DÉFINITIONS D'ARITHMÉTIQUE ET D'ALGÈBRE
SOMMAIRE : Grandeurs, leur mesure. — LVithmétique est la science des nombres entiers. — L'algèbre exprime les propriétés de la grandeur continue à Taide de fonctions du nombre entier. — Addition. — Soustraction. — Opérations successives. — Droites positives et négatives. — Nombres de signes contraires. — Addition algébrique. — Somme algébrique de droites. — Polynômes. — Soustraction algébrique. — Reste et Rapport par différence. — Proportions et Progressions arithmétiques. — Multiplication. — Division. — Opérations successives. — Fractions. — Nombres incommensurables. — Multiplication algébrique. — Division algébrique. — Quotient et Rapport par quotient. — Proportions et progressions géométriques. — Impossibilité de trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites de sens contraires. — Définition des points réels et imaginaires. — Droites de modes quelconques. — Opérations qu'elles comportent. — Conséquences qui en résultent pour le calcul des nombres imaginaires. — Moyens égaux ou symétriques entre deux droites quelconques. — Puissances. — - Racines. — Opérations successives. — Puissances et racines algébriques. — Formules générales et équations. — Les solutions des équations algébriques ne sont autres que les nombres réels ou imaginaires définis précédemment. — Examen de quelques problèmes de géométrie résolus par l'algèbre. — Conversion des droites réelles ou imaginaires en quantités complexes.
Une grandeur est du domaine des mathématiques dès qu'on sait définir Yégalité et la somme de deux grandeurs de cette espèce. On l'appelle alors grandeur mesurable.
Une droite, par exemple, est une grandeur mesurable, puisqu'on sait définir l'égalité et la somme de deux droites.
Une somme dont toutes les parties sont égales est un multiple de l'une d'elles ; et celle-ci est un sous-multiple ou une partie aliquote de la somme.
Afin de comparer plus facilement entre elles les grandeurs de même
espèce, on les rapporte toutes à Tune d'elles prise pour terme de comparaison: celle-ci s'appelle unité, L*unité et ses multiples nous donnent ridée du nombre entier. Le premier des nombres entiers s'appelle unité comme la grandeur qu'il exprime.
L'Arithmétique est la science des nombres entiers: elle se divise en deux parties : numération et calcul,
La numération a pour but de former, unité par unité, les nombres entiers, de les nommer tous à l'aide de quelques mots et de les écrire tous à l'aide de quelques caractères appelés chififres.
Le calcul est la partie de l'arithmétique qui sert à former et à décomposer les nombres au moyen de procédés plus rapides que celui de la numération. Ces procédés se nomment opérations élémentaires.
Les opérations élémentaires sont au nombre de six, savoir : addition , soustraction , multiplication , division , élévation aux puissances , extraction des racines. Toutes sont l'écriture d'opérations analogues effectuées sur des droites; mais il est plus simple d'appliquer les deux dernières aux nombres seulement. Enfin, l'addition, la mul-' tiplication et l'élévation aux puissances sont des opérations directes ou synthétiques, et chacune d'elles est suivie de l'opération inverse.
h' Algèbre, loin de se borner comme l'arithmétique à l'expression de l'unité et de ses multiples, s'attache à traduire aussi fidèlement que possible les propriétés de la grandeur continue. Elle crée à cet effet des combinaisons de nombres entiers et de signes en leur donnant les noms de nombres positifs , négatifs , fractionnaires , incommensurables , imaginaires,... puis, elle représente ces nouveaux nombres par des lettres et les soumet à leur tour aux six opérations élémentaires.
