MULTIPLICATION ALGEBRIQUE

Parmi les grandeurs continues de même espèce, il en est qui sont moindres que l'unité, ou qui étant plus grandes qu'elle, n'eu sont pas des multiples. La nécessité de mesurer les unes et les autres a conduit à partager l'unité en un nombre quelconque de parties égales appelées unités fractionnaires, et toute unité fractionnaire ou collection d'unités fractionnaires de même espèce a reçu le nom de fraction.

Lorsqu'on partage l'unité linéaire en n parties égales, par exemple, chacune des unités fractionnaires ainsi obtenues se représente par — , et la fraction formée de m de ces nouvelles unités par ^ . Toute fraction est donc exprimée par deux nombres entiers : ces nombres se nomment collectivement termes de la fraction : l'un, appelé numérateur, indique le nombre, et l'autre, appelé dénominateur, le nom des unités qui la composent.

Mais quand on partage l'unité linéaire en n parties égales, l'une des

parties est le quotient de la division de cette unité par n : donc-^ tient lieu de 1 : n; par suite, la barre de fraction peut se remplacer par Je signe de division et réciproquement. Toutefois, on a pris l'habitude d'employer concurremment les deux signes.

Cela posé, quand on multiplie une droite par un nombre entier m, on fait sur cette droite ce qu'on a fait sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par le multiplicateur.

Mais quand on divise une droite par le nombre entier n, on peut dire aussi qu'on fait sur la droite ce qu'on a fait sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par—.

De là la possibilité de regarder la multiplication et la division d'une droite par un nombre entier comme deux cas particuliers d'une opération plus générale ayant pour but de faire sur une grandeur appelée multiplicande ce qu'on a fait sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par un nombre appelé multiplicateur. Cette opération nouvelle, dont le résultat conserve le nom de produit, s'appelle multiplication algébrique.

D'après cela la division d'une droite par un nombre entier n revient à la multiplication algébrique de cette droite par -^ ; et si Ton étend cette manière de voir à l'unité linéaire, on en conclut par des multiplications et divisions successives, que m x n = n x m = mn, mXr=-^Xm = ^et que~x4 = 4x4 =4;- Dès lors, il est

nn n *- m n n m nui

facile de ne voir qu'une seule opération dans une suite de multiplications ou divisions effectués sur une droite.

En effet, lorsqu'on multiplie successivement la droite par les nombres entiers m et n ou inversement, on fait sur la droite les opérations qu'on a faites sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par mx n = n X m = mn, ou en d'autres termes, on multiplie la droite par le produit mn.

De même quand on multiplie la droite par le nombre entier m pour la diviser ensuite par le nombre entier n ou vice versa, on fait sur la droite les opérations qu'on a faites sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par mx - = - X w = -^ . Il est donc permis de dire qu'on multiplie alors la droite par la fraction-^ .

Enfin, quand on divise successivement la droite par les nombres entiers m et n ou vice versd^ on fait sur la droite les opérations qu*on a faites sur l'unité pour obtenir la grandeur exprimée par — x — = — X 4- = ~ > ©t par suite on peut dire qu'on multiplie la droite par la fraction -^ .

Comme, d'après sa définition même, la multiplication algébrique semble devoir comporter autant de cas particuliers qu'il j a d'espèces de nombres, il reste à examiner si elle est vraiment susceptible d'une pareille extension. C'est ce que je vais faire en considérant d'abord certains nombres absolus qui ne sont ni entiers ni fractionnaires ; puis les nombres de signes quelconques.

Parmi les grandeurs continues de même espèce , les unes, et c'est le plus grand nombre, sont multiples de l'unité ou d'une de ses parties aliquotes : on les appelle grandeurs commenmrabïes avec Vunité, et les nombres qui les expriment sont entiers ou fractionnaires. Les autres ne sont multiples d'aucune partie aliquote de l'unité, si petite qu'elle soit ; ce sont les grandeurs incommensurables avec Vunité.

Le nombre qui représente une grandeur incommensurable avec l'unitë est par définition plus grand que ceux qui expriment des grandeurs commensurables moindres qu'elle, et plus petit que ceux qui en expriment de plus grandes. On l'appelle nombre incommensurable et la définition précédente lui assigne une valeur parfaitement déterminée.

En efi'et, rien n'empêche de resserrer la grandeur incommensurable entre deux multiples consécutifs d'une partie aliquote toujours de plus en plus petite de l'unité, et comme les nombres qui représentent ces deux multiples difierent l'un de l'autre d'une unité fractionnaire toujours de plus en plus petite , ils s'approchent indéfiniment , mais sans l'atteindre jamais, d'une certaine valeur que l'esprit conçoit comme leur limite commune. Cette valeur est le nombre incommensurable luimême.

Cela posé, qu'on se donne avec une droite absolue le nombre incommensurable défini par les fractions -^ et ^^-—^ susceptibles de se rapprocher indéfiniment l'une de l'autre : il est clair que dès qu'on cherche une droite comprise entre les produits de la première par les fractions -^ et îï-i- on opère sur la droite donnée comme on Ta fait sur l'unité

pour trouver le nombre incommensurable. L'analogie conduit donc à ne voir dans cette opération qu'un nouveau cas de la multiplication algébrique, ce qui est d'autant plus naturel que la définition de celle-ci n'en souffre aucune modification.

Cette même définition suffit encore quand la droite, au lieu d'être absolue, est de sens quelconque et que le multiplicateur est un nombre positif. Reste donc à examiner le cas d'un multiplicateur négatif.

Or, étant donnée une droite quelconque, on peut indifféremment multiplier cette droite par m et changer le sens du produit, ou changer d'abord le sens de la droite ; puis, la multiplier par m : car, d'un côté comme de l'autre, on arrive au même résultat. Mais on fait alors sur la droite ce qu'on a fait sur l'unité positive pour obtenir la grandeur exprimée par le nombre négatif — m. Donc, il suffit de substituer l'unité positive à l'unité absolue dans la définition de la multiplication algébrique pour que celle-ci comprenne encore le cas actuel.

En résumé, la multiplication algébrique a jusqu'ici pour but de faire, sur une grandeur positive ou négative, appelée multiplicande, ce qu'on a fait sur l'unité positive pour obtenir la grandeur exprimée par un nombre quelconque appelé multiplicateur.

Quant à la multiplication algébrique d'un nombre par un autre, elle consiste à trouver la valeur du produit obtenu en multipliant par cet autre nombre la grandeur qu'exprime le premier. De cette définition résultent les règles relatives au produit de deux nombres de signes quelconques, d'ailleurs entiers, fractionnaires ou incommensurables; et Ton en conclut en particulier que le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

Comme on est déjà convenu d'exprimer par une lettre un nombre entier de signe quelconque, il est naturel d'étendre la même convention aux nombres fractionnaires ou incommensurables. Dès lors, le produit de deux nombres donnés a et 6 s'exprime constamment par la formule

aft = p

dans laquelle p désigne l'une quelconque des fonctions clu nombre entier que l'on vient de considérer.