OA = OC + CA, OB = OC-CA

Voilà donc un premier avantage de l'emploi des droites de sens quelconque. Si l'on observe de plus qu'en multipliant membre à membre les égalités précédentes, il vient

OAxOB = OC' -CA'

on en conclut ce théorème important :

Le produit de deux droites de même sens ou de sens contraires est toujours égal au carré de leur demi-somme diminuée du carré de leur demi-différence.

Ce même théorème s'étend d'ailleurs aux droites imaginaires ou mixtes.

"^ — j; — J 5 jT-j — j Ainsi , les droites imaginaires

Fîg. 5â (A, AO ou OAi et (B, B') ou OBt

ayant pour demi-somme (C, C) ou OCi et pour demi-différence (C, C) (A, A') ou CAi, on a bien {fig. 34)

OAt = OCï + CAt OBê = OCi — CAi

et par suite

donnent

OAt X OBi = (OCt)' — (CAt)2

i g. jl j De même, les droites mixtes conju-

Ti<j. 55 guées OA + ABi et OA + AB'i [fig. 35}

(OA + ABi) (OA + AB'i; = A^ — (ABi)"

Revenons pour un moment aux droites absolues afin d'étudier Tune des propriétés les plus importantes de la circonférence.

On sait que deux sécantes antiparallèles déterminent sur les côtés d'un angle à partir du sommet quatre segments réciproques.

Or, soient menées d*un point quelconque A deux sécantes coupant aux points B, G, B' et C la circonférence [fig. 36, 37). Si Ton tire les cordes BC et CB', les angles C et C sont égaux comme inscrits dans le même segment, et par suite les cordes B(J' et CB' sont antiparallèles. Dans un cas comme ^^^ dans l'autre, on a donc

(1) ABxAC = AB'xAC'

Ficf.d? Si, de plus l'une des sécantes tourne autour du point A, de telle sorte que la corde interceptée, B'C par exemple, se réduise à un point D {fig. 36) ou prenne [fig. 37) une position DD' telle que le point A soit son milieu, la relation précédente devient