DÉDUCTION DE LA LOI LOGAIUTHMIQUE ET DES LOIS

QUI s'y rattachent

La loi du seuil exprime que la sensation est nulle alors que l'excitation correspondante possède une A aleur finie ; la loi de Weber exprime que des difl'érences égales de sensation correspondent à des rapports égaux des excitations correspondantes. Voilà les bases expérimentales de la mesure des sensations et de toute la psychophysique.

A ce point du développement de la psychophysique, on ne sait pas encore quelle relation mathématique existe entre la sensation et l'excitation : mais on sait qu'il doit exister une telle relation. On ne sait même pas encore quelle relation mathématique existe entre les éléments de l'excitation : la loi de Weber exprime bien qu'il existe une liaison entre les différences absolues de sensation et les différences relatives d'excitation, mais cette liaison ne se présente pas encore sous forme mathématique. ^ Pour donner à la loi de Weber sa forme mathématique, Fechner recourt à un principe auxiliaire qui se formule ainsi : les modifications corrélatives de deux grandeurs continues qui dépendent l'une de l'autre sont sensiblement proportionnelles l'une à l'autre tant qu'elles restent très petites, quelle que soit la nature du rapport de dépendance qui existe entre les deux grandeurs et de quelque façon que la variation corrélative des deux grandeurs, envisagées dans leur totalité ou dans des parties étendues, s'écarte de la

proportionnalité. Ce principe a été exposé et expliqué en particulier par Cournot {Traité des fonctions, \, p. 19). Quelques exemples suffisent pour le faire comprendre. Les logarithmes et les nombres correspondants ne progressent pas d'une manière proportionnelle ; mais si l'on prend la différence entre deux nombres voisins l'un de l'autre et la différence entre les logarithmes correspondants, il y a une proportionnalité sensible entre ces deux différences ; c'est sur cette proportionnalité que s'appuie le procédé des interpolations. La longueur d'une courbe n'est pas proportionnelle à celle de l'abscisse correspondante ; mais, si l'on prend une partie de la courbe assez petite pour qu'elle coïncide sensiblement avec une droite, il existe pour cette petite partie une proportionnalité sensible entre les accroissements de l'abscisse et les accroissements correspondants de la courbe (i).

Fechner applique ce principe aux rapports de la sensation et de l'excitation. (( Il est vrai, dit-il, que nous ne pouvons pas indiquer un rapport défini selon lequel la sensation varie par rapport à l'excitation, tant que nous n'avons pas une mesure de la sensation; mais nous savons que les variations de la sensation sont liées d'une façon continue aux variations de l'excitation. . . Cela suffit pour que nous puissions y appliquer notre principe. Nous pouvons donc sans hésiter énoncer cette proposition: les modifications de la sensation sont sensiblement proportionnelles aux modifications de l'excitation, aussi longtemps que ces modifications restent très petites des deux côtés (2). n

On peut maintenant relier la loi de Weber à la proposition précédente et exprimer celte liaison d'une manière mathématique. Supposons que la différence de deux excitations, ou, ce qui revient au même, que l'accroissement d'une excitation soit une quantité très petite. Soient /3 l'excitation

(^} d. Ps., II, p. G, 7.

(a) f'^L d. P,., II, p. 8.

M. l'^OUCVULT.

à laquelle s'ajoute l'accroissement, et p le petit accroissement, d signifiant seulement que cet accroissement est très

petit. L'accroissement relatif d'excitation est —p^. Appelons

7 la sensation qui dépend de l'excitation p, et c/y l'accroissement de sensation qui dépend de l'accroissement c/p d'excitation. D'après les expériences qui fondent la loi de Weber,

dy reste constant quand reste constant, quelles que

soient les valeurs absolues de d [3 et de p ; et, d'après le principe auxiliaire, les accroissements d |3 et dy sont proportionnels l'un à l'autre tant qu'ils restent très petits. Ces deux rapports peuvent être exprimés simultanément dans l'équation suivante :

où K est une constante. — En fait, si l'on multiplie rfp et ,3 par un même nombre, le rapport reste le môme, et par conséquent c/y reste constant : c'est la loi de Weber. Si l'on double ou si l'on triple la valeur de d<^ sans modifier la valeur de p, la modification de sensations? y prend une valeur double ou triple : c'est le principe auxiliaire. — L'équation ci-dessus exprime donc à la fois la loi de Weber et le principe. Feclmerlui donne le nom de formule fondamentale (Faiidameiitalfovmel), pour la raison que les formules suivantes s'appuieront sur elle (i).

Maintenant, dit Fechner, si l'on traite la formule fondamentale comme une formule différentielle, et si l'on fait l'intégration, on obtient la formule suivante, que Fechner appelle la formide de mesure :

7 = k (log. p — log. 6) (2)

(i) El. d. Ps., II, p. 9, 10.

Dans cette formule, /.• est une constante qui dépend des unités et du système logarithmique que l'on choisit, et b est une autre constante, qui représente la A^aleur du seuil de l'excitation S.

La déduction de la formule (2) à partir de la formule (i) peut se faire d'une manière directe et rigoui^euse par le calcul mathématique si l'on considère rfp et c/y comme des différentielles, ce qui est légitime aux yeux de Fechner puisque ces deux quantités sont à la limite de la perceptibilité [an der Gi mnze der Merklichen) . Fechner donne les calculs qui conduisent à la formule de mesure (i). — Mais il s'attache aussi, pour ceux de ses lecteurs qui ne sont pas capables de suivre une déduction infinitésimale, à justifier la formule de mesure d'une manière indirecte. Posons d'abord la formule de mesure (2). Gomme la différence des logarithmes de deux nombres est égale au logarithme du quotient de ces nombres, l'équation (2) est équivalente à la suivante :

<( Hâtons-nous, dit-il ensuite, avant d'aller plus loin, de montrer que la formule de mesure redonne comme des conséquences les relations entre l'excitation et la sensation d'où elle a été déduite, et par conséquent trouve à son tour en elles sa vérification, puisqu'elles sont confirmées par l'expérience... La formule de mesure est fondée sur la loi de Weber et l'existence du seuil d'excitation : la loi de Weber et le seuil doivent donc en découler à leur tour. » C'est ce qui arrive en effet. Pour la loi de Weber, soient deux sensations 7 et y' correspondant aux excitations p et [3'. On a d'après la formule de mesure : ' '

7 = k (log. fi — log. b) 7'= k (log. p' — log. b).

(1) II, p. 33-39.

La différence des sensations est donc :

'l — i = k (log. p — log. P') - k log. ^. (( De cette formule il suit que la différence des sensations 7 — 7' est fonction du rapport des excitations , et

qu'elle reste égale quelles que soient les valeurs que prennent j3 et P', pourvu que le rapport de f3 à fi' reste constant : c'est l'expression de la loi de Weber. » Quant au fait du seuil, puisqu'il consiste en ceci, que la sensation s'évanouit ou a une valeur nulle, non quand l'excitation a une valeur nulle, mais quand l'excitation a encore une valeur finie, il est contenu dans la formule de mesure : car dans cette formule 7 prend une valeur nulle, non pas quand on a S = o, mais quand on a p = 6, c'est-à-dire quand /S est une valeur finie : en effet, si l'on considère la formule (2), on voit que, pour p = 6, on a Y = o, et si l'on considère la formule (3), on voit que, pour p = 6, on a 7 = log- i ; mais log. t = o { i ) .

La vérification indirecte de la formule de mesure s'appuie encore sur les conséquences qui dérivent de la loi de Weber et de la loi du seuil. De la loi de Weber dérive cette conséquence qu'un accroissement d'excitation donne un accroissement de sensation d'autant moindre que l'excitation à laquelle il s'ajoute est plus grande : la formule de mesure montre cette conséquence, puisque l'addition d'une même quantité à un nombre augmente le logarithme de ce nombre d'une quantité notable, si le nombre auquel elle s'ajoute est peu élevé, et l'augmente d'une quantité insignifiante, si elle s'ajoute k un nombre élevé. De l'existence du scud dérive cette conséquence, qu'une sensation est d'autant plus éloignée de la perceptibilité que l'excitation est plus bas au-dessous du seuil ; cet éloignement est représenté dans la formule par les valeurs négatives de 7 : les sensations positives sont les

(i) El. (l. Ps., II, p. i:i-ïli.

lOI —

sensations conscientes, les sensations négatives sont les sensations trop faibles pour affecter la conscience ou les sensations inconscientes. Les sensations négatives ne sont pas des sensations réelles, opposées aux sensations positives, mais des sensations qui manquent (fehlende Empjlndiingen), et la A'aleur absolue que leur donne la formule de mesure représente seulement la profondeur de l'inconscience (p. Sg), c'est-à-dire la distance qui sépare la sensation inconsciente de la perceptibilité ou de la réalité (p. 4o).

(( La formule de mesure correspond donc à l'expérience :

« i) Dans les cas d'égalité, où une différence de sensation reste égale alors que l'intensité absolue des excitations se modifie (Loi de Weber) ;

(( 2) Dans les cas limites, où la sensation ou bien son accroissement cesse d'être perceptible ou considérable (erlieblichj. la sensation, quand elle tombe au-dessous du seuil, l'accroissement de sensation, quand la sensation est déjà si forte qu'un accroissement donné d'excitation cesse d'être senti d'une manière appréciable;

« 3) Dans les cas d'opposition entre les sensations qui s'élèvent au-dessus de la perceptibilité et celles qui n'atteignent pas la perceptibilité, bref entre les sensations conscientes et inconscientes.

(( Par conséquent nous avons le droit de considérer la formule de mesure comme bien fondée (i). »

Mais la formule de mesure n'est pas encore la mesure : elle permet seulement d'y arriver. Elle exprime, en effet, (( un rapport de dépendance entre la valeur fondamentale de l'excitation, c'est-à-dire la grandeur de l'excitation rapportée à la grandeur du seuil, et la grandeur de la sensation corrcs-

(0 Ibid., j). ,0.

pondante, rapport qui n'est plus simplement valable pour les cas d'égalité de la sensation, mais est général, et permet de calculer à partir de la grandeur de la première les multiples de la seconde, ce qui donne une mesure de la sensation » .

En effet, si l'on veut déterminer une sensation n fois plus forte que 7, il suffit de multiplier par n les deux termes de la formule de mesure donnée par l'équation (3).

On obtient l'équation :

ny = nk log. (4)

à laquelle on peut substituer l'équation suivante :

n7 = k log. i^j^j (5).

De même, si l'on veut déterminer une sensation contenue n fois dans y, il suffit de diviser par n les deux termes de l'équation (3). On obtient :

D'une façon générale, le rapport de deux sensations se tire de la formule de mesure et est donné par l'équation suivante :

y - r - 'log. log. 6

log.

Enffn, si l'on veut obtenir la formule de mesure la plus simple, il faut choisir les unités d'excitation et de sensation de façon que dans la formule de mesure on puisse poser b — i

(l) [bld., p. 17, iS.

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et k = I. Or le calcul montre que k = i si l'on & b = i. Il faut donc prendre pour unité d'excitation la valeur du seuil d'excitation. Quant à l'unité de sensation, elle ne sera pas fournie par la sensation qui correspond au seuil d'excitation,

puisque cette sensation est d'intensité nulle : mais y prendra

la valeur i quand le rapport sera égal au nombre qui

sert de base aux logarithmes employés : l'unité de sensation est donc la sensation qui correspond à une excitation égale à 10 fois la valeur du seuil si l'on emploie les logarithmes ordinaires, et à 2.718... fois cette valeur si l'on emploie les logarithmes naturels. La formule de mesure devient alors :

Y = log. p (8)

« Ces unités d'excitation et de sensation..., qui ramènent la formule de mesure à sa forme la plus simple, seront appelées les unités fondamentales, et on y ajoutera le nom d'ordinaires ou de naturelles selon le genre des logarithmes employés. L'unité d'excitation reste la même dans les deux cas, mais l'unité de sensation se modifie selon le système de logarithmes dans le rapport de 10 à 2.718... Sous l'hypothèse des unités fondamentales on peut dire simplement que la force de la sensation est le logarithme de la force de l'excitation, et selon le système de logarithmes employés, on trouvera pour la grandeur de la sensation une expression numérique différente, mais la grandeur absolue de la sensation sera toujours la même si l'on tient compte de l'unité qui la mesure, de même que, au lieu de la longueur i on peut poser la longueur 12, et ne pas désigner par le dernier nombre une longueur plus grande, si par 12 on entend 12 pouces et par 1 un pied (i). n

Pour caractériser ce genre de mesure relativement aux unités qu'il choisit, Fechner fait cette importante remarque .

(l) Ibid., p. 19, 20.

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« Comme l'excitation et la sensation sont de nature tout à fait hétérogène, elles ne peuvent être mesurées que séparément par des unités de leur espèce, et on ne peut pas les rapporter à une unité commune. En fait, dans notre mesure de la sensation, nous ne présentons pas la sensation comme un multiple de l'excitation, mais comme un multiple d'une grandeur de sensation de même espèce prise pour unité, et c'est seulement la relation de la sensation à son unité qui est déterminée d'après la relation de l'excitation à son unité, attendu que ces deux relations sont des fonctions l'une de l'autre, de telle façon que, si l'une des relations est donnée, l'autre peut en être tirée. C'est cette fonction qui est présentée dans notre formule de mesure (t). »

Voilà donc la mesure des sensations selon Fechner. Mais peut-on en faire un usage pratique ? Fechner ne s'est pas fait d'illusions sur ce point. « Si simple, dit-il, que soit la formule de mesure, ce n'est pas une chose trop simple que d'en faire usage. » En effet, pour déterminer les valeurs de b et de P, il faut tenir compte d'un certain nombre de causes secondaires. La valeur du seuil est variable, elle grandit à mesure que l'excitabilité diminue, et l'excitabilité diminue quand les excitations deviennent fortes ; c'est môme là une des raisons pour lesquelles la loi de Weber ne s'applique pas exactement aux excitations fortes. De plus, pour obtenir la valeur de p, il ne suffit pas d'avoir une mesure de l'excitation extérieure, il faut y ajouter l'excitation propre de l'organe sensoriel quand il existe une excitation de ce genre, comme c'est le cas pour l'œil, qui a une lumière propre. De plus il faut tenir compte du mécanisme naturel qui dans certains cas arrête partiellement l'action de l'excitation : ainsi, quand la lumière devient vive, la pupille se rétrécit et ne laisse plus passer une assez grande quantité de lumière. Il faut tenir compte encore de l'irradiation, des effets de contraste, de

(i) Ibid., p. i8.

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l'atlenlion. Fechnci- signale lui-même toutes ces difficultés et se demande s'il est vraiment arrivé à un résultat et quel est ce résultat.

« A ce point de vue, dit-il, il faut remarquer que l'intérêt pi'incipal de la formule de mesure ne consiste pas tant en ce qu'elle permet de comparer des sensations numériquement exprimées, ce que l'on n'aurait pas fréquemment l'occasion de faire dans la science ou dans la pratique, qu'en ceci :

(( i) La formule de mesure fonde en principe et permet d'effectuer, quand les circonstances sont favorables, la mesure des sensations : par là elle établit le concept de cette mesure sur un fondement solide, clair, exact, et par conséquent elle assure à la psychophysique une base mathématique; 2) en rattachant fonctionnellement les valeurs 7, p, b, elle exprime le rapport de l'excitation, de la sensation et de la sensibilité, et cette expression fonde une conception claire et rigoureuse de ce rapport en l'appuyant sur les faits, et assure à la recherche sur ce point une base claire et sûre ; 3) d'après cette relation fonctionnelle aussi, on peut prévoir en général et sans mesure spéciale comment, par la modification de teliet tel rapport, la marche et l'état du phénomène de la sensation doivent se modifier, et se comporter dans les cas limites et les points de crise {Wendepiinkte) ; elle permet par conséquent aussi, là où la mesure spéciale n'est pas possible, de tirer des conséquences générales. » Donc, en ce qui concerne la psychophysique externe, l'importance de la formule de mesure réside plutôt dans, les avantages ci-dessus mdiqués que dans la réalisation de la mesure dont on aura très rarement besoin. Mais, pour la psychophysique interne, l'mtérêt de la formule de mesure est plus grand, parce que la relation de mesure entre la sensation et l'excitation qui est contenue dans la formule n'ouvre pas tout à fait, il est vrai, l'entrée de la psychophysique interne, mais donne pour ainsi

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dire « la clef de la porte » (i) ainsi qu'on le verra dans le chapitre suivant.

A la formule de mesure Fechner rattache deux autres formules, qu'il appelle, l'une la formule de diflerence {Unterschiedsformcl) et l'autre la formule de mesure de la sensation de différence ou de contraste {Unterschiedsinassformel); la première donne la mesure de la différence entre deux sensations ; la deuxième donne la mesure d'une sensation de différence ou de contraste.

Deux sensations peuvent différer l'une de l'autre sans que cette différence soit sentie. C'est ce qui arrive si elles existent dans la conscience d'individus différents, ou si, bien qu'elles existent dans une môme conscience, elles sont séparées par un intervalle de temps trop considérable. La formule de mesure de la différence (non sentie) s'obtient d'ailleurs facilement à partir de la formule de mesure des sensations. Soient Y et 7' deux sensations, p et/5' les excitations correspondantes et b la valeur du seuil d'excitation. On a :

7 — k (log. /3 — log. b) 7'= /^■(log.6'— log. b)

On tire de ces deux équations : •

y - Y = k (log. p — log. p') = ^-log. y-

Si dans cette formule on considère comme nulle l'une des deux sensations, on retrouve pour l'autre la formule de mesure de la sensation simple. La formule de différence en est donc la formule générale, et c'est ce qui en fait le prmcipal intérêt (2).

Si la différence entre deux sensations est sentie, on obtient pour la mesure de cette différence une autre formule, et qui

(i) Ibid., p. a/i-aS.

(3) Ibid., p. 89-91.

inésente un intérêt particulier. L'acte mental par lequel nous saisissons la diflerence de deux sensations est différent des sensations, et il est un acte de conscience plus élevé que celui |iar lequel nous saisissons simplement une sensation. Donc, on mesurant la différence sentie des sensations, c'est-à-dire la sensation de différence ou de contraste, Fechner pense atteindre une forme d'activité mentale ])\us élevée que la simple sensation. « Et comme, ajoute-t-il, on peut sentir aussi des différences entre des différences de sensation, et que (•es sensations plus élevées sont aussi mesurables en principe, il est prouvé directement que le spirituel supérieur, abstrait romme concret, n'est pas moins accessible à la mesure que l'inférieur, et que l'on a un princijae pour s'élever de Tinférieur au supéiùeur ( i ) . »

Pour obtenir la formule qui donne la mesure des sensations de différence, Fechner prend comme point de départ la formule de mesure des sensations, et remplace dans cette formule la sensation par la sensation de différence, le seuil d'excitation par le seuil différentiel, et l'excitation par le rapport des excitations entre lesquelles existe la différence. Soient donc u (Unterschied) la différence sentie entre deux sensations v et y', cple rapport des excitations correspondantes fi et p', et V {Verhaltniss) le seuil différentiel, c'est-à-dire la

valeur du rapport pour laquelle la différence cesse d'être

sentie ; on peut poser, par analogie avec la formule de mesure des sensations :

^ = K log. -f = K log. —7- = K (log. ? - log.

On suppose dans ces formules que le numérateur j3 du rapport est plus grand que p' , que par suite tp est supé-

(I) El. d. Ps., il, p. 80.

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rieur à i , et que log. ij> est une valeur positive. — De plus cette formule s'applique seulement dans le cas, appelé parFechner cas normal, où les deux excitations p et /5' peuvent changer de place sans que la grandeur de la dillcrence sentie soit modifiée. Il est vrai que ce n'est pas le cas le plus général; au contraire, la sensation de différence varie ordinairement selon la position des excitations dans l'espace et dans le temps, et c'est précisément de là que résulte l'erreur constante. Mais en éliminant l'erreur constante, on ramène tous les cas au cas » normal, et l'on donne une valeur générale à la formule de

mesure des différences senties (i).

Des calculs analogues conduisent Fecliner à déterminer les formules qui mesurent les différences senties entre des différences de sensations, ou différences de second ordre, puis entre des différences de troisième ordre, etc. Pour montrer que ces formules correspondent à quelque chose de réel, et qu'il n'y a pas là simplement un jeu mathématique, Fechner cite des faits. Par exemple, nous percevons une différence de lumière entre deux étoiles, puis une autre différence entre deux autres étoiles, nous pouvons comparer ces deux différences, c'est-à-dire percevoir une différence de second ordre. Au fond, c'est toujours la formule de mesure qui est ici l'objet d'une généralisation indéfinie.

Une remarque finale doit être faite maintenant au sujet des limites de la loi de Weber et du rôle que joue cette loi dans la détermination des formules de mesure psychique. Ces formules s'appuient sur la loi de Weber et la loi du seuil, et demeurent exactes aussi longtemps que ces 'deux lois demeurent exactes. Cependant la loi de Weber, en ce qui concerne la liaison de la sensation avec l'excitation externe, ne s'applique avec exactitude qu'aux excitations que les sens ont coutume de subir, et, en dehors de cette région moyenne des excitations, est sujette à des perturbations et à des com-

(i) Ibid, p. gG sqq.

plicalions, pour cesser absolument de s'appliquer aux excitations très fortes et très faibles. Les trois formules de mesure, des sensations, des différences de sensation et des sensations de différence, cessent donc d'être exactes en même temps que la loi de Weber. Mais le principe général de mesure peut encore être employé en dehors des limites de la loi de Weber. D'après ce principe, en effet, il suffit que l'on puisse constater l'égalité de petits accroissements de sensation correspondant à des accroissements déterminés d'excitation. Or cette constatation peut toujours se faire au moyen des trois méthodes psychophysiques. Donc, « là oià la loi de Weber nous fait défaut, il faut la laisser de côté, et prendre pour base de la mesure psychique l'autre relation que l'expérience nous révèle entre les différences psychiques et les différences ou rapports d'excitation dans la partie de l'échelle des excitations et des sensations que l'on considère » (i). On regardera donc toujours, d'après le principe de mesure, une sensation totale comme composée dedifférences élémentaires égales, et l'on déterminera le nombre de ces différences élémentaires en s'appuyant sur la relation que l'on aura découverte entre les accroissements élémentaires de la sensation et les accroissements correspondants de l'excitation. Ainsi, dans la psychophysiqne externe, la loi de Weber fournit une base pour établir les formules générales de mesure et elle limite la région des excitations et des sensations où ces formules peuvent être appliquées, mais elle n'est pas rigoureusement indispensable à la mesure des sensations. Son importance est plus grande dans la psychophysique interne.

(i) Ueber die psychischaa Masspriiicipien und das Weber'sclie Geselz, Phil. Si. IV, p. 187; Cr. El. d. Ps., I. p. 05-67 et II, p. 191 sciq.