PB' = OP' - OA

Donc

(NP + PBi) (NP + PB'O = NP' + ÔP' — ÔÂ'

= N(3'— UÂ'

= NExNF

="Kc'

soit de plus G' le point d'intersection de CG avec MN, les antiparallèles OP et GG' donnent

NPxNG'= NOxNG

= NC'

= (NP + PBi) (NP + PB'i)

et, comme NP est la demi-somme des distances du point N aux points (B, B) et (B',B), il en résulte que NG' est la moyenne harmonique de ces mêmes distances, ou que G' est le conjugué harmonique de N à l'égard des points (B, B) et (B', B): ce qu'il fallait démontrer. La droite CG', lieu des points harmoniques conjugués de N par rapport à la circonférence G est, comme on sait, la Polaire de ce point.

Toutes les circonférences passant par les points imaginaires conjugués (M, M') et (M',M) (fig. 50) ont leurs centres C, C, sur la perpendiculaire élevée par l'origine G à la droite PP', direction de leur corde commune.

Fig. 50 p rence C on a

Pour plus de brièveté je les appelle avec Poncelet circonférences de la suite C. Parmi elles, il en est deux qui sont infiniment petites, ce sont celles qui ont pour centres les points K et L obtenus en rabattant OM suivant OK et OL sur ce.

Si d'un point quelconque P de la droite PF on mène la tangente PQ à la circonfé-

PQ' = (PO + OMi) (PO + OM'i)

et, comme cette même relation a lieu pour toutes les circonférences de la suite U, on en conclut que la droite PP est Taxe radical de ces courbes, c'est-à-dire le lieu des points d'où l'on peut leur mener des tangentes égales.

Si l'on observe maintenant que

(PO + OMî) (PO + OM'i) = PO + OM

= pk'

on voit que toutes les circonférences aj'ant leur centre sur PP', et qu'il convient d'appeler circonférences de la suite P passent par les points K, L, qui ne sont autres que les foiniz limites considérés par Poncelet. Ainsi, se trouvent directement établies des propositions auxquelles l'illustre auteur du Traité des propriétés projectives des figures n'arrive en quelque sorte que par des chemins détournés.

Il y a plus, les propriétés qu'on vient de reconnaître aux circonférences de la suite C appartiennent également à celles de la suite P.

Bn plumier lieu, si du point quelconque C de CCon mène la tangente CH à la circonférence P, on a