AMAR

Cette formule donne en fonction des coeflicients g et » de la forme

quadratique fondamentale la valeur de là courbure totale =

LRO FRE

2. Courbe tracée sur la surface (2). — Une courbe (©) tracée sur la surface (Z) est définie par une relation g {u,v)— o entre les paramètres u et v relatifs aux courbes du réseau orthogonal. Soitz, l’azimut de cette courbe, c’est-à-dire l'angle de la tangente positive avec la tangente positive à la courbe o— C# qui passe par le point courant d’abscisse curviligne a sur (). L'azimut sera compté dans le sens positif de rotation adopté sur la surface (Z) de 0° à 360°. Désignons par c la courbure géodésique de la

(v) (v+Av)

F fig.3 -

courbe (©); c« est une fonction de l’abscisse curviligne ©. L’azimut + est aussi une fonction de o.

Ces deux fonctions ne sont pas indépendantes; en effet, considérons le triangle curviligne élémentaire acd (fig. 3) et soit z l'azimut de la courbe (&) en a et z+ Az son azimut au point d. Appliquons le théorème de Gauss sur les excès angulaires au triangle acd :

10+AÀ0 au z+| dom —2—A—| PAU 0 + Av). a (u, v + A) du + = © O Le u+Au es u, v).v (u, v) do == 927 — ele #) te (ns) aa er ue v+Av ) “ ) ua 2 ï & fe pp

Les termes finis des deux membres se détruisent; dans le développement en série de la relation précédente les termes du premier ordre

ÉDREG Fe ESA

n'existent que dans le premier membre, le second membre étant du 2° ordre et l'expression :

— de + co + yuAu — fvAv

constitue l’ensemble des termes du 1° ordre.

Si on fait tendre Ac vers zéro, les valeurs correspondantes de Au et À tendent vers zéro et la relation HÉNTATRE

dz ds dt (5) ue DA Te

doit être vérifiée en tous les points de la courbe (e).

Nr dt : : E En remplaçant les dérivées — et gs Par cos z el sin respeclivement, on

do trouve la forme équivalente suivante :

; dz 5 (5) Ts —=0+7c0s2—dsinz

dans laquelle on peut toujours exprimer y et à sur la courbe (2) en fonc tion de la seule variable oc.

Pour les courbes de la deuxième famille, on a :

T dz PATES LS AT ARESTAES

FREE HNA ——0, Cr Ye

Nous avons vu plus haut la raison de cette différence de signe qui résulte directement des conventions de signes que nous avons failes.

3. Projection conforme de la surface (2). Relations fondamentales. — Considérons une représentation conforme de la surface (2) sur une deuxième surface. Au réseau orthogonal qui a été défini sur la première surface, correspondra sur la deuxième surface un autre réseau orthogonal. Pour la représentation paramétrique de la deuxième surface, nous pouvons adopter les mêmes paramètres w et v; le rapport de similitude sera une fonction de « et v, ayant en chaque point une valeur déterminée; la connaissance de cette fonction est essentielle dans l'étude de la correspondance par points homologues des deux surfaces.

Soient dS et dT les différentielles des ares qui correspondent aux différentielles ds et dt, le rapport de similitude :

CRADEUE u = =:

K (u ? v) ds dt Dans ces conditions, le carré de l'élément linéaire de la deuxième sur-

face est :

(Ku)° du? + (K»)° du?