OC OB

Mais ces dernières proportions ne peuvent, ni avec des nombres absolus, ni avec des nombres positifs ou négatifs, se résumer dans la même formule que les premières.

En effet , qu'on désigne par a, 6, c, les longueurs OA, OB = OB', OC = OC, on a d'un côté

de l'autre

Or, si les deux premières relations peuvent se remplacer par celle-ci

il ne saurait évidemment en être de même des deux autres.

Cependant il peut se faire que deux lignes offrant entre elles la plus grande analogie, telles que la circonférence et l'hyperbole équilatère, conduisent Tune aux relations du premier genre, l'autre à ceUes du second. Il n'est donc plus possible ici de généraliser, c'est-à-dire de regarder les deux lignes comme deux branches d'un même lieu, et de leur assigner la même expression numérique. C'est alors que la géométrie se sépare de l'algèbre, la première ne pouvant plus aller en avant de son pas ferme et assuré, la seconde se gardant bien de s'arrêter pour si peu. Il est vrai que celle-ci ne se tire guère d'embarras ; car si, dans sa promptitude à s'affranchir de toute espèce de restriction, elle convient de regarder

comme une égalité numérique quelles que soient les valeurs de a et de 6, dès que ces valeurs sont de signes contraires, elles ne trouve pour x que des symboles dénués de sens, et nécessitant de nouvelles conventions pour s'interpréter géométriquement.

Rien de plus facile cependant que d'éviter ces écueils et d'offrir en même temps à la géométrie de nouveaux moyens de généralisation. Mais, pour y parvenir, il faut assigner aux droites absolues un rôle encore plus élevé que celui de parties positives ou négatives : c'est ce que je vais faire. A peine ai-je besoin d'ajouter que cette manière de procéder sera suffisamment justifiée, si je prouve que sans amener de

complication dans les figures, comme on pourrait le craindre au premier abord, elle conduit à la résolution de deux problèmes jusqu'ici réputés impossibles, savoir : l"" la réalisation de la continuité géométrique entrevue par Monge et Poncelet; 2* Tafi'ranchissement pour l'algèbre des règles conventionnelles et des êtres de raison qu'elles entraînent à leur suite.

La conception fondamentale sur laquelle je m'appuie est celle-ci :

Tout point géométrique, au lieu d'être simple, est double, c'est-à-dire formé de deux points ordinaires que j'appelle ses composantes. Il est dès lors susceptible de présenter deux états distincts, suivant que ses composantes se trouvent superposées ou séparées l'une de l'autre. Dans le premier cas le point géométrique est réel, il est imaginaire dans le second ; et les deux manières d'être bien caractérisées qu'il peut affecter s'appellent modes contraires.

Il est d'ailleurs utile de distinguer dans chaque point une première et une seconde composante : car si cette distinction est de peu d'importance pour les points réels, elle devient indispensable pour les points imaginaires. Deux points de cette dernière espèce sont conjugués lorsque la première composante de l'un est la seconde composante de l'autre et réciproquement.

^'« .h Un point réel, tel qu'on vient de le définir, se re-

Fîff. 2Z présente absolument comme un point ordinaire. Mais pour désigner un point imaginaire, on place une lettre auprès de chacune de ses composantes, et la première lettre indique la première composante. Ainsi (B, B') et (B', B) (fig, 22) sont deux points imaginaires conjugués.

Cionsidérée dans sa manière d'être la plus générale, la droite est double comme le point géométrique : en d'autres termes, elle est formée de deux droites simples appelées composantes. Celles-ci sont toujours d'égale longueur ; mais elles peuvent être de même sens ou de sens contraires ; dans le premier cas, la droite est réetle, elle est imaginaire dans le second.

Ainsi conçue, lu droite est susceptible d'être engendrée par un point dont les composantes décrivent des chemins rectilignes égaux tantôt

dans le même sens, tantôt en sens contraires. Les positions initiale et finale du point générateur s'appellent respectivement l'origine et l'extrémité de la droite. Il est en outre utile d'assigner à la droite une première composante, et c'est naturellement celle qu'engendre la première composante du point. D'ailleurs, pour être réelle ou imaginaire, la droite n'en a pas moins un sens qui est toujours celui de sa première composante.

Ces notions admises, voici les particularités que peut offrir la droite.

^ * i^ 2^ Si le point générateur est réel, tel que

^i^'H 0, et que ses composantes se meuvent

dans le même sens, elles engendrent Tune des droites réelles OA, OB, [fig. 23) dont la première est positive, la seconde négative, et qui ont chacune leurs composantes superposées. Mais si les composantes du point

"^ »5 \ se meuvent en sens contraires, elles

Fig,2Jh donnent naissance à l'une des droites

imaginaires (A, A') et (A', A) (fig, 24) dont la première est positive et la seconde négative.

j; J; J. g A Quand le point générateur est

/y. ^i imaginaire, tel que (0,00 {f^9' 25)

ses composantes peuvent encore se déplacer dans le même sens ou en sens contraires : dans le premier cas, elles engendrent l'une des droites réelles (0, 0') (A, A'i, (0, 0') (B, B*), dont la première est positive et la seconde négative : dans le second cas, elles engendrent l'une des droites

P f 5' 5 S a imaginaires (0, C) (C, (7), (O, ©•)

Fig,Z€ (D, D') [fig. 26) qui sont, la pre-

mière positive et l'autre négative.

En un mot, l'origine d'une droite peut être, ainsi que son extrémité, réelle ou imaginaire, et la droite elle-même est de l'un ou l'autre mode, suivant que ses composantes sont, ou non, d'un même côté par rapport à son origine.

Deux droites sont égales quand on peut les placer l'une sur l'autre, de façon qu'elles aient même origine et même extrémité.

Si Ton porte deux droites Tune à la suite de l'autre, de telle sorte que la seconde ait pour origine l'extrémité de la première, et que par leur

réoBion elles forment une autre droite : celle-ci s'appelle leur somme. D*où il suit que la somme de deux droites a pour origine celle de la première et pour extrémité celle de la seconde.

B^ A' C' î n ^^^^ *sÀn&i que {fig, 27) la somme des ^^'^^ droites réelles positives OA et AB est

OB ; que celle des droites réelles OA et AC, l'une positive, l'autre négative est OC; que celle des droites imaginaires (A, A') et (A, A') (B, B') est (B,B'); que celle des droites imaginaires (A, A') et (A, A') (C,C), Tune positive, Tautre négative est (C, C) ; et qu'enfin celle des droites OA et A (B, C) l'une réelle et l'autre imaginaire est OA -|- A (B, C).

On ^ oit par ce dernier exemple que la somme de deux droites de modes contraires ne peut se réduire à une droite réelle, non plus qu u une droite imaginaire. Je donne à cette somme le nom de droite mixte.

^> 5" \ Les changements de mode d'une

Fig, 28 droite peuvent toujours s'effectuer dans

le même ordre; car il suffit pour cela de changer alternativement le sens de ses composantes, et de prendre chaque fois pour première composante celle qui est demeurée fixe. La continuité géométrique semble exiger qu'on se conforme strictement à cette règle, et c'est ce que je ferai désormais. En procédant de la sorte on voit que la droite réelle positive OA, par exemple {fig, 28), se transforme d'abord en une droite imaginaire positive (A, A'), puis en une droite réelle négative OA', puis en une droite imaginaire négative (A' A), pour revenir finalement à son premier état : et ces mêmes alternatives ont lieu pour toute autre droite.

Afin d'évaluer complètement chaque droite, j'affecte la valeur positive ou négative de sa première composante de la lettre r, par exemple, quand la droite est réelle, et de la lettre i quand elle est imaginaire. Alors la droite dont la première composante a pour valeur ± a, s'exprime par ± ar dans un cas, et par =»= ai dans l'autre. J'obtiens ainsi de nouveaux nombres que j'appelle les uns réeU, les autres imaginaires, en les regardant comme étant de modes contraires entre eux. Pour plus de simplicité on peut même, comme je vais le faire, voir des nombres réels dans les nombres positifs et négatifs, et se contenter de la lettre t pour caractériser les nombres imaginaires. Rien n'empêche d'ailleurs d'affecter ce

dernier signe à Texpression des droites imaginaires, et de représenter, par exemple, la droite (A, A') par OAt, la droite (A', A) par OAV.

L'addition des nombres de modes quelconque n*exige pas de définition nouvelle : il en est de même de leur soustraction et de la multiplication d'une droite ou d'un nombre quelconque par un nombre réel.

Comme il revient au même de multiplier une droite par le nombre réel m, et de changer le mode du produit, ou de changer d'abord le mode de la droite et de la multiplier ensuite par m, on est conduit à voir dans ces opérations successives un cas particulier de la multiplication algébrique ; mais pour avoir le droit de dire qu'on multiplie alors la droite par mi il faut adopter cette définition générale :

La multiplication algébrique a pour but de faire sur une grandeur quelconque appelée multiplicande ce qu'on a fait sur l'unité réelle et positive pour obtenir la grandeur exprimée par un nombre appelé multiplicateur.

Multiplier un nombre de mode quelconque par un autre, c'est trouver la valeur du produit obtenu en multipliant par cet autre la droite que représente le premier.

a et b étant des nombres positifs ou négatifs on a de cette façon :

a X 6 = ab aixb =■ abi a y<:^bi= abi aixbi = -' ab

D'où l'on conclut que le produit de deux nombres quelconques est réel ou imaginaire, selon que ces nombres sont ou non de même mode.

Enfin, rien n'empêche d'exprimer un nombre réel ou imaginaire par une lettre ; et comme il est facile d'étendre soit aux droites soit aux nombres de mode quelconque, la division, les proportions géométriques, etc., je n'ai plus qu'à montrer la possibilité de grouper dans

une même formule les relations fournies par deux moyens égaux ou symétriques entre deux droites de sens quelconque.

En se reportant à la fig. 21 on voit d'abord qu'eptre les droites réelles

et de même sens OÂ, OB, il existe deux couples de moyens égaux formés des droites réelles OC ou OC, ce qui mène soit aux proportions.