QR0---~QR

et, comme d'après les propriétés absolues de l'hyperbole BK on a

on en conclut

(3) (QRi)a = (— OQ* + A) (— OQt + OA')

relation de même forme que (1) et (2).

Enfin, on verrait sans peine que toutes les ellipses tangentes et concentriques aux deux hyperboles s'expriment d'une manière analogue, à la condition toutefois de regarder comme imaginaires leurs ordonnées parallèles au diamètre de contact avec 6B', comme réelles les distances de leurs pieds aux extrémités du diamètre conjugué, de projeter ces diverses droites sur les axes AA' et BB', et de chercher le rapport des projections ainsi obtenues.

Concluons de là que l'hyperbole équilatère étant définie, une courbe dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre les distances de son pied à deux points fixes situés sur l'axe conjugué de sa direction n'est pas moins susceptible de généralisation que la circonférence. On voit aussi qu'il suffit de désigner le rayon de la courbe par r, son ordonnée réelle, imaginaire ou mixte par y, et la demi-somme des distances de son pied aux sommets correspondants par x pour en conclure Téquation

de cette courbe.

Comme la circonférence, l'hyperbole équilatère off're diverses particularités suivant le mode de son rayon ou de son centre, et Ton sait que projetée sur un plan elle donne naissance à l'hyperbole quelconque.

On voit déjà par ces exemples que la conception des droites de modes contraires peut être d'un utile secours en géométrie supérieure, soit qu'elle permette de remplacer les coniques et leurs supplémentaires par de véritables lieux géométriques ofirant toute l'unité désirable, soit qu'elle conduise à des constructions regardées jusqu'à présent comme

impossibles, telles que la description d'une circonférence de rayon ou de centre imaginaire. Cette même conception s'applique également aux courbes de degré quelconque : de plus en se prêtant à des démonstrations fondées sur la considération des figures elles-mêmes, elle permet de rattacher complètement la géométrie supérieure à l'analyse ancienne. C'est ce que je vais indiquer en peu de mots.

Je prendrai pour exemple le cas d'une circonférence et d'une droite qui ne se rencontrent qu'en deux points imaginaires.

Soient donc et MN la circonférence et la droite données ; la corde commune à ces deux lignes ne peut avoir d'autre direction que MN ; le diamètre conjugué de cette direction pour la circonférence est OP perpendiculaire à MN. Donc P est le milieu de la Tij.lB '^ corde commune. Quant aux extrémités de

cette corde elles sont les intersections de MN avec la branche hyperbolique de rayon OA. Inutile d'ailleurs de construire cette branche pour déterminer les points d'intersection cherchés ; car il suffit pour cela de prendre PO' = OA, puis de décrire du point 0' comme centre avec un rayon égal à OP un arc de circonférence qui coupe MN aux points B,B'; et les points imaginaires (B,B') et (B',B) sont, d'après les propriétés de l'hyperbole équilatère, les points d'intersection demandés.

On sait que le produit des sécantes menées du point N à la circonférence est constant, et que NC étant une tangente à la circonférence et NEF une sécante diamétrale, on a en particulier.

NE X NF = NC'

si l'oii mène le rayon de contact OC ainsi que la perpendiculaire CG à OF on sait aussi que ces droites antiparallèles donnent

Wr = NG X NO

en sorte que NO étant la demi-somme des droites NE, NF, leur moyenne harmonique est NG. Ces propriétés subsistent pour les points (B,B')et(B\B),

En effet, on a d'abord pour le produit des distances du point N à ces deux points