CORRÉLATION DES FIGURES

SOlflf AIRE : Définition nouvelle de la Corrélation des figures. — Essais antérieurs. — Influence de la Géométrie cartésienne. — Vues de Leibnitz. Œuvres de Monge. — Principe des Relations contingentes. — Géométrie de Position, de Camot. — Théorie des quantités directes et inverses. — Travaux de Poncelet. — Principe de continuité. — Doctrine des cordes idéales. — Travaux de M. Ghasles. •— Caractères de ses démonstrations. — Introduction du principe des signes en géométrie. — Travaux de M. Marie. — Sa théorie des variables imaginaires ne s'appuie, comme celle des cordes idéales, que sur des rapprochements entre courbes réelles. — I-a doctrine des quantités complexes ne peut servir à compléter ni la géométrie supérieure, ni le système de coordonnées de Descartes. — Les nouvelles manières d'être que j'assigne aux droites satisfont à toutes ces exigences, sans amener de comphcation dans les figures et se prêtent aux mêmes applications que les quantités complexes.

Tonte figure géométrique peut, à l'aide de transformations insensibles, se convertir en d'autres qui en diffèrent soit par la valeur absolue ou la situation respective de leurs parties, soit par des caractères d'un ordre plus élevé. De là, la possibilité d'établir en géométrie des groupes où les figures dérivent naturellement les unes des autres, et d'exprimer ensuite, par les mêmes formules, les propriétés générales de ces figures. Mais pour atteindre ce double but il ne sufiit pas de s'en tenir à la conception des grandeurs absolues, telles que les droites, les angles, etc., ni même de reconnaître à ces grandeurs deux sens opposés : il faut encore leur assigner, comme aux points eux-mêmes, deux modes contraires, c'est-à-dire deux manières d'être, qui tout en continuant de s'appeler, d'après l'habitude reçue, l'une réelle l'autre imaginaire, n'en

constituent pas moins pour chaque espèce de conceptions géométriques deux états bien définis et coexistants mais parfaitement distincts Tun de Fautre.

Grouper ensemble les figures qui ne diffèrent que par la valeur absolue, le sens ou le mode de leurs parties, les rapporter toutes à Tune d'elles prise pour terme de comparaison et comprendre dans les mêmes formules les propriétés qui leur sont communes, c'est ce que j'appelle Établir la Corrélation des figures.

Afin de mieux indiquer en quoi cette définition diffère de celles qui l'ont précédée, j'exposerai d'abord aussi brièvement que possible l'état présent de la question.

Descartes, on le sait, réussit le premier à représenter, par une même équation, non-seulement les diverses parties d'une courbe^ mais toute une famille de courbes en apparence fort étrangères les unes aux autres, telles que la circonférence, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole. Il y parvint, comme je l'ai déjà fait voir, en interprétant constamment par des droites les valeurs absolues ou même positives et négatives des fonctions algébriques. Mais il ne put assigner aucune signification concrète aux racines imaginaires des équations. Toutefois, l'alliance qu'il établit de là sorte entre l'algèbre et la géométrie ne tarda pas à porter de nouveaux fruits et concourut puissamment aux progrès des deux sciences.

Selon d'AlembertfLeibnitz entrevoyait déjà la nécessité d'exprimer en langage algébrique la situation aussi bien que la valeur absolue des diverses parties d'une figure. Il est vrai que Poinsot, dans son étude sur les polygones étoiles, déclare n'avoir rien trouvé dans les œuvres du géomètre allemand qui justifie cette assertion. Quoi qu'il en soit, si la question fut aussi nettement posée par Leibnitz, il est incontestable qu'elle n'a pas encore reçu de réponse satisfaisante puisque, jusqu'à présent, on n'a su ni voir dans les symboles algébriques l'expression générale des propriétés de l'étendue, ni donner à la géométrie supérieure une base plus solide que le principe des Relations contingentes ou celui de continuité. Cependant, si les grands géomètres qui se sont occupés de ce double problème n'ont pas eu le bonheur de le résoudre, ils en ont> sans contredit, préparé la solution.

La prédilection dont le système de coordonnées rectilignes fut longtemps Tobjet, pouvait nuire aux progrès de Tanalyse ancienne. Il n*en fut rien cependant, tant il est vrai qu^une branche des mathématiques ne saurait se développer sans concourir à l'accroissement de toutes les autres. Déjà même, du temps de Descartes, Desargues et Pascal avaient agrandi le champ des spéculations géométriques ; mais ce fut surtout par son commerce intime avec Talgèbre que la géométrie pure apprit à briser les obstacles qui s'opposaient à son essor. Les écrits où se manifeste pour la première fois cette heureuse tendance sont assurément ceux de Monge. On sait, en effet, que ce grand mathématicien après avoir pris pour base d'une démonstration, certaines parties accessoires d'une figure, considérée dans son état le plus général, ne fait pas difficulté d'étendre, s'il y a lieu, le théorème au cas où ces parties deviennent imaginaires, c'est-à-dire, en prenant le mot dans son ancienne acception, cessent d'exister. Or, il ne puise évidemment une pareille confiance que dans l'examen des équations relatives à cette figure : ce n'est donc plus là dans toute sa pureté l'analyse si réservée des Anciens; c'est une méthode moins rigoureuse peut-être, mais plus féconde à laquelle M. Chasles propose de donner le nom de méthode des Relations contingentes.

Bientôt après, Carnot, visant plus haut encore, semble demander à la géométrie le secret de certaines transformations algébriques; à la vérité, sa doctrine des quantités directes et inverses ne parvient pas à supplanter celle des quantités de signes contraires; mais il n'en a pas moins la gloire de jeter les premiers fondements du principe de la Corrélation des figures.

« Leibnitz, dit-il ('), voulait qu'on fit entrer dans l'expression des condi- « tiens d'un problème géométrique la diversité de positions des parties « correspondantes des figures comparées, afin qu'en les séparant par un c caractère bien distinctif on pût les isoler parfaitement dans le calcul, a Or, cette diversité de positions s'exprime souvent par de simples muer tations de signes, et c'est précisément la théorie de ces mutations

(>) Géométrie de PosUion* — Introduction.

t qui fait l'objet essentiel des recherches que j'ai en vue et que je « nomme Géométrie de position. »

Pour atteindre son but, Carnot commence par établir toutes les relations possibles entre les parties d'une figure qu'il prend pour terme de comparaison et qu'il appelle figure primitive; puis il dresse des tableaux analogues pour les figures qui s'en rapprochent le plus. Celles-ci sont en Corrélation directe avec la figure primitive quand elles en difierent seulement par les valeurs absolues de leurs parties ; en Corrélation inverse lorsqu'elles donnent lieu, dans les formules, à quelques mutations de signes ; enfin, en Corrélation imaginaire ou complexe, si, dans ces mêmes formules les valeurs primitives se trouvent multipliées par yn , ou que certaines de leurs fonctions, leurs carrés, par exemple, changent dd signes.

Cela fait, pour se rendre compte des mutations de signes auxquelles donne lieu telle ou telle figure corrélative, Carnot la regarde comme née de la figure primitive en vertu d'une transformation opérée par degrés insensibles, qui ne change rien aux bases générales de la première construction, mais qui modifie seulement les positions respectives, en faisant passer au-dessus ce qui était au-dessous, ou à droite ce qui était à gauche. De ce mouvement graduel il résulte que telle grandeur, qui se trouvait d'abord plus petite que telle autre, devient plus grande, et réciproquement. Or, à en croire Carnot, c'est de là uniquement et non de ce que ces grandeurs seraient opposées l'une à l'autre que naît le principe général de la mutation des signes qui doit avoir lieu dans les formules de la figure primitive pour qu'elles deviennent applicables à la figure transformée ou corrélative. Aussi rejette-t-il jusqu'à la notion des quantités positives et négatives pour lui substituer celle des quantités directes et inverses. Ces dernières sont les différences de deux quantités absolues dont l'une est d'abord plus grande^ puis moindre que l'autre. Comme toute inversion dans l'inégalité de ces quantités entraine une mutation de signes dans le tableau de corrélation, Carnot en conclut que, pour rendre les formules de la figure primitive immédiatement applicables aux figures inversement corrélatives, il suffit de changer le signe des quantités directes qui deviennent inverses : et tel

— SBest le point le plus saillant du principe de la corrélation des figures, puisque l'auteur garde un silence à peu près absolu sur la corrélation imaginaire ou complexe. Mais, ainsi que le fait observer M. Chasles {*) « à vrai dire, ce principe n'est pas démontré ; les développements dans lesquels l'auteur est entré à plusieurs reprises, tant dans la géométrie de position que dans des dissertations spéciales, ne forment que de puissantes inductions qui ne constituent pas une démonstration primordiale, absolue, et, à la rigueur, il faudrait justifier dans chaque question le passage d'une figure à une autre. »

Poncelet, qui sut ouvrir à la géométrie de nouvelles voies, tout en suivant les traces de Monge et de Carnet, persiste à croire avec ce dernier que les signes — 1 et ^'^l , pris isolément, ne sauraient dériver a priori d'aucune considération purement géométrique; mais la manière dont il envisage la corrélation des figures, l'axiome qu'il cherche à établir sous le nom de principe de continuité, la doctrine des cardes idéales sont autant d'aperçus profonds qui, sans apporter la réponse à des problèmes ardus, tendent à circonscrire, à préciser ces problèmes.

« Notre sujet, dit-il (^), ayant quelque analogie avec celui de la Géo- « métrie de position de M. Garnot, nous aurons souvent besoin de com- • parer une même figure avec toutes celles qui peuvent être censées en « résulter par le mouvement progressif et continu des parties qui y « entrent sans violer la liaison et la dépendance primitivement établies « entre elles. Nous appellerons, avec cet illustre géomètre, figure primi- « tive, celle à laquelle on compare toutes les autres qui en dérivent; « celles-ci, à leur tour, seront appelées en général les Corrélatives de la « première: cette correspondance particulière entre deux systèmes « sera désignée en outre par le mot de Corrélation,

(( Nous distinguerons trois degrés de corrélation, suivant la plus ou <( moins grande analogie que peuvent conserver entre eux le système « primitif, et le système dérivé. Pour tous, nous admettrons que le

(*) Géométrie supérieurey Préface.

(*) Propriétés projectives des figures.

c mouvement par lequel on suppose que la figure primitive ait pu se i< changer en sa dérivée, soit réel et géométriquement possible.

« Cela posé, nous dirons que la corrélation est directe, toutes les fois « que les figures corrélatives sont composées d'un même nombre de « parties semblables, quant à leur nature, se correspondant chacune à « chacune, et disposées dans le même ordre à Tégard les unes des autres : « dans cette situation elles ne différeraient évidemment que par la granc deur absolue de ces parties et nullement par leur nature et leur posi- « tion relative.

« Nous dirons que la corrélation est au contraire indirecte ou inverse, « toutes les fois que le déplacement nécessaire à opérer dans une de ces « figures, pour la rendre identique avec sa corrélative, changerait Tordre, c la disposition de quelques-unes des parties dont elle se compose, sans « toutefois en changer la nature.

« Enfin, la corrélation pourrait être telle que, en vertu du déplacec ment toujours réel de certaines parties de la figure primitive, une ou c plusieurs autres parties de cette figure devinssent, dans la corrélative, « imaginaires^ de réelles qu'elles étaient, ou réciproquement ; c'est-à-dire « telles que certaines distances, certains points cessassent d'exister « d'une manière géométrique. Nous nommerons cet état de deux figures « Corrélation idéale.

« Si la figure primitive renfermait une droite et un cercle, par exem- « pie, et que cette droite rencontrât d'abord la circonférence de ce « cercle en deux points, on pourrait concevoir qu'elle se détachât en- « suite du cercle par un mouvement continu, alors les deux points dont « il s*agit cesseraient d'être réels aussi bien que la direction des rayons a qui leur correspondent; et la nouvelle figure serait, d'après ce qui « précède, en corrélation idéale avec la première.

« Ces définitions ne cadrent que jusqu'à un certain point avec celles « de la Géométrie de position ; elles ne concernent à proprement parler « que la corrélation de situation des figures, tandis que les autres con- « cernent la corrélation des signes qui afiectent les grandeurs qui en- « trent dans les formules appartenant à ces figures. Il ne faut pas con- (( fondre ces deux sortes de corrélation ; pour qu'il fût permis de le

— ffli —

« fair^, il faudrait qa*on eût démontré à l'avance d'une manière absolue tt et rigoureuse, que chaque espèce de corrélation de situation entraine < nécessairement Tespèce correspondante de corrélation de signes, ce « qui n'a pas lieu jusqu'à présent. »

Je ne puis m'empécher d'appeler en passant l'attention sur cette dernière remarque où Poncelet déiSnit avec tant de netteté le grand problème qui nous occupe, bien qu'il ne semble pas entrevoir la possibilité de le résoudre.

En résumé, par figures corrélatives il faut entendre, avant tout, suivant Carnot, celles qui conduisent à des relations numériques analogues, et, suivant Poncelet, celles qui dérivent les unes des autres par de simples transformations géométriques. Cette seconde manière d'envisager la corrélation des figures aurait son importance si Poncelet y consacrait franchement les ressources de la géométrie ordinaire ; mais le parti bien arrêté chez lui de n'employer que des grandeurs absolues Tempêche de suivre cette voie. La comparaison qu'il fait de l'analyse ancienne, ou si l'on veut, de la géométrie d'Euclide avec l'analyse algébrique lui montre que les conceptions de l'une se bornent à l'état partieolier du système que l'on considère, tandis que celles de l'autre s'étendent à tous les états possibles de ce système. D'où il croit pouvoir conclure que la géométrie ordinaire ne possède en elle-même aucun moyen de généraliser et qu'elle doit en emprunter le principe à toute autre doctrine. A quoi donc attribuer, d'après lui, l'extension dont cette science paraît douée dans les écrits modernes ? Uniquement à l'habitude admise depuis Monge d'y appliquer le calcul algébrique, témoin la géométrie de position et même les considérations relatives aux infiniments petits. Mais ce principe d'extension, qui règne en géométrie, ne le retrouve-t-on pas jusqu'en algèbre , où il est également gratuit, puisqu'il revient en définitive à admettre que les opérations élémentaires s'étendent à tous les états, même imaginaires, des lettres que ces opérations concernent. Que conclure de là, relativement à la géométrie pure, sinon qu'il faut revenir à la méthode sévère, mais restreinte des anciens, ou proclamer comme un axiome indiscutable la double permanence des relations algébriques auxquelles donne lieu toute figure

primitive et des propriétés descriptives de cette figure, lorsqu'elle se transforme en systèmes corrélatifs; c'est à ce dernier parti que s'arrête Poncelet. Il appelle, en conséquence, Principe de continuité l'axiome en question et le formule ainsi :

« Si Ton conçoit qu'une figure donnée vienne à changer de situation « par un mouvement progressif et continu des parties dont elle se coma pose, sans cependant violer la liaison et la dépendance primitivement « établies entre elles, les relations ou propriétés métriques qui concerc naient la figure dans la situation première demeurent applicables, dans c leur forme générale à toutes les figures dérivées, sans autre change- « ment que celui des dénominations simples plus et mains qui peuvent « s'intervertir entre elles dans ces relations. Quant aux relations pure- « ment graphiques ou descriptives, qui concernent la figure primitive, « elles demeurent applicables à toutes les figures dérivées sans autre « modification que celles survenues dans la situation respective des « lignes. «

Malgré le rôle important qu'il joue dans le Traité des Propriétés Projectives des figures, le principe de continuité ne sert pas nécessairement de base à toutes les parties de l'ouvrage; c'est ainsi que la doctrine des cordes idéales qui va nous occuper n'en relève aucunement, comme l'a très-bien fait observer Cauchy, dans son rapport sur les travaux de Poncelet.

L'examen des ordonnées imaginaires de la circonférence devait amener la comparaison de cette courbe avec l'hyperbole équilatère. Ce fut ainsi que Vincent Ricatti, puis Lambert, purent joindre la théorie des fonctions hyperboliques à celle des fonctions circulaires et compléter l'une par l'autre. Poncelet semble avoir voulu généraliser leur méthode en l'appliquant à toutes les courbes du second degré.

« Supposons, dit Cauchy dans le rapport mentionné plus haut, que « l'on cherche, par l'analyse, les points d'intersection d'une droite quelce conque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux c points, ou, en d'autres termes, la corde qui les unit; lorsque la droite c ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l'analyse de- « viendra imaginaire et sera de la forme 2C/^; tandis que le point

« milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. Il devient « alors utile de sasbtituer à la corde imaginaire, qui n'existe pas, une « corde fictive 2C, comptée sur la droite proposée, et dont le milieu « coïncide avec le point dont nous venons de parler.

« C'est à cette corde fictive qu'on pourrait appliquer la dénomination « de corde idéale par laquelle M. Poncelet désigne tantôt la droite in- « définie que l'on considère, et tantôt la corde imaginaire interceptée « par la courbe, puisqu'il appelle centre de la corde idéale le point réel c que l'analyse indique comme étant le milieu de la corde imaginaire. « Le sens dans lequel l'auteur emploie le mot idéale se trouverait « ainsi modifié de telle manière que les longueurs idéales resteraient '( des longueurs réelles et constructibles en géométrie. Ainsi, par exem- « pie, dans une hyperbole dont le grand axe rencontre la courbe, la « longueur idéale du diamètre perpendiculaire au grand axe, serait le « petit axe lui-même. Si, en adoptant cette manière de s'exprimer, on « construit, pour une section conique quelconque, toutes les cordes « idéales parallèles à une direction donnée , les extrémités de toutes ces « cordes se trouveront sur une nouvelle section conique, que l'auteur ap- « pelle supplémentaire de la première, relativement à la direction dont « il s'agit.

« Gela posé, il est facile de voir que àeuji sections coniques suppléc mentaires l'une de l'autre, relativement à une direction donnée, sont c nécessairement ou deux paraboles, ou une hyperbole et une ellipse. « Dans le premier cas, les deux paraboles ont le même paramètre, avec « une tangente commune parallèle à la direction donnée et un diamètre (c commun passant par le point de contact. Dans le second cas, les deux « courbes peuvent aisément se déduire l'une de l'autre, d'après la con- « dition à laquelle elles se trouvent assujetties, d'avoir en commun deux « diamètres conjugués, dont l'un est parallèle à la droite donnée, tandis « que l'autre rencontre à la fois les deux courbes qui se touchent ainsi « par ses extrémités. Dans le même cas, toutes les fois que l'ellipse se « réduit à un cercle, l'hyperbole devient équilatère et a pour axe trans- « verse le diamètre du cercle.

'< Dans ce qui précède, nous avons déduit de l'analyse la notion des

« cordes idéales ; mais on peut arriver au même but par des coBsidéra- « tions géométriques.

t Par exemple, lorsqu'une ellipse ou une hyperbole se trouve coupée « en deux points réels par une sécante quelconque, le milieu de la corde « interceptée coïncide avec le point ou la sécante est rencontrée par le a diamètre conjugué à sa direction, et la corde elle-même est équivaut lente au double produit du rapport entre le diamètre parallèle et le « diamètre conjugué, par une moyenne proportionnelle entre les disc tances du point que Ton considère aux extrémités du diamètre con* « jugué. Si Ton détermine, d'après les mêmes conditions, la corde et (( son milieu dans le cas où la sécante devient idéale, on obtiendra ce que « nous avons appelé la corde idéale relative à cette sécante. »

Il faut ajouter que la seconde manière de procéder est celle de Poncelet. Ce profond géomètre ne voit d'ailleurs dans la conception des cordes idéales qu'un moyen d'établir d'utiles rapprochements entre les courbes réelles, c Ces définitions, dit-il, servent à agrandir les idées, et tendent à abréger le discours ; elles ne sont ni indifférentes ni inutiles en elles-mêmes, parce qu'elles permettentd'établir un point de contact entre des figures qui paraissent au premier aspect, n'avoir aucun rapport, et de découvrir sans peine les relations et les propriétés qui leur sont communes. » On le voit donc, la doctrine des cordes idéales ne se rattache aucunement au principe de continuité, bien qu'elle ne trouve son application que dans le cas de la corrélation idéale.

M. Chaslea dont les travaux ont tant contribué de nos jours aux progrès de la géométrie pure se distingue à son tour de ses prédécesseurs par d'heureuses innovations.

Son premier soin est d'introduire en géométrie, d'une manière géfté" raie et systétnatiqt^, le principe des signes, pour marquer la direction des segments ou des angles. « Certes, dit-il (*), à propos de la conception de « Carnot, le principe de corrélation ert un progrès en géométrie; mais « il n'est pas sufSsant, et le défaut de rigueur absolue n'est pas ici le

[*) Géométrie supérieure, Préface.

g fîbàB grave iBoonyénient de cette manière de procéder, il en est d'au- « très qui touchent à l'essence même de la science ; car les propositions « dans lesquelles on na fait pas entrer le principe des signes sont, en « général, incomplètes ; en n*j considérant que les valeurs numériques ft des segments on néglige une partie essentielle des propriétés de la c figure, que ces propositions auraient exprimées au moyen des c signes. » L'éminent géomètre applique donc le principe des signes à toutes les relations qui lui en paraissent susceptibles, même aux égalités à deux termes, et les raisons qu'il donne à Tappui doivent certainement prévaloir sur les objections de Poncelet.

M. Ckasles n'admet pas non plus sans réserve le principe de continuité dans son Traité de géométrie supérieure.

« Sans vouloir, dit-il (^), éleveraucune objection contre c^tte manière de « procéder qui peut, dans certaines questions^ fournir au géomètre des « ressources dont il fait bien de ne point se priver, j'ai cru cepandwt, « et par plusieurs raisons, devoir m'abstenir de l'employer dans Fou- « vrage actuel.

« D'abord, ce principe de continuité n'étant pas démontré a priori, en « l'invoquant comme une sorte d'axiome ou de Postulatum, on s'écarte € de l'exactitude rigoureuse qui constitue le caractère principal et Ton A peut dire la supMorité des sciences mathématiques en général, mais c surtout de la géométrie.

« En outre, ce principe fût-il prouvé en toute rigueur, on n'a point « une démonstration directe qui seule satisfait complètement l'esprit ; M. on laisse, dans chaque question, une lacune et un sujet de recher- « che.

« Mais, il est une autre considération plus puissante qui m'a déterc miné à ne pas profiter, dans ce volume destiné à poser les bases des « méthodes générales, des facilités q^'a^rait pu ofirir souvent le prin- « eipe de continuité. Une étude attentive des difiérents procédés de dé- « monstration qui peuvent s'appliquer à uqb question m'a convaincu

{*) Géométrie supérieure^ Préface.

« qa*à côté d'une démonstration facile, fondée sur quelques propriétés «t accidentelles ou contingentes d'une figure, devaient s'en trouver « toujours d'autres, fondées sur des propriétés absolues et subsistantes, « dans tous les cas que peut présenter la figure, en raison de la diver- « site de position de ses parties, et j'ai éprouvé que la recherche de ces c démonstrations complètement rigoureuses est d'autant plus utile « qu'elle met nécessairement sur la voie des propositions les plus im- « portantes, de celles qui établissent tous les liens qui doivent exister « entre les diflérentes parties d'un même sujet.

« Je me suis donc proposé d'introduire dans cet ouvrage, avec la no- « tion explicite des imaginaires, des démonstrations, aussi rigoureuses c et aussi générales que celles de la géométrie analytique.

(c Ces démonstrations deviennent aussi faciles que les premières, c quand on a préparé la voie par la recherche de propositions d'une c certaine nature: savoir, de propositions reposant sur des propriétés < absolues ou permanentes de la figure que l'on considère, et non simplec ment sur ses propriétés contingentes. Ces propositions se distinguent « par ce caractère spécial, que les objets susceptibles de devenir imagic naires n'y entrent pas sous forme explicite ; mais s'y trouvent repré- « sentes par des éléments réels, de même que les racines d'une équac tion n'entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la géométrie analy^ « tique et y sont représentés collectivement par les coefficients de l'é- « quation.

« Ces propositions, où n'entrent ainsi que des relations qui, en ana- « lyse, s'expriment au moyen des coefficients d'une équation, sont celles « qu'il importe le plus de connaître, comme étant à la fois plus fécondes c et plus propres à donner à la géométrie le degré de généralité qui fait « la puissance de l'algèbre. »

U suffit de lire avec attention ce passage pour se convaincre que la méthode de M. Chasles ne diffère pas autant de celle de Poncelet, qu'on pourrait le croire au premier abord. En efiet, des deux permanences proclamées par le principe de continuité, M. Chasles admet évidemment la première. Car, lorsqu'il détermine, par exemple, deux points imaginaires par la demi-somme , et le produit de leurs distances

à une origine fixe, ou, pour mieux dire, lorsqu'il définit ces points à l'aide d'une équation du second degré, à coefficients réels, il sait fort bien que cette équation ne subsiste alors qu'en vertu d'un principe d'extension purement gratuit; et, comme il le remarque parfaitement lui-même, tt cette manière de considérer les imaginaires est tout à fait conforme à < ce qu'on fait en géométrie analytique. Mais ici les équations sont forc mées avec les données mêmes de la question, ce qui est le plus haut c point de simplicité que l'on puisse considérer. »

Quant à la permanence des propriétés descriptives de toute figure qui se transforme en systèmes corrélatifs, M. Chasles l'admet également; mais il ne fait porter ses démonstrations que sur celles de ces propriétés qui sont absolues : et c'est par là qu'il se distingue essentiellement de Monge et de Poncelet. Cependant, il faut bien le reconnaître, malgré sa rigueur relative, la méthode de M. Chasles ne satisfait pas encore à tous les besoins de la science. D'abord elle ne s'applique qu'aux lieux des équations à coefficients réels. De plus, faute de constridre les éléments imaginaires des figures, elle prive la géométrie supérieure de ce cachet d'évidence qui distingue l'analyse ancienne. U est vrai que pour obvier en partie à ce dernier inconvénient, on peut recourir avec Poncelet à de simples rapprochements entre des courbes réelles ; mais ce n'est là, si j'ose le dire, qu'un aveu d'impuissance plutôt qu'une solution définitive. J'avoue même que les vues analogues développées par M. Chasles dans nne note de VApercu historiquene me semblent guère plus concluentes. Cette note ou réminent géomètre essaie lui aussi d'éclaircir ou même de remplacer la notion des imaginaires par la comparaison de courbes réelles mérite d'être reproduite ici, ne fut-ce que comme un utile complément à la doctrine des cordes idéales.

« La considération des relations et des propriétés contingentée d'une « figure ou système géométrique, dit M. Chasles, est propre à donner « l'explication du mot imaginaire, employé maintenant assez fréquemc ment, et avec avantage, dans les spéculations de la géométrie pure.

c En efi'et, on ne peut regarder l'expression d'imaginaire que comme indiquant seulement un état d'une figure dans lequel certaines parties « qui seraient réelles dans on autre état de la figure, ont cessé

c d'exister. Car on ne pent se faire l'idée d'nn objet imaginaire qu'eli se c représentant en même temps un objet de l'espèce dans un état d'exis- « tence réelle, de sorte que l'idée d'imaginaire serait vide de sens, si « elle n'était toujours accompagnée de l'idée actuelle d'une existence « réelle du même objet auquel on l'applique. Ce sont donc les relations « et propriétés que nous avons appelées contingentes qui donnent la clef « des imaginaires en géométrie.

« Mais on voit par là qu'on pourrait très-facilement éviter, si l'on « voulait, la considération des imaginaires dans le raisonnement ; il « suffirait de supposer, à cdté de la iSgure dont on a à démontrer quelt que propriété une seconde figure de même nature, mais, dans un état « général de construction où les parties contingentes, qui sont imagic naires dans la figure proposée, seraient réelles. C'est là effectivetnent, < ce que l'on fait tacitement, en raisonnant sur les imaginaires comme « sur des objets réels ; de sorte que l'on peut dire que l'emploi du mot « imaginaire est une manière abrégée de s'exprimer, et qui signifie que « les raisonnements que l'on fait s'appliquent à un autre état général « de la figure, dans lequel les parties sur lesquelles on raisonne existe- « raient réellement, au lieu d'y être imaginaires comme dans la figure « proposée. Et comme, d'après le principe des relations contingentes, « ou si l'on veut, d'après le principe de continuité, les Vérités démon-» c trées pour l'un des deux états généraux de la figure s'appliqueùt à c l'autre état, on voit que l'emploi et la considération des imaginaires « se trouvent complètement justifiés.

« Nous devons faire ici une observation importante, la voici : c Ëtant donnée une figure, dans laquelle se trouvent des parties ima- « ginaires, on peut toujours, d'après ce que nous venons de dire, en c concevoir une autre, de construction aussi générale que la première^ c et dans laquelle ces parties qui étaient d'abord imaginaires, sont « réelles ; mais, et c'est en cela que consiste notre observation, il n'est t jamais permis de raisonner, ni d'opérer sur la première figure ellec même, en y regardant comme réelles, certaines parties qui y étaient « imaginaires. Par exemple, si une expression donnée par le calcul, c pour déterminer un point sur une droite, est imaginaire, ce point est

« lui-même imaginaire, et on commettrait une faute très-grave en oons- <c truisant ce point comme si son expression était réelle. Le point ainsi a construit n'appartiendrait point à la figure, ni à la question proposée ; « et tous les résultats déduits de la considération de ce point seraient « empreints d'erreur. »

€< Ce serait une chose intéressante, poursuit M. Chasles, de recher-

« cher les rapports et la corrélation qui peuvent avoir lieu entre les

« propriétés de deux figures, dans Tune desquelles on a construit,

< comme étant supposées réelles, des parties qui dans Tautre sont ima-

« ginaires. Tels sont Thyperbole équilatère et le cercle décrit sur son

c axe principal comme diamètre. Toute corde du cercle, perpendiculaire

« à cet axe, à son carré réel : si son pied sur Taxe est dans l'intérieiir

« du cercle, cette corde a aussi sa longueur réelle; mais si son pied est

« au dehors du cercle, cette longueur est imaginaire, bien que son carré

c soit réel ; si on la construit en la supposant réelle, son extrémité dé-

tt termine un point qui appartiendra à une hyperbole équilatère, et la

« corde en question jouira de propriétés différentes suivant qu'elle sera

« prise dans le cercle, ou dans l'hyperbole. Par exemple, dans le cercle,

« les droites menées de l'extrémité de la corde aux deux extrémités du

« diamètre, font entre elles un angle droit ; et, dans Thyperbole, ces

c deux droites font entre elles un angle de grandeur variable.

« M. Gamot a déjà fait, dans son Traité de la Corrélation des figures de « géométrie, et dans sa Géométrie de Position, des réflexions sur la corré- « lation des figures dont nous parlons, et sur celle des formules algé- « briques qui leur correspondent en analyse, mais l'objet principal des « travaux de cet illustre savant dans cette matière, étant la corrélation « des figures qui ne diffèrent que par de simples changements de signes « des variables elles-mêmes, et non de leurs fonctions, dans les expres- « sions algébriques, la corrélation des figures qui diffèrent comme nous c venons de le dire, en ce que l'on construit dans l'une, comme étant c réelle, une expression imaginaire dans Tautre, cette cotréktioil, dis- « je, est un objet de recherches tout nouveau, et qui nous parait sus« « ceptible de conduire à quelques lois générales de l'étendue, qui pour- « raient accroître la puissance des doctrines géométriques. »

Cette dernière prérision est des plus remarquables. Cependant, pour la voir se réaliser, il faat suivre, non pas la route que vient d'indiquer M. Chasles, mais l'exemple qu'il a donné dans une autre occasion. En effet, l'un des grands services rendus par cet illustre mathématicien à la géométrie pure est d'y avoir introduit le principe des signes, ou, pour mieux dire, la distinction des deux sens que peuvent affecter les droites ou les angles. Or, qu'on tienne également compte des deux modes contraires que ces grandeurs comportent, et les lois générales dont il était question tout à l'heure se révèlent aussitôt. C'est donc faute d'avoir suivi jusqu'au bout Tune de ses plus heureuses inspirations que M. Chasles ne réalise pas le progrès qu'il a pressenti, et n'essaie, comme Poncelet, d'interpréter les expressions imaginaires qu'au moyen de courbes ou de surfaces réelles se succédant suivant les phases de la question que l'on traite.

Les travaux dont il me reste à parler sont ceux de M. Marie. Malgré leur caractère analytique, ces travaux ne constituent qu'une extension de la doctrine des cordes idéales, extension considérable il est vrai par le nombre des sujets qu'elle embrasse, mais qui ne reposant sur aucun principe nouveau ne semble guère appelée à fermer, comme le veut son auteur, le champ des hypothèses en matière d'interprétation des imaginaires.

« Une équation f {Xy y) = o, ne contenant qu'une variable indépen- « dante, dit M. Marie (^}, ne fournit qu'un nombre limité de suites de soc lutions réelles, embrassant des espaces plus ou moins étendus entre « -f~ <x> et — 00 , soit par rapport à x, soit par rapport à y ; mais si, dans € la même équation on remplace x par « + P vPï et y par «' -|- P'v/^ « les quatre variables «, p, a\ p', ne se trouvant liées entre elles que par a deux équations, deux d'entre elles pourront être regardées comme c indépendantes ; l'indétermination sera double.

c De même, dans une équation f {x^ y, z) = o, l'indétermination n'est

(1) Théorie des fonction» de» Xicvriable» imaginaire», Paris, Gauthier- Villa».

« que double, tant qu*on ne considère que les solutions réelles, et de- « vient quadruple lorsqu'il s'agit de solutions imaginaires.

« Il résulte de là que, si à une solution {Xy y) d'une équation /"(x, y) =o, « ou à une solution {x, y, z,) d'une équation f {x, y, z) =: o, on faisait « correspondre un point du plan ou de l'espace, point dont les coordonc nées réelles se formeraient, suivant des lois connues, des parties c réelles et imaginaires de x et de y, ou de Xy de y et de z, et que, d'un c autre côté, on associât les unes aux autres les solutions de l'équation « proposée qui rempliraient une ou deux conditions choisies à l'avance, « on pourrait regarder une équation à deux variables comme représenc tant une courbe réelle, plus une infinité de courbes imaginaires, et une c équation à trois variables comme représentant une surface réelle plus c une infinité d'infinités de surfaces imaginaires. »

En conséquence, M. Marie adopte, à l'égard des équations à deux variables les règles suivantes :

1* La solution

y = «' + p'/3rT d'une équation/" (a:, y) = o représente le point

yi =^ + ^'

2* Les solutions qu'il faut associer pour former un lieu des points qui 7 correspondent sont celles où -| aurait une valeur constante C. Le lieu des points {x^, yj s'appelle Conjuguée du lieu plan correspcndant; G en est la Caractéristique.

Chacune de ces règles a son utilité; la première entraine la permanence des lieux représentés sur un plan par une même équation, quelque transformation de coordonnées qu'on lui fasse subir : la seconde permet, à l'aide d'un changement préalable d'axes, de rendre réelles les abcisses de tous les points d'un des lieux imaginaires considérés, et de comparer

par suite Texpression analytique de leurs ordonnées à celles des ordonnées réelles du même système, la variable indépendante étant cette fois réelle de part et d*autre.

Ces deux règles s*éteudent facilement d'ailleurs aux équations à trois variables, et l'application qu'en fait constamment M. Marie le conduit à des résultats d'une certaine importance soit en analyse, soit en géométrie pure. Mais ce qui nous intéresse particulièrement ici c'est le principe même de sa méthode. Or, ce principe ne diffère pas essentiellement de la doctrine des cordes idéales. Un seul exemple suffira pour le faire voir. Concevons en effet qu'après avoir construit avec Poncelet l'hyperbole supplémentaire d'une ellipse, on rapporte les deux courbes au système de diamètres conjugués qui leur est commun, l'hyperbole a ses abscisses réelles, ses ordonnées imaginaires, mais celles-ci se représentent comme celles-là par des droites réelles. Qu'on vienne maintenant à changer la direction des axes, et soit y = mx, l'équation de l'ancien axe des y, les points de l'hyperbole supplémentaire ne cessent pas d'être réels, non plus que les parallèles aux nouveaux axes issues de ces mêmes points. Mais cette hyperbole n'en représente pas moins le lieu des intersections imaginaires de l'ellipse avec le système de droites parallèles à la direction y =mx : et comme les valeurs correspondantes des variables sont alors de la forme a+Pv' — 1> ^^ ^st conduit par la construction même de Poncelet à interpréter les valeurs de cette forme par les droites de longueur « + 13. Or, c'est là ce que fait déjà M. Marie, lorsqu'il applique sa première règle à la nouvelle équation de l'ellipse. Par sa seconde règle, il n'admet en outre que les points imaginaires du lieu situés sur un système donné de droites parallèles, en sorte que toute conjuguée C a ses cordes parallèles à la direction y = Ca?. On prévoit par suite qu'en prenant C = m, M. Marie trouvera pour conjuguée correspondante l'hyperbole supplémentaire dont il était question tout à l'heure, et c'est effectivement ce qui arrive. De plus un simple retour aux premiers axes le ramène à la construction de Poncelet. Au fond, M. Marie ne procède donc pas autrement que ce dernier. Sa méthode est avant tout algébrique ; celle de Poncelet s'appuie d'avantage sur la géométrie; mais toutes deux se réduisent à déterminer les points de rencontre d'un système de

parallèles avec le lieu que l'on étudie, puis à représenter les solutions imaginaires par des droites réelles. Seulement M. Marie étend ce mode d'interprétation aux solutions mixtes elles-mêmes; et c'est ce qui lui permet d'appliquer la notion des cordes idéales au lieu d'une équation de degré quelconque.

Il est encore, dans ce même ordre d'idées, un point où M. Marie semble vouloir aller plus loin que Poncelet : c'est lorsqu'ayant associé au lieu réel d une équation toutes les conjuguées correspondantes, il regarde celles-ci comme étant aussi bien représentées par l'équation que ce lieu lui-même; en sorte que, pour me servir de ses propres expressions:

« L'être géométrique ne serait plus, commo dans l'antiquité, une c branche ou nappe de courbe ou de surface, jouissant dans toute son c étendue, et sans aucune modification quelconque, de propriétés abso- « lument identiques ; ni, comme dans la géométrie moderne, un assemc Mage de plusieurs branches ou nappes dont les parties jouissent de « propriétés pareilles, à la différence près de quelques changements de « sens ou de direction; mais une courbe ou surface, lieu principal dans « la question qui aurait fourni Téquation, accompagnée d'une infinité a d'autres lieux secondaires, jouissant de propriétés analogues, et qui se < substitueraient au lieu réel toutes les fois qu'il ne pourrait plus four- « nirles solutions déterminées qu'on s'était proposé d'obtenir. »

Il est à craindre qu'en cela M. Marie ne se fasse illusion sur la portée de sa méthode. Que dire, en effet, de cet ensemble de lignes ou de surfaces répondant indistinctement les unes aux solutions réelles, les autres aux solutions imaginaires d'une même équation, sinon qu'on ne saurait pas plus y voir un être géométrique qu'une bonne traduction des symboles de l'algèbre. On conçoit à la rigueur que le principe des signes, malgré ce qu'il offre de conventionnel, s'applique au lieu d'une équation à deux ou trois variables sans en détruire l'unité, les grandeurs positives et négatives se distinguant nettement les unes des autres par le sens qu'elles affectent, et permettant de passer sans ambiguïté de l'équation à la figure correspondante ou réciproquement. Mais dès qu'on n'établit aucune différence entre l'interprétation des solutions imagi-

naires et celle des solutions réellefe, il est clair qu'on n'a plus les mêmes motifs de sécurité. A supposer d'abord que chaque lieu principal forme avec ses conjuguées un être géométrique, la coordination de ces figures toutes réelles n'est pour ainsi dire que nominale; elle ne permet pas de remonter directement de l'une quelconque des conjuguées à l'équation qui par hypothèse les comprend toutes. Il faut pour cela se rappeler que cette conjuguée a ses coordonnées de tel ou tel mode, sans que la géométrie fournisse à cet égard le moindre indice. De là des complications qui prouvent que l'union de cette dernière science avec l'algèbre n'est pas encore parfaitement cimentée et que la figure totale n'offre pas l'unité de l'équation correspondante. Mais il est un reproche plus grave à faire au mode d'interprétation adopté par M. Marie; c'est que lieu réel et conjuguées, loin de former un tout bien coordonné, s'excluent au contraire mutuellement. Je n'ai pas besoin d'en alléguer d'autre pueuve que la conclusion formulée plus haut par M. Chasles, savoir, que tout point imaginaire, construit comme s'il était réel, ne fait partie ni de la figure que l'on a en vue, ni de la question que l'on traite. Inutile d'ajouter que s'il n'y a pas de connexion possible entre chaque lieu réel et ses conjuguées, toute considération fondée sur l'existence d'un pareil lien se trouve infirmée par là même. Ces réserves faites, les recherches de M. Marie n'en présentent pas moins, comme je l'ai déjà dit, beaucoup d'intérêt. Sa méthode facilite à la fois la comparaison des lieux réels entre eux et l'étude des propriétés des fonctions. Mais, je le répète, les résultats qu'elle fournit, si remarquables qu'ils soient, ne constituent pas une interprétation parfaite des expressions imaginaires, et ne sauraient par conséquent être le dernier mot de la science sur ce point.

En résumé, les éminents géomètres dont je viens de rappeler brièvevement les travaux, s'appuient tous d'une manière plus ou moins explicite sur ce qu'on est convenu d'appeler la généralité de l'algèbre, c'està-dire sur un principe d'extension purement 'gratuit. Aussi, pas un n'entrevoit-il la possibilité de construire avec leurs caractères propres les éléments imaginaires des figures, et par suite d'émanciper la géométrie tout en lui ménageant avec l'algèbre uns allianca intime fondée sur le

pied de la plus parfaite égalité. Comme il ue semble d*ailleurs guère possible d*aller plus loin qu'ils ne Font fait dans une pareille voie, et que malgré leurs efforts le dernier obstacle à vaincre reste debout, il faut ou reconnaître que la science de retendue ne comporte dans ses conceptions les plus élevées qu'une évidence tout à fait relative, ou se frayer une autre route.

Ce serait au surplus une erreur de croire que la doctrine aujourd'hui si fort appréciée des quantités complexes puisse être ici d'un grand secours. Cette doctrine ne doit, en effet, la faveur dont elle jouit qu'à Télégante simplicité des moyens qu'elle procure soit pour l'étude des propriétés des fonctions, soit pour la démonstration d'une foule de vérités géométriques. A la rigueur, comme elle distingue à des signes certains, les droites réelles des droites imaginaires, elle suffirait encore pour légitimer les règles du calcul algébrique. Mais son défaut capital, défaut que rien ne saurait pallier, c'est qu'elle ne peut ni doter la géométrie supérieure des figures que celle-ci réclame, ni servir à compléter le système de coordonnées de Descartes. Est-ce à dire cependant qu'elle soit incapable de conduire à quelque doctrine moins imparfaite ? Nullement, et voici pourquoi. La conception des quantités complexes est avec celle des droites de sens contraires le premier essai d'introduction dans l'analyse ancienne d'une nouvelle manière d'être de la grandeur. On ne se contente plus cette fois de considérer dans une droite sa longueur seulement , on tient compte aussi de sa direction qui comprend comme cas particulier le sens positif et le sens négatif. Or, c'est là sans contredit une innovation féconde en résultats importants. Les travaux d'Argant, de Mourey, de Cauchy, de Gauss, de M. Bellavitis ne laissent aucun doute à cet égard. Les faits prouvent donc ici mieux que tous les raisonnements que l'usage exclusif des grandeurs absolues serait pour la géométrie pure une entrave plutôt qu'une garantie de progrès. A la vérité, les quantités complexes, malgré le jour dont elles éclairent les obscurités de l'algèbre, ne permettent pas, comme on l'a déjà dit, de rattacher la géométrie moderne à l'analyse ancienne. Mais quelle conclusion raisonnable tirer de là, sinon que la direction n'est probablement pas une manière d'être assez générale de la grandeur, et que tôt

ou tard elle fera place à quelque conception du même genre, pouvant se concilier mieux qu'elle avec l'idée de corrélation introduite dans la science par Carnot. Le moment est donc venu de mettre à l'épreuve l'innovation que je propose.

Je n'ai pas besoin de rappeler que, dans mon système, la direction devient inutile, puisque je n'assigne aux grandeurs géométriques que deux sens ou deux modes contraires. Si je prouve d'ailleurs que ces manières d'être bien définies permettent : 1* d'affecter à leur expression les nombres réels et imaginaires et de démontrer toutes les règles du calcul algébrique ; 2° de répartir les figures de géométrie en groupes naturels de plus en plus composés, où ces figures diffèrent entre elles, d'abord par la valeur absolue, puis par le sens, puis par le mode de leurs parties ; 3" d'identifier d'une manière parfaite les relations numériques fournies par ces divers groupes de figures avec les équations algébriques de degré quelconque, j'aurai soumis, je pense, la méthode que je propose à l'épreuve la plus générale et la plus décisive qu'on puisse exiger d'une innovation de ce genre.

On a déjà vu comment en assignant une signification géométrique précise aux nombres de signes ou de modes quelconques, j'arrive à démontrer les règles du calcul algébrique. Il me reste donc à faire voir que le principe de corrélation tel que je l'ai défini dès le commencement de ce chapitre assure à la science de l'étendue son indépendance et son libre développement tout en la reliant d'une part à l'analyse ancienne et d'autre part au système de coordonnées rectilignes qui prend par la même la plus grande extension dont il soit susceptible. Inutile d'ajouter que, dans ce qui va suivre, je m'appuierai de préférence sur les exemples les plus simples, comme étant les plus propres à faire juger d'une méthode nouvelle. Cela dit, j'entre immédiatement en matière, m'occupant d'abord des principes de la géométrie supérieure, c'est-àdire des propriétés des figures et de leur écriture algébrique, puis du système de coordonnées de Descartes et des questions qui s'y rattachent. Si l'on objecte que, dans les applications qui vont suivre, je n'ai pas assez nettement séparé la Géométrie supérieure de la Géométrie analytique, je répondrai que la première me semble devoir comprendre

récriture des propriétés métriques de toute figure bien définie depuis les simples proportions jusqu'à la mise en équation de cette figure dans un sjstème de coordonnées quelconque ; tandis que la seconde a spécialement pour, objet étant donnée une équation à deux ou trois variables, d*en construire et d'en étudier le lieu géométrique en s'appuyant sur les propriétés des fonctions. C'est donc uniquement pour ne pas m'écarter sur ce point des habitudes reçues que je commence les applications algébriques par l'exposition du système de coordonnées de Descartes.