OC "OB' OC ""OB
ou les relations numériques
Mais, entre les droites de même sens OA, OB, l'une et l'autre réelles, on a aussi les deux moyens symétriques imagiuaires (C, C) = OCt et (C, C) = OCi ce qui donne
OA OC» OA OCi
OC» "" OB OCi ~ OB
ou
a — Cl a et
ci b — ci b
Or, ces dernières relations peuvent évidemment se grouper avec les premières dans la formule unique
où les lettres a et 6 désignent des nombres réels de signes quelconques et X la valeur commune de leurs moyens symétriques.
Malgré sa simplicité, le double problème que je viens de résoudre a longtemps arrêté les efforts des géomètres. On verra plus loin combien il est fécond en conséquences.
âLé?ATION AtJX PnSfiANGBS.
On appelle puissance entière d'un nombre absolu, ce nombre luhn^me et tout produit de facteurs égaux à ce nombre. Le degré de la puissance est le nombre des facteurs.
La m* puissance d*un nombre a est le produit de m facteurs égaux à a et se désigne par a"" « .
fiXTRACnON Xm lUOlNES.
On appelle raeine d'un nombre absolu, un autre nombre qui, élevé à «ne certaine puissance, reproduit le premier. Le degré de la puissance est aussi le degré de la racine.
Pour indiquer l'extraction de la racine «« du nombre a on recourre ce nombre du signe appelé radical (déformation de la lettre r), et le degré n s'écrit en indice, c'est-à-dire entre les branches du radical. £x. yj a. Les racines oarrées n'Mit pas d'indice.
PmSSANCBS ET RACDIBS BUCGBSSIYai,
On peut avoir à effectuer une auite d'élévations aux Puissances ou d'extraotionside racines sur un nombre absolu. Il est d*abord fadle de s'assurer que a étant w nombre de cette espèce» m et n deux nombres «ntîers, il revient au même ;
1* D'élever «i à la puissance m« et le récnaltat à la puissance n« ou d'intervertir Tordre de ces opérations ;
2* D'élever a à la m^ puissance, puis d'extraire la racine n« du résultat, '0U de procéda dans l'ordre invwse;
2^ D'extraire la racine mfi de a puis la racine fi^ du résultat, ou inversement.
On va de plus reconnaître que ces diverses maniâres d'opérer se résument aisément dans une même règle pour conduire ensuite à une fonnnte unique.
PUISSANCES ALCHSBRIQDSS.
Puisque la m« puissance d'un nombre absolu a est le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre qu'il y a d'unités dans m, on peut dire, avec Gauchy, que a*» procède de a par multiplication comme m de 1 par addition.
Mais la racine n« du nombre absolu a est un des n facteurs égaux de ce nombre, de même que — est une des n parties égales de l'unité. En se laissant guider par Tanalogie, on dira donc que cette racine procède de a par multiplication comme — de l'unité par addition.
De là, par conséquent la possibilité de regarder l'éléyation aux puissances et l'extraction des racines comme deux cas particuliers d'une opération plus générale ayant pour but de faire par multiplication sur un nombre donné ce qu'on a fait sur Tunité par addition pour obtenir un autre nombre appelé degi*é. Cette opération nouvelle s'appelle naturellement l'élévation aux puissances algébriques.
C'est ainsi que la racine n« de a devient la puissance de a de degré
-^ et s'écrit a^ . Dés lors il est facile de ne voir qu'une élévation aux puissances algébriques dans les opérations successives mentionnées plus haut.
En eSet, élever a à la puissance m, puis à la puissance n ou inversement, c'est opérer sur a par multiplication comme sur l'unité par addition pour former mn: c'est élever a à la puissance nrn.
De même élever a à la puissance m, puis extraire la racine n* éa résultat ou procéder dans Tordre inrerse, c'est opérer sur a par mldtiplication comme sur Tunité par addition pour former —^ c'ei^ élewrîa à la puissance — .
Enfin, extraire la racine m« de a, puis la racine n* du résultat ou inversement, c'est opérer sur a par multiplication comme sur l'unité par addition pour former— : c'est élever a à la puissance — .
Ainsi le degré d'une puissance peut être eatier oa fraotionnaire; rien ne s'oppose de plus, à ce qu'il devienne înoommeasurable. Sn effet, si l'on se donne le nombre incommensurable défini par. les
et ^!^ injBniment voisines l'une de l'antre, puis, qu'on se propose de
m m-fl
trouver nn nombre absolu compris entre o '»" et a », on constate facilement pour cet antre nombre l'existence d'une limite parfaitement déterminée. Mais cette limite procède de a par multiplication comme le nombre incommensurable de l'imité par addition ; elle peut donc s'appeler nne puissance algébrique de a d'un degré marqué par le nombre incommensurable lui-même et par suite relever de la définition donnée {dus hant.
Cette même définition s'étend également, sans modification aucune, aux cas où le nombre a cessé d'être absolu pour devenir réel ou imaginaire. D*où il suit en particulier que les puissances entières des nom* bres positifs sont toutes positives, que celles des nombres négatifs sont positives ou négatives selon qu'elles sont de degré pair ou impair, et qu'enfin celles des nombres imaginaires sont aussi d'après leur degré tantôt d'un mode tantôt de l'autre.
Ainsi:
(+«)*==+ a, (+fl)> = + aS (+a)* = +a», (+a)* = + a^.. (o)i=a, (-a)^ = + aS (- a)» = - «3, (-a)^ = + a^.. (-f«i)<= + at, (+at)ï = — 0», (+at)» = — a»i, (+at)* = + a^...
cette dernière propriété s'exprime souvent en disant que
Nous n'avons encore admis que des puissances algébriques de degré positif; mais si l'on observe d'une part que
1 1 1 ax- X- =-
d'antre paft que
Tanalogie conduit encore à dire que -^ procède de a par tnultiplication comme — 1 de -f~ 1 par addition , et de là à regarder -^ comme une puissance de a de degré ~ 1 , ou plus généralement ^ comme une puissance de a de degré — m, la transition est facile : car pour étendre au cas actuel la définition qui nous occupe, il suffit de prendre pour point de départ, dans la formation du degré, l*unité positive au lieu de Tunité absolue.
Enfin, en prenant pour ce même point de départ Tunité réelle et posir tire, on peut aussi conoevoir des puissances de degré imaginaire. Mais comme il serait difficile de donner de ces sortes de puissances une idée bien nette sans recourir à des conûdérationâ géométriques qui trouveront mieux leur place ailleurs, je me borne à signaler ici la possibilité du fait.
En résumé , Véiévatian aux puis$ances algébriques a pour but de faire par multiplication sur un nombre quelconque, ce qu'on a fait par addition sur Tunité réelle et positive pour obtenir un autre nombre quelconque appelé degré; et cette opération générale ainsi définie comprend dans son domaine non-seulement Télévation aux puissances en* tiéres et Textraction des racines des nombres absolus, mais encore une ^ foule d'opérations analogues. Quand aux divers résultats qu'elle fournit il est clair qu'on peut les grouper tous dans la formule
a et M étant des nombres entiers fractionnaires ou incommensurables de modes quelconques.
RA.<:!INBS ALGBBRIQUBS.
On appelle Racine algébrique d'un nombre réel ou imaginaire, tout autre nombre qui, élevé à une certaine puissance reproduit le premiei': le degré de la puissance est aussi le degré de la racine.
On démontre en algèbre que toute racine nfi Siti valeurs distinctes, et
que les rmuen imaginaires de degré queloonqae scmt de même nature que celles du second degré.
En particulier, on a
/â^= =t a vTo* = ± ai
Si Ton obserre que
on en conclut que i et ^ — l peuvent se remplacer mutuellement.
FOBICULSS aâNBBJOES.
Les diverses égalités numériques fournies par des questions analogues peuvent souvent, comme on l'a vu par quelques exemples, être préparées de manière à ne plus différer les unes des autres que par des nombres de signes ou de modes quelconques. Il suffit alors de remplacer, dans l'une de ces égalités numériques, les nombres par des lettres pour obtenir une formule propre à les représenter toutes, et qui prend pour cette raison le nom de formule générale.
Parmi les formulés générales, les plus simples sont celles qui résultent de la considération soit d'une somme algébrique de droites, soit d'une proportion géométrique entre de pareilles grandeurs. Elles peuvent d'ailleurs se combiner de manière à donner une relation de la forme
c -\- d~ flr-fA
et cette relation conserve une signification géométrique précise quelles que soient les valeurs des lettres a, b, c,.,. mais il n'est pas nécessaire de
-to-
hri laisser toute sa généraKté lorsqu'on veut rester dans les limites ordinaires de Talgèbre: car il suffit alors de considérer une proportion telle que
dont les moyens égaux ou inégaux peuvent seuls 4^vei^îr iiaaginaiPes. En multipliant membre à membre des relations de cette dernière forme, après 7 avoir fait passer au besoin tous les termes d*un membre dans Tautre, on s'élève ensuite à des formules générales de pins en plus compliquées.
