) (v+Av)

At’(6”)

- fig.2-

orthogonales définies ci-dessus; ab et cd appartiennent respectivement aux courbes de la première famille de paramètres v et v + Av; ils ont pour longueurs respectives As et As. ac et bd appartiennent aux courbes de la deuxième famille de paramètres w et u + Au; ils ont pour longueurs respectives At et Ar.

Faisons tendre vers zéro ces infiniment pelits; sur la courbe de paramètre », la différentielle de l’arc ds est donnée par :

ds — pudu et la variation première de cette différentielle, quand on passe de cette

courbe à la courbe de paramètre infiniment voisin v + Do est donnée par la formule

(1) D (ds) — ds — ds — . duDo.

J. C. 703395. — M. Arranr. ë

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De même, pour les courbes de la deuxième famille, on aurait, en appelant do et Du les différentielles correspondantes :

(1) D {d)— dé — dt doDu.

4. Expression des courbures géodésiques et de la courbure totale en fonction de et de ». — La connaissance du carré de l’élément linéaire : p?du? + »°dv? suffit pour calculer la courbure géodésique y des courbes de la première famille et la courbure géodésique à des courbes de la deuxième famille que nous avons supposées tracées sur la

surface (2).

: i ; a Pate : A Par définition la courbure géodésique est la limite du quotient 5

AG étant l'angle infiniment petit des plans normaux à la surface (2) qui passent par les tangentes à la courbe de paramètre v aux deux points « et b distants de Às. Comme le réseau est formé de deux familles de courbes orthogonales, l'angle A@ est égal à l'angle des tangentes aux courbes de paramètres « et u + Âw qui passent par a et b. [1 en résulte une expression simple de l’are cd — As’ en fonction de l'arc ab — As et de la courbure géodésique y.

As'— As + AGAI +. ..— As + yAsAt+...— As ypyAuAv +...

Pour la deuxième famille de courbes, nous aurions des résultats analogues avec la courbure géodésique d

AP — Ar AA SES. = AE SAIS EE ATEE On AUAT ES

Quand on fait tendre vers zéro les accroissements Aw et Av et qu'on adopte les notations différentielles des formules (1) et (1') respectivement, on obtient les relations suivantes :

(2) | D (ds) - — ds — ds — yuvduDo (2) D (dt) — dt — dt — duvdyDu.

La comparaison des relations différentielles (1), (2), d’une part, et (1”), Fe ), d'autre part, fournit les expressions des courbures géodésiques

y et à en fonction de p et »U), | MU dy TT u9 00 ) S 24 1 dy | py du

@ Cf L, Brancur. Lezioni di Geometria differenziale {2° édition). Volame 1, p. 181.

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Ces formules sont établies en adoptant pour la courbure géodésique la

première convention de signe, c'est-à-dire que la courbure est considérée

comme positive si la courbe se trouve par rapport à la géodésique du côté des paramètres inférieurs à celui qui correspond à la courbe considérée

(CF fig. 1).

La courbure totale —; de la surface (Z) est un invariant géodésique qui peut aussi se calculer quand on connaîl la forme quadratique fondamentale : du »°dv°. Appliquons le théorème de Gauss sur les excès angulaires

au quadrilatère abcd; il exprime que l'intégrale de la courbure géodésique prise sur le contour abcda est égale à l'angle 27 diminué de l'intégrale

Le & ee AC double de la courbure totale — étendue à l'aire intérieure au contour. Le

sens positif adopté sur la surface est celui que nous avons défini plus haut, qui amène la tangente positive à la courbe v — C®, sur laquelle la différentielle de l'arc est ds —pdu, sur la tangente positive à la courbe u — C!° sur laquelle la différentielle de l'arc est dt — dv. (Cf fig. 1).

Avec les conventions de signe faites sur y et d, le théorème de Gauss donne :

u+Au —f 7 (u, v).p(u, v) du +- cf (u + Au, v).v (u + Au, v) dv

if" y (u,v+-Av).u (a, v ++ Av) du += + ï d(u, v).» » (u, 0) du +=

2 v+Av

Lie =[f ue (u, o):v v) dudo abed PA

En remplaçant y et à par leurs valeurs tirées des équations (3), la relation précédente devient :

v+Av À d ,

D een ile ù

au+Au d 1 +] En sl (a, 0 + Av) — te) a (u, | du

PP plu, v):v(u, v) dudv +f| ne LE abcd PP

en faisant tendre Au et Av vers zéro, nous obtenons à la limite a relation différentielle suivante qui doit être vérifiée en un point quelconque de la

surface (2) :