Chapitre P

APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

SOMMAIRE : Imperfection des éléments actuels de malhémaliqaes. — Réflexions de Poncelet et de M. Chasies à ce propos. ~ Applications du principe des signes. — Propriétés métriques des triangles. — Propriétés absolues de Phyperbole équilatére. — réflnition générale de la circonférence. — Variétés de cette courbe. — Circonférences de rayon ou de centre imaginaire. ~ Distance de deux points quelconques. — Déûnition générale de Thyperbole équilatére. — Variétés de cette courbe. ~ Applications ûà l'analyse ancienne à quelques théorèmes de géométrie supérieure. — Propriétés métriques des triangles imaginaires. — Foyers des coniques. — Résolution graphique, dans tous les cas possibles, des équations du second et du troisième degré.

Poncelet ne se dissimulait pas l'imperfection des éléments actuels de mathématiques (^). « Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remc plis, disait-il, et ces lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce ft qui semble tenir de plus près aux connaissances préliminaires de la « géométrie, v Mais une prédilection trop prononcée pour l'emploi des grandeurs absolues ne lui permit pas de découvrir la cause du mal.

M. Chasies est mieux inspiré lorsqu'il insiste sur la nécessité d'appliquer le principe des signes aux figures élémentaires ; cependant n'atta-

(*) Propriétés projectives des figures, Préface.

che-t-il pas trop d'importance à certaines restrictions lorsqu'il ajoute : (*) « Si l'on ne démontre ordinairement une formule ou relation que pour « une certaine figure, et non dans l'état d'abstraction et de généralité « qui permettrait au moyen des signes -|- et — affectés aux segments « et aux angles, pour marquer leur direction, de l'adapter indifférem- « ment à tous les cas possibles de la figure, il est facile d'en reconnaître « la raison, c'est que les propositions qui forment le plus ordinairement (( les éléments de démonstration dans la géométrie ancienne, ne com- « portent pas l'emploi du principe des signes. Telles sont la proposition « du carré de Thypothénuse celle de la proportionnalité des côtés homo- (( logues dans les triangles semblables ; celle encore de la proportion- « nalité dans tout triangle des côtés aux sinus des angles opposés. La a règle des signes ne s'applique pas à ces propositions, parce que les « segments que Ton y considère sont formés sur des lignes différentes, « et les angles autour de sommets différents. »

Peutrètre faudrait-il ici distinguer entre l'étude d'une figure isolée et la comparaison des propriétés métriques ou descriptives de cette figure avec celles des systèmes corrélatifs. Dans le premier cas, la simplicité des démonstrations exige l'emploi des grandeurs absolues. Dans le second cas, au contraire, on est forcé d'assigner à ces mêmes grandeurs certaines manières d'être d'autant plus générales que les figures à classer sont plus variées. Quant aux propriétés métriques des triangles, ce qu'en dit M. Chasles fait supposer qu'on ne puisse y parvenir" qu'au moyen de la similitude. Cependant il est facile d'établir ces propretés en ne s*appuyant que sur des propositions comportant l'emploi des signes. C'est ce que je tiens essentiellement à prouver parce que la voie à suivre en pareil cas me semble mener directement à la Théorie des triangles imaginaires.

Je rappelle d'abord en les généralisant quelques notions simples sur lesquelles j'aurai besoin de m'appuyer.

B — c — A Soient 0, A, B, trois points en ligne droite et C

Fig. 3i le milieu de AB.

(*) Géométrie supérieure, Préface.

Si le point n'est pas entre A et B {fig. 32) les droites absolues OA, OB, ont pour demi-somme OC, pour demi-différence CA, et Ton a