ÉQUATIONS

Mettre en nombres une formule générale, c*est la remplacer par Tune quelconque des égalités numériques qu'elle représente. Il peut se faire toutefois que cette mise en nombres ne soit que partielle, et qu'après avoir assigné des valeurs arbitraires à plusieurs des lettres qui entrent dans la formule, on se propose de déterminer les valeurs correspondantes des autres lettres. La formule générale prend alors le nom i^Éqtuition: les lettres dont la valeur est à calculer en sont les inconnues. Résoudre une équation, c'est déterminer les valeurs des inconnues qui la vérifient, c'est-à-dire qui la transforment en une égalité numérique.

Parmi les équations à une inconnue x, il en est un grand nombre qui se ramènent à la forme

aa;»» + bai^'^ + -^ex-^ f=o

l'exposant m étant un nombite entier et positif, et les coefficients ir, 6,... e, fy des nombres réels. Une relation de ce genre se nomme équation algébrique de degré m en raison de la plus haute puissance de x qu'elle renfwn^e,

On a ¥tt que la eonaidef âtioa de quatre droites pro|K)rtioxmeilles cqh*duit à une relation numérique de la forme

dont les extrêmes, supposés réels, sont de signes quelconques, et dont les moyens égaux ou inégaux sont tantôt réels, tantôt imaginaires. Or, il est évidemment possible de regarder au besoin ces droites comme des sommes algébriques, ayant toutes leurs parties réelles, à Texception d'une seule qui, ne Tétant pas nécessairement, reste indéterminée et se désigne par x. La relation précédente devient alors une égalité de rapports entre des fonctions linéaires de x, et il suffit de la débarrasser de ses dénominateurs pour qu^elle prenne la forme d'une équation algébrique du premier ou du second degré par rapport à cette inconnue. Ces sortes d'équations multipliées membre à membre mènent ensuite à d'autres d'un degré plus élevé, mais qui ne cessent pas d'être vérifiées par des nombres de modes quelconques.

Réciproquement, toute équation algébrique f (x) = o n'admet pas d'autres solutions que les nombres réels, imaginaires ou mixtes, tels qu'on les a précédemment définis.

En effet:

1* L'équation générale du premier degré à une inconnue étant de la forme

on voit que x représente une quatrième proportionnelle à trois droites réelles et qu'elle ne peut reœvoir par suite que des valeurs positives ou négatives ; 2» L'équation générale du second degré à une inconnue est

x^ — 2ax = ± b^

Or» raddition de ^ aux detix meubres de cette éqoatioiL la tranrforme en

{x — ay = a^ i ft«

et comme a^ it b^ peut se remplacer par un produit de deux facteurs ^ réels, on en conclut que x — a est l'expression commune de deux moyens égaux entre deux droites réelles de même sens ou de sens contraires: en sorte que x ne peut recevoir que des valeurs réelles ou mixtes, celles-ci devenant purement imaginaires quand a est nul ; d!^ Enfin on démontre en algèbre que Téquation

ax^ -f- bxP^ - * + -}- «r + /" 3=

n'est satisfaite que par les solutions des équations du premier et du second degré.

Ainsi, l'algèbre ne comporte pas d'autres nombres que ceux qu'on a précédemment définis.

L'importance de cette réciproque ne saurait échapper à personne. Il faut en conclure, en efiet, qu'on arrive au même but, soit qu'on se borne, comme on le fait habituellement, à créer de purs symboles en vue de généraliser les formules algébriques, soit qu'on s'appuie comme plus haut sur des considérations géométriques fort simples pour définir les nombres de signes ou de modes quelconques. Or, la seconde manière de procéder n'a-t-elle pas sur l'autre l'avantage de rendre l'algèbre plus claire, en la présentant sous son véritable jour, c'est-à-dire comme l'écriture des propriétés de la grandeur ? Je dois ajouter que la géométrie gagne beaucoup elle-même à l'introduction des droites de modes contraires, et que tel est probablement le seul moyen d'assurer à cette sdence un degré de généralité comparable à celai de l'algèbi^e.

PROBLJBMBS d^iOUir&IQUBS RÉSOLUfi PAB L'AIiOèBRB.

Lorsqu'on veut soumettre au calcul un problème de géométrie, on en représente respectivement les données et les inconnues par les pre-

mières et les dernières lettres de Talphabet, puis on écrit algébriquement l'énoncé du problème, et de là résultent des équations en nombre suffisant pour permettre de le résoudre, si toutefois il est déterminé.

Mais cette traduction du problème en langage algébrique n*est pas toujours d'une fidélité parfaite : car il arrive souvent que deux questions dont Tune est plus générale que l'autre s'expriment par la même équation.

En effet, dès qu'il s'agit de mettre en équation le problème, on n'examine pas s'il offre ou non plusieurs cas distincts. L'habitude est de ne l'envisager que sous un seul aspect, celui qui, d'après l'énoncé de la question, se présente immédiatement à l'esprit. Bref, au lieu d'embrasser le problème daixs son ensemble, on en considère un cas particulier ; ce qui dispense de tenir compte des sens ou des modes opposés que peut affecter la grandeur continue. Il en résulte que les inconnues aussi bien que les données s'expriment par des nombres absolus, et que les équations auxquelles on arrive ne sont que des égalités établies entre de pareils nombres. Cependant rien ne distingue ces équations des relations générales de même forme; et, comme pour résoudre les unes et les autres, on se sert des mêmes procédés, la confusion est ici tellement naturelle quon ne songe pas à l'éviter. De là le désaccord apparent de la géométrie et de l'algèbre quand il s'agit d'interpréter les solutions fournies par cette dernière. Au reste, bien qu'on ne l'aborde en quelque sorte que d'un seul côté, le problème mis en équation peut offrir assez de cas pour que toutes les solutions algébriques soient admissibles. Mais le plus souvent ce problème est soumis à certaines restrictions qu'on néglige d'^ii^, et qui prescrivent d'avance certaines valeurs des inconnues; tout se réduit donc à faire alors un bon choix parmi les solutions trouvées.

Il est clair, par exemple, que s'il est impossible de voir dans les inconnues du problème autre chose que des grandeurs absolues, on ne doit en chercher les valeurs que parmi les solutions positives: encore celles-ci peuvent-eUes ne pas convenir toutes, par suite des restrictions auxquelles le problème est implicitement assujetti, mais si rien n'empêche de regarder les inconnues comme des accroissements positifs ou

négatifs d'autres grandeurs, toutes les solutions réelles sont admissibles, pourvu qu*on laisse à la question la généralité qu'elle comporte. Enfla, lorsque ces mêmes inconnues sQnt assimilables aux accroissements de droites réelles ou imaginaires, il peut se faire qu'on n'ait à rejeter aucune solution, quel qu'en soit le mode.

Comme il n'est pas inutile d'éclaicir au moins par un exemple les considérations qui précèdent, j'emprunte à la Géométrie de Position (^) le problème si connu dont une des solutions embarrassait d'Âlembert et qui, selon Camot, fournit un argument sans réplique contre la doctrine des grandeurs positives et négatives.

« Voici, dit ce dernier géomètre, un exemple aussi simple que frappant, qui seul suffit pour renverser toute cette doctrine :

c D'un point E [fig. 29), pris hors d'un cercle donné , soit proposé de mener une droite Kmm\ telle que la portion mni, interceptée dans le cercle soit égale à une droite donnée.

-%-^^ c Du point K, et par le centre du cercle

menons une droite KAB qui rencontre la circonférence en A et B. Supposons KA = a. KB = 6, mm' = c, Km = x. On aura donc par les propriétés du cercle

aé = a? (c + a?) = ca? + ^* donc

«• + cop — aé = a

ou

«--| ±|/T7Im6

(1) Introduction.

X a deux valeurs : la première, qui est positm, satisfait ;8aw difficulté à la question ; mais que signifie la seconde, qui est négative? Il parait qu'elle ne peut répondre qu*au point mf, qui est le second de ceux où Km coupe la circonférence ; et, en effet, si Ton cherche directement Em\ en prenant cette droite pour l'inconnue x, on aura

a; (x — c) = oft

ou

ab

dont la valeur positive est précisément la même que celle qui s'était présentée dans le premier cas avec le signe négatif. Donc, quoique les deux racines de l'équation

a: = -.l±|/ic«+«*

soient l'une positive et l'autre négative, elles doivent être prises toutes les deux dans le même sens par rapport au point fixe K. Ainsi, la règle qui veut que ces racines soient prises en sens opposés porte à faux. Si au contraire le point fixe E était pris sur le diamètre même AB et non sur le prolongement, on trouverait pour x deux valeurs positives et cependant elles devraient être prises en senaoontffaireal'uaede l'autro. La règle est donc encore fausse pour ce cas.

« Si l'on dit que ce n'est paa ainsi qu'il faut entendre ce principe, que les racines positives et négatives dqiTteAt être prises en sens opposés, je demanderai comment il faut l'entendre? et j'en conclurai par là même qu'il faut une explication pour empêcher qu'il ne soit pris dans l'acception la plus naturelle. Il suit que ce principe est obscur et vague. »

A ces arguments de d'Âlembert, Garnot en ajoute d'autres, qui sont loin d'avoir la même force: aussi, me bomerai-je à répondre aux premiers,

D'après la mise en équation du problème, récriture

ou

exprime que le produit des droites absolues xetc-^xest égal à celui des droites absolues a et b. Mais, si, pour trouver la valeur de x, on ajoute aux deux membres de l'équation précédente le terme positif ^, on obtient l'équation

ab

qui, tout en paraissant n'être qu'une . transformation de la proposée, est plus générale que celle-ci: car elle peut représenter à la fois les deux types d'égalités numériques

ce {C'\- a) = oô

— a (c — «).= ab et donne en conséquence pour x les valeurs

dont l'une est positive et lautre négative. Or, puisque par hypothèse x ne désigne qu'une droite absolue, la so-

lution positive af; est éYidemment eelie qii*en doit adopter tout d'abord : d'où Fou conclut

Km' = . + a/ = |+|/^ +

ab

Quant à la solution négative af' qui survient incidemment dans le calcul, il est permis de l'interpréter si le problème offre un second cas où Tinconnue puisse être considérée comme Taccroissement négatif d'une autre droite. Mais, d*après l'énoncé de la question, ce second cas ne saurait exister. Donc, il faut ici rejeter purement et simplement la solution négative et reconnaître que le rapprochement fait par d'Alembert, entre la valeur absolue de cette racine et celle de Km', ne prouve absolument rien.

n est presque surperflu d'ajouter que si l'on désigne par x la droite absolue Km', on ne doit assigner à x d'autre valeur que la racine positive de l'équation x (x — c)=:ab qui répond à cette hypothèse.

Admettons maintenant que la droite indéfinie Kmm' étant fixe, on veuille faire passer par les points également fixes A et B une circonférence interceptant sur cette droite une cerde de longueur donnée mm\

\ Bien que ce nouveau problème diffère assez notablement de l'autre, il s'exprime par la même équation.

En effet , si Ton désigne encore par x la droite absolue Km', en conservant les notations adoptées plus haut, on a toujours par les propriétés de la circonférence

^if.âo

X [x-^-c) ^= ab

on

ai^^CX:si<tb

et cette équation ayant denx racines de signes contraires» il suffit de prendre Km égale à la racine positive pour obtenir la circonférence o qui répond à la question.

Mais le problème actuel présente un second cas» puisqu'il est évidemment possible de construire une autre circonférence 0' interceptant sur le prolongement de Km une longueur m^wT égale à c. Or, Km" et Km*^ sont des droites négatives par rapport à Km ; et, comme en tenant compte de leur sens, on a

Km*" = Km" + ni'm^

on en conclut

Km" (Km" + m^nT) = KA X KB

En d'autres termes, Km" a pour valeur la racine négative de Téquation proposée. Ainsi le second problème est aussi général que l'équation qui sert à le résoudre. On peut observer de plus que la longueur de Km" est la même que celle de Km'; mais ce n'est là qu'une coïncidence fortuite qui ne saurait autoriser à prendre une des deux droites pour l'autre. Remarquons aussi que le second problème est toujours possible, quelle que soit la valeur de la droite absolue mm\ tandis qu'il n'en est pas de même du premier, ou l'on suppose expressément cette droite moindre que le diamètre de la circonférence.

En résumé, pour mettre en équation les deux problèmes qui précèdent> on ne s'est préoccupé que d'une propriété qui leur est commune et Ton a simplement écrit dans les deux cas que les droites KA, KB, Km et Km' sont réciproques. L'algèbre n'a donc pas traduit aussi fidèlement un des énoncés que l'autre, et telle est la véritable cause de l'ambiguïté des solutions du premier problème. Au reste, il suffit, comme on vient de le voir, d'un peu d'attention pour faire disparaître cette ambiguïté. Les objections de d'Alembert étaient donc mal fondées dans cette droonstance; et l'on verrait facilement qu'elles le sont encore moins quand on suppose le point K pris à l'intérieur du cercle.

-'tQ-

QUANTITES OOMPLEXBfi.

La conception des droites de modes contraires n*est pas la seule qu'on ait proposée pour légitimer ou éclaircir les règles du calcul algébrique}; il en est une autre, qui peut rendre d'utiles services ; c'est celle des quantités complexes. Bien que ces sortes de grandeurs n'aient pas justifié toutes les espérances qu'elles faisaient d'abord concevoir, elles n'en sont pas moins devenues, entre les mains d'habiles géomètres, un précieux moyen d'investigation. Il est donc utile de montrer que, nonseulement elles ne sont pas incompatibles avec les droites de modes contraires, mais qu'elles s'en déduisent aisément.

Soient OA + ABt et OA + AB'« deux droites mixtes conjuguées ayant pour valeurs respectives « 4- |3f et « — pi : le produit de ces valeurs étant «» + |3*, si l'on mène par le point A une perpendiculaire à fy\3/ ^ OA, et qu'on rabatte sur cette perpendicu-

laire AB ou AB' suivant Aô ou Aô' ou a 06 = 0^ = ^«^ + jS^. Cela posé, toute droite Oft ou Ob' peut se définir: 1" par son module v^a^ + jS^ ; 2» par son argument, c'est-à-dire par l'angle qu'elle fait avec la direction fixe OA, tracée dans son plan et partant de son origine 0. Ainsi définie la droite Ob ou 01/ se nomme Quantité Géométrique. On admet de plus qu'elle est réelle quand son argument est zéro ou ?c, et imaginaire quand cet argument est « ou -^ . Dans tout autre cas la quantité géométrique est mixte; parce qu'étant susceptible de se décomposer en deux autres quantités l'une réelle, l'autre imaginaire, elle est considérée comme la somme de ses composantes. On l'iippelle plus spécialement alors une Quantité Complexe.

Mais, puisqu'on a par hypothèse OA = « et Aft = AB' = |3, il est clair que les quantités complexes 06 et 06^ ont respectivement pomr valeur a-[- f^ieta— pi elles se déduisent donc par une construction simple des droites mixtes OA + AB» et OA -j- AB'«.

Ainsi, les quantités complexes se rattachent facilement aux droites de modes contraires, malheureusement elles sont loin d'en avoir toute

la généralité et ne peuvent jouer en géométrie supérieure comme en géométrie analytique qu'un rdle secondaire. Mais comme elles ont fourni des démonstrations algébriques d'une extrême élégance, rien ne prouve qu'on ne doive pas continuer de s*en servir. L'essentiel est que ces deux moyens d'investigation puissent se concilier au besoin.

J'ai suffisamment indiqué, je pense, le rôle important que les droites de modes contraires peuvent jouer en algèbre. Il me reste à parler de leur plus beau privilège, peut-être, c'est-à-dire des moyens de généralisation qu'elles procurent à la science de l'étendue concuremment avec les autres parties réelles ou imaginaires des figures.