AC = CE = AC (AC - 2AD) = ÂC' — 2ACXAD

Donc enfin

BC' - ÂB' = ÂC' - 2AC X AD ou

GC' = ÂB'+ ÂC' — 2AC X AD.

Dans le cas ou AB serait plus grand que BC,' le théorème se démontrerait de même à Taide des sécantes issues d'un point intérieur à la circonférence.

Si l'angle A était droit ou obtus, la construction précédente donnerait

BC' = ÂB' + ÂC' ou

BC' = ÂB' + ÂC' + 2AC X AD.

Mais dès qu'on tient compte du sens de la projection AD en même temps que de sa Iqngueur, laquelle peut du reste être nulle, ces dernières relations ne sont plus que des cas particuliers de la première.

Ainsi, malgré son incontestable utilité dans d'autres circonstances, la similitude peut sans inconvénient faire place à la conception d'Arnaud de Port-Royal, c'est-à-dire aux sécantes antiparallèles, lorsqu'il s'agit de trouver les propriétés métriques des triangles.

Il rest6 maintenant à étendre ces mêmes propriétés aux triangles dont les sommets ou les côtés sont imaginaires. Mais on ne saurait construire ces sortes de figures avant d^avoir généralisé la définition de la circonférence et celle de la distance de deux points.

Il est une courbe qui présente avec la circonférence de nombreuses analogies; c'est Thyperbole équilatère. On peut la définir une courbe telle que les perpendiculaires abaissées de ses points sur une droite fixe sont égales aux distances de leurs pieds à un point fixe.

Soient donc A et BB' le point et la droite fixes qui servent à définir rhyperbole {fig. 39).

Si Ton mène AO perpendiculaire à BB', il est clair que A est un point de la courbe, et l'on peut en dire autant de son symétrique A' par rapport à BB'. De même en tirant la droite quelconque AL, puis en rabattant cette droite suivant LD ou LD' sur la parallèle menée par le point L à AA', on a deux nouveaux points de l'hyperbole. Bref, on voit sans plus d examen que cette courbe à deux branches infinies symétriques par rapport aux droites AA' et BB'. Le point d'intersection de ces droites est le centre de l'hyperbole, et la droite OA en est le demi-nxe ou rayon.

Si Ton désigne le rayon OA par r, la droite OL = DE par y et AL = LD = OE par x, le triangle rectangle OAL donne

pour réquation de la courbe.

Admettons maintenant que le rayon OA devienne nul, ou que le point A se confonde avec le point 0, l'hyperbole équilatère se réduit alors au système de deux droites rectangulaires qui sont les bisectrices des angles formés par les axes AA' et BB'. En effet, on a bien pour tout point H de ce système la relation HL = OL. C'est d'après cette considération que le système de deux droites réelles se coupant à angle droit s'appellera dorénavent hyperbole équilatère infiniment petite. L'équation de cette ligne est

On reconnaît facilement d'ailleurs que la distance DP {fig,S9) d'un point de rhyperbole AA' à la droite OH est susceptible de décroître indéfiniment à mesure que le point D s'éloigne de A.

En effet, on a DP < DH. Mais si du point L comme centre, avec LO pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe AL aux points I et K, il vient

AI X AK = ÂÔ'

et comme AK est susceptible de croître au delà de toute limite, il est clair que AI ou DH, et, à plus forte raison, DP, peuvent décroître indéfiniment, mais sans devenir jamais nulles. De là le nom d'asymptotes de riiyperbole équilatère donné aux droites OH et OH'.

Cela posé, les cordes parallèles MM', mm\ du système formé par les asymptotes ont leurs milieux, N, n, sur une droite OC, issue du centre, et qui se nomme leur diamètre conjugué. En circonscrivant un cercle au triangle rectangle OMM' on reconnaît de plus que deux directions conjuguées, telles que la corde MM' et son diamètre ON font avec Taxe A.V des angles complémentaires. Mais on démontre sans peine que les

droites menées dans une direction quelconque d'un point de l'hyperbole à ses asymptotes sont réciproques à leurs parallèles menées de tout autre point de la courbe à ces mêmes asymptotes. De là il résulte que :

1* Le diamètre conjugué des cordes parallèles à DD' est OC.

En effet, de l'égalité

DMxDM' = D'M'xD'M on tire, eu égard à la valeur du produit de deux droites.

DM = D'M'

2* L'équation de l'hyperbole relativement au diamètre OC = r' et à la direction conjuguée Diy est de même forme que celle de la courbe rapportée à son axe.

Caria droite TCT tangente en C à l'hyperbole étant parallèle à MM on a

DM X DM' = CT X Cr

ou, comme DM et DM' ont pour demi-somme DN et pour demi-différence NM,