TRAVAUX DE DESCARTES

SOMMAIHE : Descartes réformateur en mathématiques. — Défauts de Tanalyso ancienne et de Talgèbre moderne. — Descartes effectue des opérations gra* phiques sur les droites, puis en traduit les résultats en nombres : de là, son algèbre. — Supériorilé de sa méthode sur celle de Viète ou des Anciens. — La Géométrie de Descaries a pour but la résolution graphique des équations. — Nouvelle définition du produit des deux droites et conséquences. *— Problèmes, plans et résolution de Téquation du 2' degré. ~ Problèmes solides et résolution de réquation du 3" degré. — La réforme Cartésienne s'applique sans peine à Parithmétique; jusqu'à présent elle n'a pu s'étendre d'une manière satisfaisante aux nombres négatifs non plus qu'aux expressions imaginaires. — Gomment ces sortes de nombres s'introduisirent en algèbre. — La doctrine des quantités complexes en justifierait au besoin l'emploi; mais elle ne peut servir à compléter le système de coordonnées de Descartes, non plus qu'à doter la géométrie supérieure de figures qui la rattachent à l'analyse ancienne. — Nouvelle définition du point réel et du point imaginaire. — Droites de mode quelconque. — Opérations qu'elles comportent et conséquences qui en résultent, soit pour le calcul algébrique, soit pour la géométrie pure.

Descartes fut, en mathématiques, un réformateur plus profond qu'on ne le croit généralement. Les brillantes découvertes, dont il enrichit l'algèbre et la géométrie, sont trop connues pour qu'il soit nécessaire de les exposer ici ; mais ce qu'on n'a peut-être pas assez remarqué, c'est qu'il essaya le premier de fonder les règles du calcul algébrique sur la considération des droites et des opérations qu'elles comportent. Gomment

conçut-il le dessein d'une pareille réforme ? il l'explique lui-même dans le Discours de la Méthode.

La pensée lui étant yenue, vers la fin de ses études, de recueillir les préceptes les plus propres à guider sa raison, dans la recherche des vérités philosophiques, il dut passer en revue les sciences qui pouvaient lui fournir sous ce rapport d'utiles secours, et son attention se porta principalement sur la logique et les mathématiques. Mais appréciant bientôt à leur juste valeur ces deux branches des connaissances de son temps, il reconnut la nécessité de se frayer une voie nouvelle.

c J'avais un peu étudié, dit-il {*), étant plus jeune, entre les parties de c la philosophie, à la logique, et entre les mathématiques à l'analyse des « géomètres, et à l'algèbre, trois arts ou sciences qui semblaient devoir « contribuer quelque chose à mon dessein. Mais, en les examinant, je pris « garde que, pour la logique, ses syllogismes et la plupart de ses autres « instructions servent plutôt à expliquer à autrui les choses qu'on sait, « ou même, comme l'art de Lulle, à parler sans jugement de celles qu'on « ignore, qu'à les apprendre ; et bien qu'elle contienne, en efifet, beau- « coup de préceptes très-vrais et très-bons, il y en a toutefois tant c d'autres mêlés parmi, qui sont nuisibles ou superflus, qu'il est presque « aussi malaisé de les en séparer, que de tirer une Diane ou une Minerve « hors d'un bloc de marbre qui n'est point encore ébauché. Puis, pour « Vanalyse des anciens et V algèbre des modernes, outre qu'elles ne s'étendent « qu'à des matières fort abstraites, et qui ne semblent d'aucun usage, la c( première est toujours si astreinte à la considération des figures, qu'elle ne « peut exercer t entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination, et on s'est a tellement assujetti en la dernière à certaines règles et à certains chiffres « qu'on en a fait un art confus et obscur qui embarrasse P esprit, au lieu d'une c science qui le cultive. Ce qui fut cause que je pensai qu'il fallait chercher « quelque autre méthode qui, comprenant les avantages de ces trois, fut c exempte de leurs défauts. »

Descartes substitua, comme on sait, à la logique ancienne, quatre pré-

(1) Diêcours de la Méthode^ Ed. Luzarcho, page 33.

ceptes dont l'application plus ou moins parfaite, selon la nature des sciences qu'il étudie, constitue sa méthode. Celle-ci est d'ailleurs essentiellement déductive ; car, tout en prenant pour point de départ l'évidence, elle ne s'appuie jamais que sur Tobservation d'un petit nombre de faits : encore ces faits ne semblent-ils être dans la pensée de Tauteur que les conséquences immédiates des vérités éternelles dont chacun de nous a conscience. Quoiqu'il en soit, la méthode cartésienne convient mieux aux sciences de raisonnement qu'à celles d'observation, les premières ne reposant que sur quelques données expérimentales fort simples, tandis que les autres doivent, avant tout, procéder par induction, et s'élever graduellement de l'étude attentive des phénomènes du monde matériel à la connaissance des lois qui le régissent. Il ne faut donc pas s'étonner que Descartes n'ait pas toujours appliqué ses principes avec un égal bonheur, et que sa physique, par exemple, malgré les éclairs de génie dont elle s'illumine souvent, soit parfois défectueuse, alors que sa Géométrie restera comme un des plus beaux monuments de l'esprit humain.

Ce dernier ouvrage étant le seul qui doive nous occuper ici, je ferai d'abord observer que le titre en pourrait être plus explicite. En effet, Descartes n'y traite pas uniquement de la géométrie pure, encore moins s'y propose- t-il, comme on l'a dit tant de fois, d'appliquer l'algèbre à cette science. Son principal but, au contraire, est, ainsi qu'on le verra bientôt, d'éclaircir à Taide de la géométrie les obscurités de l'algèbre, et de rendre à celle-ci le caractère qu'elle n'eut jamais dû perdre, de simple écriture des propriétés de la grandeur. A la vérité, chemin faisant, il découvre une méthode géométrique féconde, dont l'éclat semble devoir effacer tout le reste et justifier, jusqu'à un certain point le titre de l'ouvrage. Mais, pour peu qu'on y réfléchisse, on est forcé de reconnaître avec le marquis de Lhôpital, que cette méthode est avant tout pour Descartes, un moyen d'atteindre au couronnement de son œuvre, et d'arriver par une voie nouvelle, à la résolution des équations algébriques. En un mot, la géométrie cartésienne, en dépit de son titre, a principalement Talgèbre pour objet. Ozanam, qui donne à la suite de la géométrie de Boulenger un appendice renfermant la plupart des constructions de Descartes, l'intitule Ariihnétique par Géométrie. Ce titre eût parfaitement caractérisé

Tœuvre du grand novateur, à la condition d'y substituer le mot d'algèbre à celui d'arithmétique.

C'est encore dans le Discours de la Méthode que Descartes nous fait connaître, sommairement, la route qu'il s'est tracée en mathématiques, et les résultats auxquels il est parvenu.

« Ces longues chaînes de raisons (^}, toutes simples et faciles, dont les « géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles c démonstrations, m'avaient donné, dit-il, occasion de m'imaginer que « toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes « s'entresuivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abs- € tienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde € toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y « en peut avoir de si éloignées, auxquelles enfin on ne parvienne, ni de « si cachées qu'on ne découvre. Et je ne fus pas beaucoup en peine de « chercher par lesquelles il était besoin de commencer, car je savais que a c'était par les plus simples et les plus aisées à connaître ; et considé- « rant qu'entre tous ceux qui ont ci-devant cherché la vérité dans les t sciences, il n'y a que les seuls mathématiciens qui ont pu trouver quel- « ques démonstrations, c'est-à-dire quelques raisons certaines et évic dentés, je ne doutais point que ce ne fut par les mêmes qu'ils ont exa- « minées ; bien que je n'en espérasse aucune utilité, sinon qu'elles accou- « tumeraient mon esprit à se repaître de vérités et ne se contenter point tt de fausses raisons. Mais je n'eus pas dessein pour cela de tâcher d'apc prendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément « mathématiques; et, voyant qu'encore que leurs objets sont diflFérente, « elles ne laissent pas de s'accorder toutes^ en ce qu'elles n'y considèrent « autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent, je « pensai qu'il valait mieux que j'examinasse seulement ces proportions « en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à (t m'en rendre la connaissance plus aisée, même aussi sans les y astreindre « aucunement, afin de les pouvoir, d'autant mieux, appliquer après à tous

(<) DiècouTè de la Méthode, page 36.

c les autres auxquels elles conduiraient. Puis, ayant pris garde que, pour c les connaître, j'aurais quelquefois besoin de les considérer chacune en ff particulier, et quelquefois seulement de les retenir ou de les comprendre <c plusieurs ensemble, je pensai que pour les considérer mieux en partial culier, je les devais supposer en des lignes, à cause que je ne trouvais c rien de plus simple, ni que je passe plus distinctement représenter à « mon imagination et à mes sens; mais que, pour les retenir ou lescom- « prendre plusieurs ensemble, il fallait que je les exprimasse par quel- « ques chiffres les plus courts qu'il serait possible ; et que, parce moyen, c j'emprunterais tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre, c et corrigerais tous les défauts de l'une par Tautre.

c Comme, en effet, j'ose dire que l'exacte observation de ce peu do c préceptes que j'avais choisis me donna telle facilité à démêler toutes « les questions auxquelles ces deux sciences s'étendent, qu'en deux ou <f trois mois que j'employai à les examiner, ayant commencé par les plus t simples et les plus générales, et chaque vérité que je trouvais étant « une règle qui me servait après à en trouver d'autres, non-seulement « je vins à bout de plusieurs que j'avais jugées autrefois très-difflciles, c mais.il me sembla aussi vers la fln que je pouvais déterminer en celles « mêmes que j'ignorais, par quels moyens et jusqu'où il était possible de c les résoudre

(C Mais ce qui me contentait le plus de cette méthode était que, par c elle, j'étais assuré d'user en tout de ma raison, sinon parfaitement, au ff moins le mieux qui fut en mon pouvoir, outre que je sentais en la a pratiquant que mon esprit s'accoutumait peu à peu à concevoir plus c nettement et plus distinctement les objets; et que ne l'ayant point c assujetti à aucune matière particulière, je me promettais de l'applit quer aussi utilement aux difficultés des autres sciences que j'avais fait « à celles de l'algèbre. »

Ce résumé rapide ne permet pas encore d'apprécier convenablement la réforme mathématique tentée pai* Descartes : à peine en fait- il pressentir toute l'importance. Il faut, pour juger de cette réforme en connaissance de cause, analyser la géométrie cartésienne et la comparer aux ouvrages antérieurs du même genre, particulièrement à ceux

de Viète. Si Descartes se fut contenté d'exprimer les grandeurs par des nombres ou des lettres et de soumettre immédiatement ces nombres ou ces lettres au calcul, sa méthode n'eût pas di£féré de celle de ses devanciers. Mais il sut au contraire rompre dès le début arec les anciennes traditions, se mit à effectuer sur les grandeurs les plus simples, sur les droites, toutes les opérations de l'arithmétique, et n'eût recours au symboles que pour exprimer les résultats de ces opérations ; en sorte que grâce à lui l'algèbre devint, jusque dans ses combinaisons les plus abstraites, comme la traduction dos figures en nombres, et s'éclaira pour ainsi dire de l'évidence géométrique.

Il est juste de reconnaître toutefois que Fart d'exprimer graphiquement les formules algébriques et de construire les racines de certaines équations ne fut ignoré ni de Yiète^ ni surtout des mathématiciens Arabes. Mais, loin de faire servir la géométrie à démontrer les opérations de l'algèbre, ces précurseurs de Descartes ne voyaient pas même dans les résultats d'un calcul relatif aux droites l'expression de grandeurs homogènes. C'est ainsi que pour eux le degré d'une puissance en modifiait profondément la signification géométrique, et que la lettre x, par exemple, désignant une droite, a^ représentait un carré, a^ un cube, tandis que les puissances supérieures de cette même lettre ne répondaient plus à aucune grandeur connue. Une pareille manière de voir n'était évidemment pas de nature à permettre de subordonner l'algèbre à la géométrie : aussi Descartes commença-t-il par s'en affranchir. Il n'eut d'ailleurs, comme on le reconnaîtra bientôt, qu'à donner du produit d'une droite par une autre une définition plus rationnelle que celle des Anciens, pour voir les obscurités de l'algèbre s'évanouir une à une, et s'il ne parvint pas à déterminer géométriquement toutes les racines des équations numériques ou littérales, il montra du moins la route qui devait conduire plus tard à la résolution complète de ce problème.

Ce fîit sans doute à cause de l'impossibilité plus apparente que réelle, mais inévitable à cette époque, d'expliquer toute l'algèbre par la géométrie et de faire remonter jusqu'à cette dernière science comme à leur véritable source, les racines imaginaires des équations que la méthode cartésienne fut abandonnée. Toutefois les mathématiciens n'eu-

rent garde d*étendre leur indifférence aux théories élevées qui en furent la suite. Mais s'ils accueillirent avec faveur ces nouvelles conquêtes de la science, ils n'en continuèrent pas moins de suivre les traces de Viète, en sorte que les constructions élémentaires de Descartes ne servirent plus qu'à l'interprétation des formules algébriques.

Ainsi détournées de leur signification primitive, ces constructions ne méritent pas d'autre intérêt que celui qu'on leur accorde habituellement. Mais apparaissent-elles, au contraire, comme les premiers jalons d'une route qui conduisit Descartes à ses plus belles découvertes, et qui même aujourd'hui peut encore ouvrir à la science de nouveaux horizons, leur importance ne saurait être dès lors contestée.

Le point de vue sous lequel j'essaie de présenter la géométrie cartésienne éveillera donc, je l'espère, l'attention des savants. C'est d'ailleurs celui qui parait le plus naturel après un examen attentif de l'ouvrage. Je dirai mieux, c'est peut-être le seul qui se concilie d'une manière satisfaisante avec l'unité de plan du grand novateur, et qui permette de retrouver, dans la première application de sa méthode, la hardiesse et l'originalité de ses autres essais. Veut-on s'en assurer dès maintenant ? Il suffit de parcourir l'un quelconque des ouvrages de Descartes, le traité posthume Du Monde et de la ZKmtér^,par exemple, et d'y comparer la marche de l'auteur à celle que je viens de signaler dans sa géométrie.

S'agit-il, en effet, de découvrir les lois du monde physique î Descartes fuit en quelque sorte loin de la réalité pour assister à la création d'un nouvel Univers. Il se représente l'espace comme un tout rempli de particules juxtaposées, laissant place dans leurs intervalles à d'autres particules plus subtiles encore. Puis il constate l'inertie de la matière et la conservation du mouvement dans le monde, ou plutôt les déduit de l'immutabilité de Dieu; part de là pour conclure à l'existence des tourbillons, s'élève par une synthèse hardie des mouvements des atomes à ceux des soleils et de leurs cortèges de planètes, et ne demande finalement à l'expérience que le soin de confirmer par des faits connus ou de nouvelles recherches l'exactitude de sa théorie.

Or, c'est précisément de la même façon que Descartes semble procé-

der en mathématiques. S*il commence, en effet, par des additions et soustractions linéaires, comme l'avait fait Viète, il se distingue presque aussitôt de celui-ci par la manière toute nouvelle dont il envisage le produit de deux droites et quitte dès lors les chemins battus pour n'appuyer l'algèbre que sur des considérations géométriques. La division, l'élévation aux puissances, l'extraction des racines s'effectuent, grâce à lui, par des constructions uniformes, aussi simples qu'élégantes. Puis, il en vient à comparer toute ligne plane convenablement définie à la ligne droite, exprime leur dépendance mutuelle par une relation numérique entre deux variables, et reconnaît enfin la possibilité de résoudre graphiquement les équations de degré quelconque, c'est-à-dire de surmonter une des plus grandes difficultés de l'algèbre. En un mot partant des données expérimentales les plus simples, il reconstruit pièce à pièce l'édifice des mathématiques pures, retrouve par une voie qui lui est propre tous les résultats connus de son temps, en accroît le nombre et montre la route à suivre pour en découvrir de nouveaux. Ainsi envisagée, la Géométrie de Descartes devient donc une application rigoureuse de sa méthode, sans qu'on puisse, à quelque autre point de vue qu'on se place, arriver à la même conclusion. C'est de plus une œuvre profondément originale, ou pour mieux dire, une véritable réforme opérée dans la science.

J'ajouterai que parmi les contemporains du grand novateur, ceux même qui cherchent à déprécier ses découvertes ne semblent pas s'être mépris sur l'indépendance de ses vues en mathématiques, tant ils se montrent scandalisés de l'indifférence qu'il affecte pour les écrits de ses devanciers. Roberval, entre autres, lui reproche de n'avoir pas lu Viète, et Descartes ne s'en défend guère; car il se contente de répondre à ce propos au père Mersenne (^): « Pour l'accusation du Geostaticien, que je « ne donne rien des équations que Viète n'ait donné, nego tnajorem; car t comme je crois vous avoir déjà remarqué quelque autre fois, jecomc menée en cela par où Viète avait fini. Et pour ce qu'il dit que je ne

(>) Lettre lzix, tome UI. Ed. Gleraelier.

« sais pas excusable de n'avoir pas vu Viète, il aurait raison si j'avais « ignoré pour cela quelque chose qui fût dans Viéte, ce que je ne crois c pas qu'il m'enseigne par ce beau livret qu'il en a autrefois fait impri- « mer. »

Dans une autre lettre au P. Mersenne, Descartes revient sur le même sujet d'une maDÎère plus explicite (^ : « Et tant s'en faut, dit-il, que les « choses que j'ai écrites puissent être aisément tirées deViète, qu'au con- « traire, ce qui est cause que mon traité est difficile à entendre, c'est que « j'ai tâché à n'y rien mettre que ce que j'ai cru n'avoir point été vu ni c par lui, ni par aucun autre ; comme on peut voir si on confère ce que « j'ai écrit du nombre des racines qui sont en chaque équation dans la c page 372, qui est l'endroit où je commence à donner les règles de mon « algèbre, avec ce que Vièteen a écrit tout à la fin de son livre de emen- « datUme cequationum ; car on verra que je le détermine généralement en c toutes équations, aulieuquelui n'en ayant donné que quelques exemples a particuliers, dont il fait toutefois si grand état qu'il a voulu conclure « son livre par là, il a montré qu'il ne le pouvait déterminer en géné- « rai; et ainsi j'ai commencé où il avait achevé; ce que j'ai fait toutefois € sansy penser: car j'ai plus feuilleté Viète depuis que j'ai reçu votre c dernière que je n'avais fait auparavant, l'ayant trouvé entre les mains « d'un de mes amis ; et entre nous je ne trouve pas qu'il en ait tant su c que je pensais nonobstant qu'il fut fort habile.

« Au reste, ayant déterminé comme j'ai fait en chaque genre de c questions tout ce qui s'y peut faire, et montré les moyens de le faire, c je prétends qu'on ne doit pas seulement croire que j'ai fait quelque te chose de plus que ceux qui m'ont précédé, mais aussi qu'on se doit t persuader que nos neveux no trouveront jamais rien en cette matière u que je ne puisse avoir trouvé aussi bien qu'eux, si j'eusse voulu « prendre la peine de le chercher. Je vous prie que tout ceci demeure € entre nous : car j'tiurais grande confusion que d'autres sussent que je c vous en ai tant écrit sur ce sujet. »

(1) Lettres lxsiii, tome III.

A part le sentiment d^orgneil qui perce dans ces dernières lignes et qu'atténue du reste le caractère confidentiel de sa lettre, Descartes avait, on le voit, parfaitement conscience de la supériorité de sa méthode en algèbre comme en géométrie. Remarquons aussi qu'il ne prend pas le mot d'algèbre dans son acception la plus générale, et qu'il entend désigner par là, non pas l'ensemble du calcul littéral, mais seulement la théorie des équations, théorie par laquelle il termine d'ailleurs son Traité, comme l'avait fait Viète.

Quant aux reproches de Roberval, Descartes ne pouvait guère y répondre d'une manière plus catégorique, n'alléguant au fond que l'excuse de son génie. « Les grands géomètres, observe judicieusement d'Alema bert (^), connaissent cette espèce de paresse, qui préfère la peine de « découvrir une vérité à la contrainte peu agréable de la suivre dans Fou- « vrage d'autrui. En général, il se lisent peu les uns les autres, et peut* < être perdraient-ils à lire beaucoup : une tête pleine d'idées emprunt « tées n'a plus de place pour les siennes propres, et trop de lecture peut t étouffer le génie au lieu de l'aider. » S'il est un mathématicien à qui s'appliquent sans réserve ces réflexions d'un bon juge en pareille matière, c'est assurément Descartes.

La Géométrie, on le sait déjà, n'est à proprement parler qu'un recueil de vues nouvelles, il ne faut donc pas s'attendre à y trouver tm ordre parfait, ni s'étonner que, dans l'analyse de l'ouvrage, on ne se conforme pas toujours à la marche de l'auteur. Un fait à noter encore, c'est qu'en plusieurs endroits du livre les explications sont insufSsantes ou manquent totalement : je me hâte d'ajouter que, de l'aveu même de Descartes, ces omissions sont volontaires. Notre philosophe connaissait trop bien les hommes, il était surtout trop docile aux conseils de la prudence, pour ne pas essayer de se mettre en garde contre les attaques des demi-savants. « Je puis assurer, écrit-il à de Beaune (*), que « je n'ai rien omis de tout cela qu'à dessein.... mais j'avais prévu que cer-

(1) Mélauges. — Art. Géomélrie.

P) Lettre lxxi, (ome ni.

ft taines gens qui se vantent de savoir tout n'eussent pas manqué de dire € que je n'avais rien écrit qu'ils n'eussent su auparavant, si je me fusse c rendu assez intelligible pour eux, et je n'aurais pas eu le plaisir que j'ai « eu depuis de voir l'impertinence de leurs objections; outre que ce que « j'ai omis ne nuit à personne. Car, pour les autres, il leur sera plus pro- « fitable de tâcher à l'inventer d'eux-mêmes que de le trouver dans un lice vre ; et pour moi, je ne crains pas que ceux qui s'y entendent m'impua tent aucune de ces omissions à ignorance; car j'ai partout eu soin de « mettre le plus difficile, et de laisser seulement le plus aisé. > Bien que Descartes parle spécialement ici de l'étude des courbes et de leurs propriétés, cet aveu doit s'étendre à toute sa géométrie, car il serait facile d'y signaler d'un bout à l'autre de nombreuses omissions.

Veut- on maintenant se faire une idée des notions élémentaires admises en mathématiques vers la fin du xvi* siècle, il sufiira de l'extrait suivant de VIsagoffe. Yiète après avoir supposé connues les règles de l'arithmétique jusqu'aux proportions inclusivement, s'exprime ainsi {*) :

« La loi première et constante des égalités ou proportions s'appelle c loi des homogènes. La voici :

Les homogènes se comparent aux homogènes.

« Quant aux grandeurs hétérogènes, on ne peut savoir, ainsi que le « disait Adraste, comment elles se comportent entre elles.

« C'est pourquoi :

c Si une grandeur s'ajoute à une grandeur, celle-ci est homogène à t l'autre,

a Si une grandeur est soustraite d'une grandeur, celle-ci est homogène « à l'autre.

« Si une grandeur est multipliée par une grandeur, celle qui en « résulte est hétérogène à l'une et à l'autre.

• Si une grandeur est divisée par une grandeur, celle-ci est hétéro- « gène à l'autre.

(1) Œuvres de Viàte. — Ed. Schoolea.

c C'est faute d'avoir admis ces distinctions que les anciens analystes « sont pleins de confusion et d'obscurité.

c Les grandeurs jouissant de la propriété de s*éleyer ou de descendre c proportionnellement d'un genre à Tautre sont dites scalaires. c Les grandeurs scalaires sont :

!• Le côté ou racine; 2* Le carré; 3* Le cube ;

4* Le carré de carré..., etc.

Yiète, donnant ensuite à l'algèbre le nom de Logistique, la distingue en Logistique numérique et Logistique spécieuse, suivant qu'elle traite des nombres ou des symboles représentant les grandeurs, tels que les lettres de l'alphabet. Les opérations fondamentales de la logistique sont d'ailleurs l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Mais si pour ne parler que des grandeurs les plus simples, la somme ou la différence de deux droites est encore une droite, leur produit est un rectangle ; le produit de ce rectangle par une autre droite est un solide ; et à partir de là les résultats du calcul cessent de s'interpréter géométriquement. Bref, la logistique spécieuse opère d'abord sur des lettres représentant ' des grandeurs de même nature, et finit par ne raisonner que sur des symboles dénués de toute espèce de signification concrète.Yoyons s'il en est de même de la géométrie cartésienne.

Descartes, comme Viète, suppose connues toutes les règles de l'arithmétique et débute ainsi dans son immortel ouvrage :

« Tous les problèmes de géométrie H se peuvent facilement réduire à « tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur (( de quelques lignes droites pour les construire. Comment le calcul c Et commc toute l'arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq

d'arithmétique se i r i i ^

ÎÎSSM*drïtoiSé- * opérations, qui sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la c division et l'extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce « de division, ainsi n'a-t-on autre chose à faire en géométrie touchant

(1) Géométrie Bd. Babuol.

« les lignes qu*oa cherche, pour les préparer à être connues, que leur en « ajouter d'autres, ou en ôter ; ou bien en ayant une que je nommerai « l'unité pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peut orc dinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, c en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces deux, comme Tautre tt est à l'unité, ce qui est le même que la multiplication; oubienen trouc Ter un quatrième qui soit à l'une de ces deux comme l'unité est à « l'autre, ce qui est le même que la division; ou enfin trouver une ou « deux ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité et quelque « autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cu- « bique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d*arithmé- « tique en la géométrie afin de me rendre plus intelligible.

« Soit, par exemple, AB [fig. 1) « l'unité et qu'il faille multiplier BD « par BC, je n'ai qu'à joindre les t points A et C, puis tirer DE paral- « lèle à CA, et BE est le produit de

P j ■ — =—3 t cette multiplication.

a Ou bien, s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, c je tire AC parallèle à BE et BG est le produit de cette division.

« Ou bien, s'il faut tirer la racine carrée de t GH [fig, 2) je lui ajoute en ligne droite FG « qui est l'unité, et divisant FH en deux parties « au point K, du centre K je tire le cercle FIH, « puis élevant du point G une ligne droite « jusqu'à I à angles droits sur FH, c'est GI la « racine cherchée. Je ne dis rien ici de la cubique, ni des autres à cause « que j'en parlerai plus commodément ci-après. »

C^est au commencement du troisième Fig.â ^y^ livre de la géométrie que Descartes

traite de la recherche des moyennes proportionnelles entre deux droites et en particulier de l'extraction des racines.

Le principe de l'instrument qu'il propose

à cet effet est des plus simples : soit un triangle rectangle OÂB dans lequel on ait OA = 1 ; si Ton élève alternativement sur les côtés de l'angle les perpendiculaires BC^ CD, DE,..*** on reconnaît sans peine

que OC est le carré, OD le cube, OE la quatrième puissance de OB,

et que réciproquement OB est à la fois la racine carrée de OC, la racine

cubique de OD, la racine quatrième de OE , etc. U suit de là que,

pour élever une droite à une certaine puissance, ou pour en extraire une racine de degré quelconque, il sufBt de construire la suite des triangles OAB, OBC, OCD, ODE,... la droite donnée étant l'hypoténuse du premier ou du dernier de ces triangles. L'instrument imaginé par Descartes permet de résoudre ce double problème; mais il est inutile de le décrire ici. Ce qu'il importe seulement de constater, c'est que la géométrie cartésienne effectue sur les droites, d'une manière uniforme, toutes les opérations de l'arithmétique, et que les résultats de ces opérations sont constamment des droites.

Immédiatement après le passage qu'on vient de lire, Descartes aborde la question des symboles algébriques :

^Tb« de Jhiffrcren * ^^^^ souvont, dit-il. On u'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes ^ **" *' « sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune

« par une seule. Comme pour ajouter la ligne BD à GH, je nomme l'une t a et l'autre 6, et écris a-^b; et a — 6 pour soustraire 6 de a; et aô « pour les multiplier l'une par l'autre ; et -^ pour diviser a par 6 ; et ao « ou a* pour multiplier a par soi-même ; et a^ pour le multiplier encore une « fois par a, et ainsi à l'infini ; et v^ a^ + b^, pour tirer la racine carrée « de a* -j- b^ ; et ^ C a^ — b^ -^^ ab^ , pour tirer la racine cubique de « a^ — b^ -]- ab^, et ainsi des autres.

« Où il est à remarquer que par a^, ou 6^, ou semblables, je ne conçois « ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me « servir des noms usités, en l'algèbre je les nomme des carrés ou des « cubes, etc.

a II est aussi à remarquer que toutes les parties d'une même ligne se « doivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l'une que « l'autre, lorsque l'unité n'est point déterminée en la question, comme

« ici (fi en contient autant que al^onà^ dont se compose la ligne que « j*ai nommée

ft mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, à cause

< qu'elle peut être sous-entendue partout où il j a trop, ou trop peu de « dimensions : comme s*il faut tirer la racine cubique de a^ b^ — b, il c faut penser que la quantité à^b^ est divisée une fois par Tunité, et

< que Tautre quantité b est multipliée deux fois par la même. »

Ce passage n'a pas besoin de commentaire. Descartes y subordonne évidemment Talgèbre à la géométrie, puisqu'il ne voit dans les opérations littérales que l'écriture d'opérations analogues effectuées sur des droites. On ne saurait trop insister sur le mérite d'une pareille conception; mais ce n'est pas ici le lieu de montrer toute l'étendue des services qu'elle peut rendre , il suffit pour le moment d'indiquer les conséquences qu'en a su tirer Descartes.

Les résultats des opérations élémentaires effectuées sur des droites se Iraduisant par des monômes ou des polynômes algébriques, il est clair que si l'on parvient à l'aide de ces opérations à trouver deux expressions d'une même droite en fonction des données et des inconnues d'un problème, l'égalité de ces expressions constituera une équation algébrique , et que réciproquement toute équation algébrique sera généralement susceptible de représenter l'égalité de deux expressions d'une même droite.

Cela posé, soit MN une courbe quelconque. Pour la comparer à la droite OX située dans le même plan, il suffit de mener de tous ses points "b X des parallèles à une direction donnée,

et de chercher à exprimer l'une d'elles AB = y en fonction de la distance OB = a: de 'son pied à un point fixe o, pris pour origine sur la droite. Si l'ordonnée y peut se calculer à l'aide des opérations élémentaires en fonction de l'abscisse x, la courbe est algébrique comme Téqua-

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— lotion à deux inconnues qui la représente. Et réciproquement toute équation algébrique y = f{x) ou f (x, y) = o est susceptible de s'interpréter en coordonnées rectilignes par une courbe plane parfaitement déterminée.

Mais lorsque deux courbes algébriques MN et PQ représentées par les équations y =3 / (a?), y = F (x), se coupent en un point A (fig. 4), l'ordonnée ÂB == y du point d'intersection peut s'exprimer de deux manières en fonction de Tabscisse correspondante OB = x, on a donc pour tous les points d'intersection des deux courbes l'équation algébrique / (x) = F {x)y et il en résulte immédiatement que la détermination des racines d'une équation algébrique à une seule inconnue revient à la recherche des points d'intersection de deux courbes convenablement choisies.

Telle est en résumé la doctrine mathématique de Descartes. S'il emprunte à l'analyse ancienne ses lieux géométriques, il demande à l'algèbre de les traduire en son langage ; et comme il fait ainsi dépendre leur intersection de la résolution d'un système d'équations numériques, il en conclut la possibilité d'effectuer géométriquement cette dernière opération. On en jugera mieux du reste par les extraits qui vont suivre.

Voici d'abord en quels termes notre auteur parle de la résolution des problèmes de géométrie et, en particulier, de la détermination des racines de l'équation du second degré à une inconnue. Comment il faai Tenir * Voulaut, dit-il, résoudro quclque problème, on doit d'abord le con- ^enH r'éiôiiJ^ « sidéror comme étant déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes

les problèmes.

« qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui « sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence c entre les ligues connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté < selon l'ordre qui montre le plus naturellement de tous, en quelle c sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres jusqu'à ce c qu'on ait trouvé un moyen d'exprimer une même quantité en deux c façons, ce qui se nomme une équation, car les termes de l'une de ces « deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et on doit trouver autant « de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étaient inconnues. « Ou bien s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette rien « de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas en-

« tièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes « connues, pour toutes les inconnues, auxquelles ne répond aucune « équation. Après cela, s*il en reste encore plusieurs, il se faut servir

< par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit on la cornc parant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes incon- « nues ; et faire ainsi en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule c égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré ou le « cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., « soit égal à ce qui se produit par Taddition ou soustraction de deux ou

< plusieurs autres quantités, dont Tune soit connue, et les autres soient « composées de moyennes proportionnelles entre l'unité et ce carré ou c cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d'autres connues. Ce que « j'écris en cette sorte « == 6, ou z^ = — az + ft*, ou «* = oz^ + 6*« — c^, « ou «^ = ûj5^ + 6V — cH + d^y etc. C'est-à-dire z, que je prends « pour la quantité inconnue est égale à &, ou le carré de % est égal au c carré de h moins a multiplié par js, ou le cube de z est égal à a mula tiplié par le carré de ;s, plus le carré de h multiplié par % moins le « cube de c. Et ainsi des autres.

c Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à « une seule ; lorsque le problème se peut construire par des cercles et « des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par

< quelque autre ligne, qui ne soit que d'un ou deux degrés plus compo- « sée. Mais je ne m'arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause « que je vous ôterais le plaisir de l'apprendre vous-même, et l'utilité de « cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la princi- « pale qu'on puisse tirer de cette science

t C'est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir, que pourvu « qu'en démêlant ces équations on ne manque point à se servir de toutes a les divisions, qui seront possibles, on aura infailliblement les plus c simples termes auxquels la question puisse être réduite.

t Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à- o»«i« «ont im pro-

^ ^ r o blèmM plans ?

« dire, en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur « une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entière-

« ment démêlée, il n'y restera tout an pins qu'nn carré ineonnn égal à « ce qai se produit de l'addition on soustraction de sa racine mnlti- « pHée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi « connue.

ff Et lors cette racine ou ligne in- « connue se trouve aisément Car si € j'ai, par exemple, s^ = a« + ^> j® « fais {fig. 5) le triangle rectangle « NLM, dont le côté LM est égal à 6, « racine carrée de la quantité connue « b^, et l'autre LN est -^ a, la moitié « de l'autre quantité connue, qui était multipliée par %, que je suppose c être la ligne inconnue. Puis, prolongeant MN la base du triangle « jusqu'à en sorte que NO soit égal à NL,la toute OM est z la ligne « cherchée. Et elle s'exprime en cette sorte : « = -i- a + y^ -J- o* -j- 6*. « Que si j'ai y^ifs — ay + 6>, et que y soit la quantité qu'il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa bare MN j'ôte NP égale i NL, et le reste PM est y la racine cherchée. De façon que j'ai y^^ — Y^-^' yZ-j- a> + **• Et tout de même si j'avais

a;< — — ax' 4- 6^, P M seraita?^ et j'aurais x = i/ La -f J ± a^+ft^

et ainsi des autres.

« Enfin, si j'ai z^ = az— 6*, je fais NL « {fig' 6) égale à y a et LM égale à 6 comme c< devant, puis au lieu de joindre les points c M, N, je tire MQR parallèle à LN, et du « centre N par L ayant décrit un cercle, qui « la coupe aux points Q et R, la ligne cher* (( chée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas c elle s'exprime en deux façons, à savoir :

Fig.6

« Et si le corde, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, • ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en

« rëquation, de façon qu'on peut assurer que la construction du problème c proposé est impossible.

« Au reste» ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité « d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci comme fort « simples» afin de faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de « la géométrie ordinaire, sans faire autre chose que le peu qui est compris « dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les c Anciens aient remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine « d'en écrire tant de gros livres, où le seul ordre de leurs propositions € nous fait connaître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les « trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu ils ont « rencontrées. »

Il j a, comme on sait, deux manières de résoudre une équation de degré quelconque à une inconnue. L'une fondée sur les propriétés des nombres consiste à calculer les valeurs des racines, ou, dans certains cas , les formules qui les représentent : c'est la méthode algébrique. L'autre se borne à regarder ces mêmes racines comme des droites qu'on détermine par l'intersection de deux lignes planes, puis à faire voir que les propriétés de ces lignes mènent directement à l'équation proposée : c'est la méthode graphique. De ces deux méthodes la première a longtemps semblé la plus générale ; mais, ainsi que j'espère le prouver, la seconde ne lui cède en rien sous ce rapport. L'une et l'autre d'ailleurs, loin d'être incompatibles, sont de nature à se prêter un mutuel appui. Toutes deux doivent donc inspirer le même intérêt.

Peut-être Descartes est-il trop bref en ce qui concerne la résolution de réquation du second degré; car il faut un peu d'attention pour reconnaître : 1"* qu'il détermine géométriquement les deux racines sans se préoccuper de leur expression analytique; 2'' qu'il conclut cette dernière de la construction même; 3"* qu'il trouve la preuve de son opération dans l'accord des résultats avec ceux que fournit l'algèbre. Mais la manière dont il traite les équations de degré supérieur ne laisse pas douter un instant que sa méthode de résolution ne soit la méthode graphique.

Une s'occupe, au reste, dans les constructions précédentes, que des racines positives ; tandis qu'en résolvant l'équation du troisième degré,

par exemple, il distingue avec soin les racines positives de celles qui sont négatives. Pourquoi ne procède-t-il pas de mâme à l'égard de réquation z^ = az -(- 6^ dont les racines sont de signes contraires ]f Je n'en vois pas d'autre raison que la suivante : la figure 5 est un type de construction mal choisi, car si la racine positive est MO, la racine négative ne saurait s'interpréter par MP, comme je le ferai voir à propos des attaques de Carnot contre la doctrine des quantités négatives. De là l'insuffisance de cette figure. Mais pour obtenir avec leur signe propre les racines de l'équation proposée, il suffit de prendre ÂB = 26 {fig. 1) de lui mener en son milieu la perpendiculaire 10 =s y- , etde décrire du point comme centre avec OA pour rayon une circonférence coupant la direction de cette perpendiculaire aux points C|et D., En effet les droites de sens contraires IC et ID sont bien les racines cherchées, puisqu'on a par construction

résultats qui s'accordent avec les formules algébriques.

Quant à la figure 6, elle est convenable en ce qu'elle se prête à la détermination des racines de l'équation correspondante, même quand ces racines sont imaginaires.

La fin du premier livre de la Géométrie est consacrée à la résolution du problème de Pappus. On y reconnaît la supériorité de la méthode de Descartes sur les méthodes anciennes dont ce problème fut l'écueil.

Le second livre a spécialement la géométrie pour objet : il traite de la nature des courbes, de leur comparaison avec la ligne droite, de leurs propriétés algébriques, de la résolution générale du problème de Pappus, enfin de la théorie des ovales, toutes matières. qui, malgré leur importance, ne nous intéressent pas directement. Je passe donc au troisième livre.

Celui-ci n'a trait qu'à l'algèbre. Descartes s'y propose de construire les problèmes solides, sursolides..., etc., ou, en d'autres termes, de résoudre géométriquement les équations algébriques à partir du troisième degré ; mais comme il a besoin pour atteindre son but de préparer convenablement ces équations, il avertit qu'il va dire quelques mots de leur nature, de leurs propriétés ; puis il entre ainsi en matière :

tt Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue c a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-àc dire de valeurs de cette quantité. Car, par exemple, si on suppose x égal « à 2 ou bien x — 2égal à rien ; et derechef x «= 3, ou bienx — 3 ==0 ; tt en multipliant ces deux équations x^%^=i.o%ix — 3 = o l'une par « l'autre, on aura x' — 5 a: + 6 = 0, ou bien x* = 5 « — 6, qui est une c équation en laquelle la quantité x vaut 2, et tout ensemble vaut 3. « Que si de rechef on fait x — 4 = 0, et qu'on multiplie cette somme par « j"» — 6 a? -f 6 =s= 0, on aura x* — 9 x* + 26 a? — 24 = 0, qui est une « équation en laquelle x ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs a qui sont 2, 3 et 4.

« Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines sont fausses, « ou moindres que rien. Comme si on suppose que x désigne aussi le « défaut d'une quantité qui soit 5, on a x -{- 5 = o,qui étant multiplée par « a:» — 9x> -f- 26a: — 24 = fait a:* — 4a;» - 19 a?» -f- 106 a; — 120 = 0. « Pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois c vraies, qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5. »

Descartes n'occupe ensuite des transformations à faire subir aux équations algébriques pour en abaisser le degré, changer les signes des racines, faire disparaître le second terme, etc. Mais ces détails n'étant que secondaires dans la question qui nous occupe, je me borne à citer le passage où il parle des racines imaginaires.

< Au reste, dit-il, tant les vraies racines que les fausses, ne sont pas « toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires. C'est-à-dire « qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ai dit, en chaque « équation ; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corres- « ponde à celles qu'on imagine. Comme encore qu'on en puisse imagi- * ner trois en celle-ci a:» — 6 a;^ -f 13 a? — 10 = 0, il n'y en ^ toutefois

« qu une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoiqu'on les aug- « mente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, c on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires. »

Ce passage et le précédent sont, il faut le reconnaître, en complet désaccord avec les vues qui semblent avoir guidé jusqu'à présent Descartes ; mais je ne m'y arrête pas en ce moment, parce que j'aurai plus tard l'occasion d'y revenir. Je passe également sous silence la réduction des équations du troisième et du quatrième degré, quand elles proviennent de questions pouvant se résoudre avec la règle et le compas, et je passe à la résolution générale de ces mêmes équations, ou, pour parler comme Descartes, à la construction des problèmes solides.

Fwon générale poop « Qr, quand OU cst assuré, dit le grand géomètre, que le problème rtdSuTuneé^" « proposé ost soUdo, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte qCâtredimensionB. C au carré de Carré, soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut « toujours en trouver les racines par l'une des trois sections coniques, c laquelle que ce soit, ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant « petite qu'elle puisse être, en ne se servant au reste que de lignes « droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner une règle « générale pour les trouver toutes par le moyen d'une parabole, à cause c qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Descartes prend d'abord l'équation du troisième degré sous la forme z^ = pz+ q, et celle du quatrième degré sous la forme z* = pz* + J« + r,

c Après cela, dit-il, supposant que la « parabole FAG (fig. S) est déjà décrite, c et que son essieu est ÂCDKL et que son «c côté droit est a ou 1 dont AC est la c moitié, et enfin que le point C est au « dedans de cette parabole , et que A en « est le sommet; il faut faire CD = -j-/?, « et la prendre du même côté qu'est le « point A au regard du point C, s'il y a € -{-peu l'équation; mais s'il y a — />, il

« faut la prendre de l'autre côté. Et du point D, ou bien, si la quantité

« p était nulle, du point C (fig. 9) il faut élever « une ligne à angles droits jusqu'à E, en sorte « qu'elle soit égale à -^ 7. Et enfin du centre E « il faut décrire le cercla FG dont le demi-diamètre soit AE, si l'équation n'est que cubique, € en sorte que la quantité r soit nulle. Mais « quand il y a -f r, Q faut dans cette ligne AE « {fi9' 8) prolongée prendre d'un côté AR égale t à r, et de Tautre AS égale au côté droit de la « parabole qui est 1; et ayant décrit un cercle « dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laïc quelle AH rencontre ce cercle RHS au point H qui est celui par où « l'autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a — r, il faut après avoir « ainsi trouvé la ligne AH {fig. 10) inscrire AI « qui lui soit égale, dans un autre cercle dont « AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I « que doit passer FIG le premier cercle cherché. « Or, ce cercle FG peut couper la parabole en c un, ou deux, ou trois ou quatre points, desquels « tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a « toutes les racines de l'équation tant vraies que « fausses. A savoir si la quantité g est marquée c du signe -|- les vraies racines seront celles de c ces perpendiculaires qui se trouveront du même « côté de la parabole que E le centre du cercle, comme FL; et les autres, « comme GE {fig. 8) sont fausses. Mais au contraire, si cette quantité g € est marquée du signe --, les vraies seront celles de l'autre côté, et les ft fausses ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du « cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe ni ne touche la parabole en « aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse « en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette c règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit possible de « souhaiter. »

Descartes justifie ensuite ses constructions en démontrant que, dans

tous les cas possibles, elles conduisent à l'équation proposée. Puis, il montre que tous les problèmes solides peuvent se ramener soit à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre deux droites, soit à la trisection de Fangle. Enfin il résout graphiquement les équations du cinquième et du sixième degré. Comme il serait trop long de le suivre dans tous ces développements, je me borne à rappeler la conclusion de l'ouvrage.

« Mon dessein, dit le grand géomètre en terminant, n'est pas de faire <c un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de a mots, conmie on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant « réduit à ime même construction tous les problèmes d'un même genre, c j*ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres « diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons. « Puis outre cela qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant (c d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant a aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré c plus composé en coupant tout do même d'un cercle une ligne qui n'est c que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la « même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini : « car en matière de progressions mathématiques lorsqu'on a les deux € OU trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres, a Et j'espère que nos neveux me sauront gré non-seulement des choses c que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontaire- € ment, afin de leur laisser le plaisir de les inventer. »

Descartes, on le voit, finit par accuser nettement le but de sa géométrie, et ce but est à n'en pas douter, la résolution des équations algébriques. Peut-être me saura-ton gré de citer encore ici le jugement d'un de nos plus illustres mathématiciens sur Descartes et son œuvre.

c Ce grand homme (1), dit le marquis de l'Hôpital, poussé par son gé- « nie et la supériorité qu'il se sentait, quitta les Anciens pour ne suivre « que cette même raison que les Anciens avaient suivie ; et cette heu-

(<} Préface (attribuée à FonteneUe) dt VAruUyw de% Infiniment Pelxls.

« rease hardiesse qui fut traitée de rérolte, nous valut une infinité de « vues nouvelles et utiles sur la physique et sur la géométrie. Alors on € ouvrit les yeux et Ton s'avisa de penser. Pour ne parler que des ma- « thématiques, Descartes commença où les Anciens avaient fini, et il « débuta par la solution d'un problème où Pappus dit qu'ils étaient tous c demeurés. On sait jusqu'où il a porté l'analyse et la géométrie, et « combien l'alUage qu'il en a fait rend facile la solution d'une infinité c de problèmes qui paraissaient impénétrables avant lui. Mais comme I il s'appliquait principalement à la résolution des égalités, il ne fit « d'attention aux courbes qu'autant qu'elles lui pouvaient servir à en « trouver les racines : de sorte que l'analyse ordinaire lui suffisant pour « cela, il ne s'avisa point d'en chercher d'autres, i

Après avoir essayé de mettre en relief tout ce que la géométrie cartésienne renferme de vues neuves et fécondes, il me reste à parler des imperfections que deux siècles de progrès devaient nécessairement accuser dans cette œuvre de génie.

En général, lorsqu'on traite par le calcul un problème de géométrie à une inconnue, par exemple, on représente cette inconnue, ainsi que les données par des lettres ordinaires ; puis on écrit en langue algébrique l'énoncé du problème, et il ne reste plus qu'à résoudre l'équation résultante. Mais pour que cette équation demeure applicable à la géométrie, il faut généralement que les valeurs des doimées ne dépassent pas certaines limites. Dès qu'on néglige de tenir compte d'une pareille restriction, l'inconnue cesse d'être un nombre, et l'on quitte un terrain solide pour ne plus raisonner que sur de purs symboles.

S'agit-il, par exemple, de résoudre la question suivante :

Trouver la droite qu'il faut additionner à une autre droite pour eu obtenir une troisième ?

On représente la longueur de la droite inconnue par â:, celle des droites données par a et 6, et l'on traduit algébriquement l'énoncé du problème, ce qui conduit à l'équation x -\- a^b, qu'il suffit de résoudre pour obtenir la solution demandée.

Or en procédant de la sorte, on suppose expressément a moindre que b. Tant que les lettres a et avarient conformément à cette hypothèse, les

valeurs de x sont des xkombres et s'interprètent par de$ droites. Mais, à ne considérer que des droites absolues, dès qu'on suppose a plus grand que b, le problème devient impossible, et l'équation proposée cesse d'être applicable à la géométrie. Cependant l'algèbre, répugnant à restreindre la signification de ses lettres, adopte aussi bien la seconde hypothèse que la première. Elle persiste donc a voir une identité numérique dans l'équation j; -|- a = 6, quelque soient les valeurs des constantes. Aussi lors qu'appliquant à cette équation les procédés habituels, on vient à la résoudre dans Thypothèse a > fr, ne trouve-t*on plus pour X qu'un symbole dénué de sens. Les symboles de ce genre s'appellent nombres négatif s, ^a^cce qu'il suffit, pour les former, d'affecter du signe — les nombres absolus ; et ces derniers combinés au signe-}- prennent par opposition le nom de nombres positifs.

Les nombres positifs et négatifs ne sont d'ailleurs pas les seuls qu'on soit obligé d'introduire en algèbre.

Veuton, par exemple, résoudre cet autre problème.

Trouver deux droites dont la somme soit a et la moyenne proportionnelle b.

L'équation a?* — aa; -{- ft* = o à laquelle on parvient alors, a pour racines les longueurs des droites cherchées. Mais ces racines ne sont des nombres qu'autant que b est au plus égal k-^a. Dans tout autre hypothèse, elles se réduisent à de purs symboles, auxquels on donne le nom d'expressions imaginaires, afin de les distinguer des nombres positifs et négatifs qui s'appellent collectivement nombres réels.

Ainsi, l'algèbre ne laisse pas que d'abandonner souvent le domaine des grandeurs pour s'engager dans les voies sans issue d'un symbolisme de pure convention. Mais, cette manière de procéder est-elle rigoureuse? Et lorsqu'on généralise une formule de géométrie en dehors du problème qui l'a donnée, s'est-on bien assuré d'avance que les propriétés de rétendue ne se prêtaient pas à l'extension mutuelle de ce problème et de son écriture algébrique. Il est, je crois, permis désormais d affirmer le contraire. Car on verra bientôt que, pour ramener à un même type une foule de problèmes fort différents en apparence et généraliser aussi bien que par les conventions algébriques la formule trouvée pour l'un

d'eux, il suffit de substituer aux grandeurs géométriques absolues telles

que les droites, les arcs, les angles, d'autres grandeurs de même

espèce, pouvant offrir deux sens ou deux modes opposés, puis d'exprimer ces nouvelles grandeurs par des nombres affectés de signes arbitraires, ou mieux par les symboles mêmes de Talgèbre. Il est vrai que de toutes les branches des mathématiques , la géométrie est peut-être la seule capable d'associer aux grandeurs réelles des grandeurs imaginaires de même espèce. Mais, qu'importe ? L'essentiel est qu'à chaque sjmbole algébrique elle sache opposer une de ses conceptions, puisqu'il en résultera nécessairement, un moyen de pousser la réforme cartésienne jusqu'à ses dernières conséquences. En effet, indépendamment de ce que le principe de la corrélation des figures recevra par là même une extension considérable, si les nombres réels ou imaginaires n'interviennent dans le calcul que comme expressions de grandeurs définies à priori, rien n'empêchera de faire servir les opérations dont ces grandeurs seront susceptibles à démontrer celles qu'on effectuera sur les nombres eux-mêmes. De plus, les formules algébriques, prises dans toute leur généralité, n'étant alors que l'écriture des propriétés de l'étendue, les racines des équations déduites de ces formules en y supposant toutes les lettres constantes, à l'exception d'une seule, ne cesseront évidemment jamais d'avoir une signification géométrique parfaitement déterminée. De là, par conséquent, la possibilité d'affranchir l'algèbre des règles conventionnelles et des obscurités qui la déparent. Or, on a vu que tel était le projet de Descartes. J'ai donné de plus à entendre que ce projet n'avait été qu'en partie réalisé. Revenons donc sur nos pas afin de reconnaître où s'est arrêtée la réforme cartésienne et ce qui restait à faire pour la compléter.

Cette réforme, je l'ai dit, tendait surtout à ne voir dans les formules algébriques que l'écriture d'opérations effectuées sur des droites. Mais, comme je vais le prouver, elle laissait régner une grande incertitude sur l'origine des nombres négatifs et celle des expressions imaginaires. De plus, elle ne remontait pas jusqu'à l'arithmétique et semblait par là vouloir élever entre cette science et l'algèbre une barrière peu naturelle. En même temps que je signalerai ces imperfections j'essaierai

d'en assigner les causes aussi bien que le remède, heureux si j'arrive de la sorte, a dégager la belle conception de Descartes des ombres qui la voilaient encore.

En premier lieu, l'extension de la réforme cartésienne à l'arithmétique semblerait impliquer contradiction. Car, s'il est aussi simple que naturel de regarder les nombres entiers, fractionnaires ou incommensurables comme l'expression d'autant de droites, il ne paraît guère possible de placer les opérations sur les droites avant les opérations numériques correspondantes, puisque les premières supposent la connaissance des lignes proportionnelles. Mais, ainsi qu'on le reconnaîtra plus loin, c'est par leur définition seule et non par les constructions qu'elles exigent que les opérations relatives aux droites servent à légitimer celles dont les nombres sont susceptibles : en sorte que l'emploi des lignes proportionnelles devient alors superflu. Cela est si vrai, du reste, que l'algèbre elle-même s'explique tout entière sans le secours des constructions de Descartes. J'ajouterai que la considération des droites et des opérations qu'elles comportent n'est pas seulement de nature à éclaircir les règles du calcul des nombres absolus, mais qu'elle devient, nécessaire quand il s'agit d'exposer avec rigueur la théorie des nombres incommensurables. S'il fallait apporter des preuves à l'appui de cette dernière assertion, je n'aurais qu'à citer nos meilleurs traités d'arithmétique où les opérations relatives aux nombres ne se définissent dans toute leur généralité qu'après celles qui concernent les grandeurs. Quant à Descartes, il laisse de côté ces questions élémentaires, tant il se hâte d'entrer au cœur de son sujet.

Aussi bien, qu'il y ait là de sa part oubli ou réticence, il n'y a certainement pas infraction à sa méthode. Mais on ne saurait plus en dire autant de la manière dont il envisage la question des nombres négatifs. C'est d'abord à peine, si, dans toute sa géométrie, il juge convenable de s'y arrêter un instant. « Souvent, remarque-t-il, à propos des « racines des équations, il arrive que quelques-unes de ces racines sont t fausses ou moindres que rien comme si x désigne le défaut d'une quan- « tité qui soit 5, on a a: -j- 5 = o. » Et là se bornent les détails qu'il donne à ce sujet. Cependant la question n'est pas tellement simple qu'il

puisse la trancher ainsi d'un seul mot. De plus, cette apparition si peu motivée des nombres négatifs n'est-elle pas en désaccord avec sa méthode ? S'il faut voir, en effet, dans les lettres des symboles représentant les droites, et dans les expressions a-^-b, a ^ b^,.. l'écriture d'opérations effectuées sur ces grandeurs, que devons-nous entendre par les défauts des quantités, ou, en d'autres termes, par les nombres négatifs? Sont*ils du domaine de l'arithmétique ? Évidemment non ; puisque celle-ci ne considérant que des nombres plus grands que zéro, n'effectue jamais de soustraction impossible. Est-ce de l'algèbre ou de la géométrie qu'ils tirent leur origine ? Loin de laisser subsister le moindre doute à cet égard, il serait bon de justifier jusqu'aux règles qu'on leur applique. Avant et depuis Descartes on ne les a vus se glisser en algèbre qu'à la faveur d'une convention portant sur des nombres ou des lettres et non sur des grandeurs ; les accepter sans autre explication n'est-ce pas, selon toute apparence^ leur assigner tacitement une pareille origine ? Or, Descartes ne peut le faire sans encourir le reproche d'abdiquer sa méthode. On asouvent dit, à la vérité, qu'au lieu.de rejeter comme inutiles les racines négatives des équations, il a su, le premier, les interpréter géométriquement. D'abord Tassertion n'est pas exacte : car, huit ans avant lui, d'après de Lalande (^), Albert Girard, dans un ouvrage ayant pour titre : Invention nouvelle en Algèbre^ montre l'usage des racines négatives en géométrie par ces mots : « La solution par moins « s'explique en géométrie en rétrogradant, et le moins recule où le plus « avance ; » ce dont il donne un exemple sur un problème qui conduit à une équation du quatrième degré où deux racines sont positives et deux négatives. Mais en admettant même que Descartes ne suive pas ici d'autre inspiration que la sienne, on ne peut rien en conclure relativement à la question qui nous occupe. Celle-ci ne consiste pas, en effet, dans rinterprétation de zt. a, par exemple, par une droite additive ou soustractive. Il s'agit avant tout de remonter à l'origina même des nombres de signes contraires et comme ces nombres servent de transi-

es) Histoire des Mathématiques, de Mohtucla, tome II, page 112.

tion entre Tarithmétique et ralgèbre, on ne saurait en établir trop nettement la théorie. Or, de toutes les voies à suivre pour atteindre ce but, celle qui semble mériter la préférence est précisément celle qui s'accorde le mieux avec la méthode cartésienne, puisqu'elle consiste d'abord à définir les accroissements positifs et négatifs d'une même grandeur puis à les exprimer numériquement. Il est donc naturel de s'attendre à voir Descartes adopter cette manière de procéder. Cependant plus on essaie de pénétrer sa pensée à ce sujet et plus on se persuade qu'il regarde les nombres négatifs comme de purs symboles amenés par les exigences du calcul, mais susceptibles de s'interpréter quelquefois dans les problèmes. Autrement, s'il en rattachait l'origine aux grandeurs elles-mêmes, ne le verraiton pas s'appuyer comme de coutume sur la considération des droites, montrer qu'elles peuvent offrir deux sens opposés, en distinguer par suite de positives et de négatives, exprimer convenablement les unes et les autres et conclure des opérations quelles comportent celles qu'on effectue sur les nombres de signes contraires. Mais rien dans sa géométrie ne décèle une tentative de ce g^nre. Au lieu d'aprofondir la question comme elle le mérite il l'effleure à peine et laisse planer sur elle une demi-obscurité que deux siècles de progrès n'ont pas encore dissipée. Bref, selon toute apparence, Descartes n'étend pas sa méthode aux nombres négatifs. Quant aux expressions imaginaires, il la leur applique si peu qu'il n'essaie même pas de leur assigner la moindre signification concrète.

Ainsi, la réforme cartésienne ne réalise pas tout ce qu'elle semblait promettre. Descartes entrevoit le but auquel on doit tendre ; il y marche d'abord d'un pas assuré ; puis soudain il perd le fil conducteur qui l'a si bien guidé jusqu'au milieu de sa route et finit par rentrer dans la voie commune. C'est d'ailleurs au début de la théorie des équations qu'il éprouve cette espèce de défaillance : c'est donc là qu'il faut chercher la cause de l'échec apparent de sa méthode.

Les opérations élémentaires, selon qu'elles procèdent par synthèse ou par analyse, se partagent comme on sait en deux groupes distincts. Les unes sont directes, les autres inverses, et les secondes découlent toujours des premières. C'est ainsi queTaddition, la multiplication et Télé-

vation aux puissances entraînent respectivement après elles la soustraction, la division et l'extraction des racines. Seule, la résolution des équations algébriques semble échapper à cette loi : car bien qu'elle offre tous les caractères d'une opération inverse, elle n'est pas en apparence précédée d'une opération directe. Cette dernière cependant, si peu qu'on la remarque, n'en existe pas moins. C'est la création des formules générales dont les équations proviennent.

Lorsqu'en étudiant les propriétés d'une figure de géométrie, par exemple, on découvre entre les grandeurs qui la composent certaine relation susceptible de se traduire par une identité numérique, et qu'on remplace dans celle-ci les nombres par des lettres en vue de se procurer une expression commune à toutes les identités numériques de même forme, on effectue l'opération directe qui nous occupe : on crée une formule générale. Si Ton suppose ensuite dans cette formule toutes les lettres constantes à l'exception d'une seule et qu'on cherche à déterminer la valeur de la lettre inconnue, on aborde l'opération inverse c'està-dire qu'on se donne une équation à résoudre. Pour atteindre ce nouveau but, on soumet les deux membres de l'équation à des opérations identiques, jusqu'à ce que l'inconnue se trouve isolée dans un membre, l'autre membre fournit alors la réponse à la question. Mais, qu'arrivet-il souvent? C'est que cet autre membre ne renfermant que l'indication d'un calcul impossible, l'inconnue cesse d'être un nombre absolu. A ne considérer que les nombres de cette dernière espèce, la première équation venue n'est donc pas toujours une identité numérique ; et, lorsque pour la résoudre on la regarde comme telle ; ce n'est qu'en vertu d'une convention qui entraîne à sa suite l'emploi des nombres négatifs et des expressions imaginaires. On peut encore, il est vrai, faire remonter rintroduction de ces purs symboles jusqu'aux premières opérations de l'algèbre, car il sufSt pour cela d'appliquer les règles du calcul à des

expressions telles que a — é, V o^ — 6* , sans se préoccuper des

valeurs données aux lettres qu'elles renferment. Mais quelle que soit la marche qu'on adopte à cet égard, on ne fait jamais qu'étendre une opération inverse au delà des bornes de l'opération directe correspondante : ce qui, pour n'être qu'une imperfection passagère de la science à

certaine phase de son développement, n'en blesse pas moins la saine logique.

Il est d'ailleurs facile de s'expliquer comment l'algèbre est entrée dans cette voie. En effet, pour définir d |>r»ori les nombres positifs et négatifs aussi bien que les expressions imaginaires, et préluder à la résolution des équations algébriques par la création de formules vraiment générales, l'algèbre ne pouvait guère s'inspirer que des propriétés de rétendue; et comme les progrès de la géométrie pure, du moins en ce qui regarde les lieux imaginaires, ne se sont élevés que de notre temps à la hauteur des siens, elle n'a trouvé que dans des conventions gratuites le moyen d'affranchir ses formules de toute espèce de restriction. Rien ne l'empêchait, cependant, d'employer déjà les nombres négatifs au même titre que les fractions et les puissances fractionnaires, tant l'analogie de ces diverses espèces de nombres était facile à saisir. Mais il fallait pour cela se garder d'obscurcir en les séparant mal à propos certaines notions qui , rapprochées les unes des autres, s'éclairent en quelque sorte d'un mutuel reflet. C'est pourquoi, même au risque de m'écarter sur ce point de Fopinion commune, j'aurai soin, dans ce qui va suivre, de réduire l'arithmétique à la théorie des nombres entiers et d'attribuer la création de tous les autres nombres à l'algèbre, si bien nommée par Newton l'arithmétique universelle.

On a l'habitude de dire qu'indépendamment de la substitution des lettres aux nombres, l'algèbre a pour caractère distinctif d'indiquer les opérations par signes au lieu de les effectuer à mesure qu'elles se présentent. Mais c'est là, ce me semble, une propriété qu'elle partage avec l'arithmétique. S'agit-il, en effet, d'additionner par exemple 6 à 20, puis de soustraire 8 du résultat, oU de multiplier 20 par 6 et de diviser le produit par 8; ou d'élever 20 à la 6* puissance et d'extraire la racine 8* de celle-ci? Je crois que l'arithmétique ne sort pas de son rôle en écrivant 20 + 6 — 8, ou ?5-^, ou v/ 20* ; et qu'elle peut même revendiquer les résultats de ces opérations successives tant qu'ils sont entiers. Mais qu'on vienne à voir dans la soustraction de 8 l'addition du nombre négatif — 8, dans la division par 8 la multiplication par le nombre fractionnaire -j , dans l'extraction de la racine 8% l'élévation à la puis-

sance -j- ; et c'est là seulement, si je ne me trompe, qu'on abandonne le domaine de rarithmétique pour entrer dans celui de Talgèbre. Alors des deux opérations successives que, dans chacun de ces exemples, Tarithmétique se proposait d'efifectuer, sur 20, il n'en reste qu'une, l'opération directe : seulement elle porte, non sur des nombres entiers, mais

on w a

sur des fonctions de ces nombres. C'est ainsi que 20 + ^ — ^> — g— et V 20* deviennent respectivement la somme de 20 et du polynôme 6 — 8 , le produit de 20 par la fraction -|- et la puissance -|- de 20. Il peut se faire d'ailleurs que polynômes, fractions, ou exposants fractionnaires se simplifient; mais lors même que ces expressions se réduisent à des nombres entiers absolus, ceux-ci, par opposition aux nombres négatifs, n'en restent pas moins implicitement afiectés du signe -f-. Ainsi, ce qui caractérise l'algèbre, au point de vue où je me place, c'est la nature même des nombres sur lesquels elle opère ; et si l'on ajoute qu'elle exprime ces nombres par des lettres, on aura fait connaître à mon avis les deux seules propriétés qui la distinguent de Tarithmétique.

Cette dernière en se bornant à la conception des nombres entiers ne doit attacher aucun sens à des expressions telles que 6 — 8, -|-et 20 * , puisqu'on ne saurait soustraire 8 de 6, ni trouver un nombre entier qui multiplié par 8 donne pour produit 6 et qu'enfin 20* n'est pas une 8* puissance. Mais quand l'algèbre persiste à regarder de pareilles expressions comme des nombres, ce n'est pas uniquement en vue de généraliser les opérations de l'arithmétique : c'est avant tout pour traduire en son langage certaines propriétés de la grandeur et combler une lacune qui remonte jusqu'à la numération elle-même.

Si la nature ne nous ofirait jamais que des collections d'êtres ou d'objets de même espèce, le nombre entier serait le seul nécessaire. Mais, comme les grandeurs qu»'il s'agit le plus souvent de soumettre au calcul, sont continues, c'est-à-dire susceptibles de croître par degrés insensibles, il est clair qu'on est loin de les avoir toutes mesurées, lorsqu'on a choisi pour unité l'une d'elles, et fait servir les nombres entiers à en exprimer les multiples. Car il reste à évaluer celles d'entre ces grandeurs qui n'ont, avec l'unité, qu'une commune mesure moindre qu'elle,

et celles qui n'en ont pas du tout. Afin d'exprimer les premières, on prend pour unité nouvelle et Ton nomme unité fractionnaire leur commune mesure avec l'unité ; si cette unité nouvelle est contenue n fois dans l'autre, on la représente par -i- , et ses multiples se traduisent par les fractions. Quant aux grandeurs qui n'ont pas de commune mesure avec l'unité primitive, elles servent à définir les nombres incommensurables, dont les puissances fractionnaires ne sont que des cas particuliers, et permettent de regarder ces nombres comme la limite commune de deux fractions susceptibles de se rapprocher indéfiniment l'une de l'autre. Ces premières modifications de l'idée de nombre ne sont donc bien amenées que par la nécessité d'exprimer aussi fidèlement que possible une des propriétés de la grandeur : savoir, la continuité.

r î T: Mais quand on est arrivé, par exemple,

^^' à traduire en nombre toutes les droites

commensurables et incommensurables prises à partir du point dans le sens OX, la continuité ne s'impose-t-elle pas au calculateur en lui donnant à mesurer les droites de sens OX'? On objectera que les mêmes nombres qui représentent les premières droites peuvent servir à exprimer les secondes. Encore faudrait-il, pour appuyer convenablement cette assertion, démontrer l'inutilité de tenir compte en algèbre des deux sens opposés que peuvent ofirir certaines grandeurs. Mais c'est ce qu'on ne fait pas : disons mieux, c*est ce qu'on ne saurait faire, car il s'agit moins en pareil cas de raisonner a priori que d'en appeler à l'expérience. La tendance continuelle des mathématiques, on le sait, est de généraliser, c'est-à-dire de grouper le plus grand nombre possible de faits particuliers dans un même énoncé, puis dans une même formule. Or, si pour atteindre ce but suprême, il faut de toute rigueur encombrer l'algèbre de symboles dénués de sens et de règles conventionnelles, qu'on s'en tienne aux nombres absolus dans l'évaluation des grandeurs, rien de mieux ! Mais s'il est possible au contraire d'établir sur les considérations géométriques les plus simples, une théorie parfaitement rigoureuse des nombres positifs ou négatifs et même des expressions imaginaires; si de plus la géométrie pure ne fait que gagner à ce changement, quelle raison sérieuse alléguerait-on pour s'en tenir encore à l'ancienne

méthode ? La question se réduit donc à faire voir que l'algèbre, loin d'être forcée de recourir à remploi d'êtres de raison pour généraliser ses formules, peut y parvenir d'une manière à la fois plus rationnelle, plus féconde et plus simple en continuant de s'appuyer, comme le voulait Descartes, sur la seule conception de la ligne droite. Tel est le but que je crois avoir atteint dans la seconde partie de ce mémoire

Cette seconde partie, n'est qu'un résumé des principales définitions d'arithmétique et d'algèbre, calqué sur une note du cours d'analyse de Cauchy. Le mieux eût peut-être été d'y parler, dès la numération, des nombres négatifs, des fractions et même des nombres imaginaires, puis de montrer que les signes de ces diverses fonctions du nombre entier devaient être plus tard ceux de la soustraction, de la division et de certaines racines ; mais pour ne pas trop m'écarter sur ce point des idées reçues, j'ai préféré ne faire intervenir chaque symbole algébrique qu'après les opérations successives qui le rendaient nécessaire.

Pour ce qui est des nombres de signes contraires, j'en établis la théo rie sur la définition précise des droites positives ou négatives et des opérations qu'elles comportent, d'où il suit que j'arrive à démontrer facilement les règles des signes, règles jusqu'ici, comme on sait, purement conventionnelles. Je fais voir ensuite que la géométrie ne gagne pas moins que l'algèbre à cette extension de la méthode cartésienne, en ce sens qu'il lui est, dès lors, possible de réunir en un seul groupe des figures assez différentes au premier abord, et de les exprimer par une même formule : ce qui revient à fonder le principe de la Corrélation des figures sur d'autres considérations que celles qu'a essayé de faire prévaloir Camot. Enfin, comme je subordonne à la création des formules générales la résolution des équations algébriques, je n'ai pas de peine à montrer que les solutions positives ou négatives de celles-ci ne cessent jamais d'avoir une signification concrète bien déterminée.

Mais, après ces premières difficultés, s'en présentaient d'autres plus sérieuses, réputées même insurmontables. Il fallait, en effet, opposer aux droites réelles, des droites imaginaires ayant leurs caractères propres ; fonder sur les opérations dont les unes et les autres étaient susceptibles, les règles du calcul des nombres de modes quelconques, et demander à

la géométrie des formules aussi générales que les équations algébriques les plus compliquées, afin de pouvoir toujours regarder la résolution des unes comme inverse de la création des autres.

Impossible de le nier d'ailleurs : parmi toutes les conceptions géométriques usitées jusqu'à ce jour, aucune ne pouvait satisfaire entièrement aux conditions requises, pas même celle des quantités complexes. Le problème à résoudre impliquait, en effet, et la construction avec leurs modes respectifs de toutes les parties d'une figure de géométrie supérieure, et l'extension du système de coordonnées de Descartes, au cas de variables imaginaires ou mixtes. C'étaient là deux épreuves décisives dont la solution proposée devait sortir victorieuse. Or, en admettant même que les quantités complexes permettent de démontrer à priori les premières règles du calcul algébrique, on est bien forcé de reconnaître que ces sortes de grandeurs ne se prêtent pas à la construction des branches ou des nappes imaginaires d'un lieu. De là leur insuflSsance dans la question qui nous occupe.

Il est juste de dire cependant que loin de compliquer cette question les deux épreuves, dont je viens de parler, étaient plutôt de nature à faire découvrir aux géomètres le moyen de la résoudre. En effet, la pratique du système de coordonnées de Descartes ne pouvait manquer de suggérer tôt ou tard cette réflexion, que l'ordonnée de la circonférence, en devenant imaginaire, prend les mêmes valeurs absolues que celle de l'hyperbole équilatère conjuguée : et de là à comparer les deux courbes ; puis, leur analogie dûment constatée, à essayer d'en faire deux branches d'un même lieu, la pente était si naturelle qu'on ne devait pas hésiter à la suivre. Aussi, parmi ceux qui se sont préoccupés du rôle des imaginaires, soit en géométrie supérieure, soit dans le système de coordonnées de Descartes, en est-il beaucoup qui cherchèrent à atteindre ce but. J'ajouterai que la voie qu'ils inauguraient ainsi, loin d'être sans issue, comme on le croit encore, était .probablement la seule qui pût conduire à la solution complète du problème.

Vincent Ricatti, puis Lambert, semblent s'être aperçu les premiers des analogies que présentent l'hyperbole équilatère et la circonférence ; ils en firent, comme on sait, la base d'une trigonométrie nouvelle, ayant

pour objet les fonctions hyperboliques. Plus tard, Carnot, dans ses ouvrages de mathématiques, revint à plusieurs reprises sur la comparaison des mêmes courbes ; mais sa théorie des quantités directes et inverses, ne lui permit d'établir entre elles qu'une corrélation fort imparfaite. Enfin, grâce à la conception des cordes idéales , Poncelet fit faire à la question un pas important; car il sut deviner comme par une sorte d'intuition naturelle au génie la forme des branches imaginaires de la circonférence, en conclut sa belle théorie des coniques supplémentaires et put agrandir ainsi le champ des spéculations géométriques. Mais son procédé, comme il en convient du reste, lui-même, ne consistait qu'en de simples rapprochements entre des courbes réelles. Les points, les lignes imaginaires ne Tétaient que de nom : entre ces points, ces lignes et les éléments réels d'une figure quelconque il n'y avait pas de connexion possible. En un mot tout lieu géométrique formé de parties, les unes réelles, les autres soi-disant imaginaires, manquait nécessairement d'unité. La même remarque s'applique, aux travaux plus récents de M. Marie. On sait, que ce dernier géomètre, a pu retrouver les coniques supplémentaires en coordonnées rectilignes, et même étendre cette conception aux courbes de degré supérieur. Mais, comment y parvient-il? En représentant par des droites réelles les valeurs imaginaires ou mixtes dp.s variables. C'est donc en vain que les rapprochements les plus ingénieux se multiplient dans ses remarquables mémoires ; la question n'y fait en définitive aucun progrès décisif. On peut même dire que la doctrine des quantités complexes ofi*re sur le mode de construction adopté par M. Marie l'avantage de distinguer nettement les droites imaginaires des droites réelles.

Je n'ai pas besoin de dire avec quelle défiance de mes forces j'abordais, il y aplus de quinze ans, ces questions ardues. Mais je dois ajouter qu'une conception simple, à laquelle personne avant moi ne paraît avoir songé, m'a peu à peu donné l'espoir de les résoudre.

Cette conception consiste à regarder tout point géométrique comme étant formé de deux points ordinaires que j'appelle ses composantes. Un point géométrique est réel tant que ses composantes coïncident, mais dès qu'elles se séparent il devient imaginaire ; en sorte qu'un point imaginaire existe au même titre qu'un point réel, et ne peut se confondre

avec lui. Deux points imaginaires sont d'ailleurs conjugués quand la première composante de l'un est la seconde composante de l'autre et réciproquement. Telles senties définitions nouvelles que je propose d'introduire d'abord en géométrie puis en algèbre, afin d'achever la réforme si heureusement commencée par Descartes.

Comment ces définitions permettent- elles de rattacher intimement la géométrie supérieure à l'analyse ancienne? ce n'est pas ici le lieu de le dire. Mais quel usage en peut-on faire pour élucider les principes d'algèbre? c'est ce que je vais indiquer rapidement en rendant compte de la manière dont je termine la seconde partie de ce mémoire.

De la conception des points de modes contraires je passe sans peine à celle de droites réelles, imaginaires ou mixtes; puis, je définis l'égalité et la somme de deux droites quelconques et j'en conclus la possibilité de soumettre ces grandeurs à toutes les opérations élémentaires. J'exprime ensuite les droites de chaque mode par des symboles convenables appelés les uns nombres réels , les autres nombres imaginaires et je fais découler les règles relatives à ces nombres des opérations effectuées sur les grandeurs mêmes qu'ils représentent. Etant parvenu de la sorte à considérer des proportions géométriques soit entre des droites quelconques, soit entre les nombres qui les expriment, je montre comment ces proportions conduisent aux équations du premier ou du second degré à une inconnue ; puis je prouve que réciproquement la résolution de toute équation de degré moindre que le troisième se ramène à la recherche soit d'une quatrième proportionnelle à trois droites, soit d'une moyenne proportionnelle entre deux droites de modes quelconques ; et, comme les équations des deux premiers degrés servent à former toutes les autres, il faut bien en conclure que celles-ci n'admettent pas d'autres solutions que les nombres réels, imaginaires ou mixtes, tels que je les ai définis. L'algèbre, sans raisonner sur d'autres grandeurs que des droites, se trouve donc par là complètement affranchie des êtres de raison et des règles conventionnelles qui, selon l'expression de Descartes, en faisaient un art confus et obscur. Mais là ne se bornent pas les avantages que présente l'emploi des droites, de modes quelconques. Celles-ci peuvent en effet remplir l'office de coordonnées rectilignes,

et, à ce titre, elles permettent non- seulement de cpnstruire d'une manière complète le lieu d'une équation à deux ou trois variables, mais encore de déterminer graphiquement et par des procédés uniformes toutes les racines d'une équation à une seule inconnue : ce .qui forme comme le couronnement de la géométrie cartésienne. Si j'ajoute enfin que ces mêmes droites se prêtent aussi bien à l'étude des fonctions hyperboliques qu'à celle des fonctions circulaires, et qu'elles paraissent devoir soutenir la concurrence avec les quantités complexes, soit pour l'interprétation des périodes des intégrales, soit dans la recherche des propriétés des fonctions, j'aurai, je pense, fait assez pressentir l'étendue des services qu'elles sont appelées à rendre en algèbre.