DIVISION ALGEBRIQUE

La division algébrique a pour but connaissant un produit appelé dividende et l'un de ses facteurs de trouver l'autre.

Si le dividende est une grandeur et que le facteur donné soit un nombre, celui-ci s'appelle diviseur et le résultat quolient.'MLsâs ce résultat change de nom, comme on va le voir, si le facteur donné est une grandeur de l'espèce du dividende.

On peut se proposer, connaissant deux grandeurs de même espèce, de trouver le nombre par lequel il faut multiplier Tune pour obtenir un produit égal à l'autre. Ce nombre s'appelle rapport par quotient ou simplement rapport de la seconde grandeur à la première. ^ ^ Ainsi, le rapport de la droite AB à la droite

CD est le nombre quelconque m par lequel il /y. /S faut multiplier CD pour obtenir AB. Ce nombre

se désigne par ^ , en sorte qu'on a ^ = m ou AB = CD x i». En d'autres termes; CD est le quotient de la division de AB par m, tandis que m est le rapport de AB à CD.

Deux grandeurs de même espèce donnent lieu à deux rapports appelés l'un direct et l'autre inverse. Ainsi les droites AB et CD ont pour rapport direct ~ , pour rapport inverse |g .

Deux grandeurs sont directement ou inversement proportionnelles à deux autres suivant que le rapport direct des premières est égal au rapport direct ou inverse des secondes.

L'expression de l'égalité de deux rapports est une proportion géométrique.

On aipjiëlle progression géométrique une suite de grandeurs telles que le rapport de chacune d'elles à la précédente est constant. Ce rapport se nomme raison. La progression est croissante ou décroissante suivant que la raison supposée positive est plus grande ou moindre que l'unité.

Les proportions et progressions géométriques, entre les grandeurs, se traduisent naturellement par des relations de même forme entre leurs

valeurs numériques. Mais les dénominations de rapport et de quotient sont synonymes pour les nombres.

On sait que les proportions et les progressions précédentes tirent leur nom du fréquent usage qu*en fait la géométrie. Cette science les applique, en effet, non-seulement aux droites absolues ; mais encore à leurs accroissements positifs ou négatifs, et elle parvient de la sorte i saisir entre certaines figures, assez diverses en apparence, une analogie qui permet de les exprimer par une même relation numérique. Je n'en citerai qu*un exemple, après quoi, je ferai voir que la géométrie ne saurait pénétrer plus avant dans cette voie de généralisation, sans concevoir de nouvelles droites et par suite créer de nouveaux nombres.

Soient donc xoi, y%f^ deux axes quelconques, o leur point d*intecsection. On sait qu*en portant sur ces axes à partir de Torigine quatre droites absolues OÂ, OB, OC, OD, les droites de la première direction sont directement ou inversement proportionnelles à celles de la seconde, selon que les sécantes A.B et CD sont parallèles ou antiparallèles.

Or, cette propriété subsiste quand Tune des sécantes, CD par exemple, se déplace parallèlement à elle-même de manière à prendre une suite de positions telles que CD', C'D^... De là résultent une foule de figures offrant entre elles plus ou moins d'analogie, et qui donnent les proportions

OA OC Oa OC" OB " OD "^ OD' OD"

Mais si Ton représente par a, ft, c, d, e, f, les longueurs OA, OB, OC, OD, OG = OC, OD' = 0D% ces proportions se traduisent par celles-ci :

et il ne reste plus qu'à désigner d'abord par ~ l'un quelconque des rapports j , -j ,... puis par m leur valeur commune, pour que ces dernières relations se résument dans la suivante :

Ainsi même en n* employant que des droites absolues la géométrie peut représenter par une seule formule toutes les figures que nous venons de considérer.

Cependant deux positions de la sécante mobile symétriques par rapport à l'origine 0, telles que CD' et CD", donnant chacune avec AB la proportion

celle-ci ne détermine pas une de ces positions plutôt que l'autre : de là, certaine am1)iguité qui n*est pas sans inconvénient. Mais pour faire disparaître cette ambiguité que faut-il ? Simplement tenir compte de toutes les particularités de la figure en regardant les droites OA, OB, OC, OD, OC, OD', comme positives et 0C^ OD", comme négatives. En efiet, les sécantes AB et CD' pour lesquelles subsiste la proportion

se distinguent nettement alors des sécantes AB et CD" qui donnent

Et, comme on n'en a pas moins la suite de rapports égaux

rien n'empêche de résumer, ainsi qu'on Ta fait plus haut, ces diverses proportions dans la formule

Cet exemple montre déjà que les droites positives et négatives l'emportent sur les droites absolues comme moyen de généralisation. Malheureusement elles deviennent insuffisantes à leur tour quand il s'agit de pousser jusqu'à ses dernières limites Taccord de la géométrie et de l'algèbre. Les proportions elles-mêmes vont nous en offrir la preuve.

Entre deux droites de même sens OA, OB, par exemple, il existe toujours deux moyens ^aux, tels que les droites superposées OC ou OC, ce qui doDne les proportions