PN X NS = PS X AB

= cx—

L ordonnée y = PN + NS* étant ainsi déterminée, on construira le point (E,^), aussi bien que son symétrique (F,F') et la même construction fournira do plus les points {E,E) et (FF,) qui répondent à

X = OP + PQ't = - (a + bi)

On voit d'ailleurs que pour obtenir la conjuguée B tout entière, il suffira de déterminer les intersections de la circonférence avec une droite mobile parallèle à EE', c'est-à-dire d'assigner à x des valeurs mixtes d'une forme convenable. Quant aux autres conjuguées du lieu elles se trouveront par le même procédé.

Les constructions précédentes et toutes celles du même genre perdraient de leur utilité si elles ne se trouvaient compatibles avec le changement d'axes. Mais on se convaincra facilement que les droites imaginaires ou mixtes se prêtent aussi bien que les droites réelles à une pareille transformation. Je dois néanmoins ici faire une remarque importante.

On vient de voir que, dans la construction d'un lieu, les valeurs de

l'abscisse sont complètement arbitraires tant qu*e11es sont réelles, mais quMl est indispensable de les assujettir à certaines conditions lorsqu'elles sont mixtes. C'est ainsi que pour obtenir sur une droite toutes les cordes imaginaires ayant le même centre réel, on ne fait varier que la partie imaginaire de l'abscisse, et que pour trouver les conjuguées d'une circonférence réelle, on n'assigne à cette abscisse que des valeurs mixtes ayant entre elles un rapport déterminé. La raison de ce fait est facile fi découvrir.

Admettons, en effet, qu'après avoir construit dans le système rectan^ gulaire xx', yy\ la circonférence réelle et sa conjuguée A, représentées l'une et l'autre par l'équation

on adopte pour nouveaux axes rectangulaires les droites ar^^V y^y'i, dont la première fait avec xx' l'angle x^ ox = a. Dans l'équation résultante F (x^, y^=o, l'abscisse x< n'est au fond qu'une fonction de x et de y déterminée par la relation

X| = X cos a — y, sin «.

En sorte que si l'on se donne x = OP, par exemple, et qu'on mène les anciennes ordonnées PC, PD, ainsi que les perpendiculaires CC, DD', à x^x^\ les valeurs correspondantes de x^ sont OC et CD'. Tant que ces nouvelles abscisses sont réelles, il n'y a pas d'inconvénient à regarder X| comme une variable indépendante, et c'est là ce qu'on fait d'habitude. Mais qu'on suppose à x une valeur OQ telle que les ordonnées correspondantes QE/, QE7 soient imaginaires, et la question change de face, puisque la formule

X, i= X COS a — y sin a

donnant alors pour x^ des valeurs do la forme « + ?h dans lesquelles « etjS ne sont pas arbitraires, on n'est plus en droit de regarder x^ comme une variable entièrement indépendante. Mais ce qu'on vient de dire de x^ s'applique également à la variable xde l'équation

De là cette conclusion que, si les valeurs d'une variable indépendante sont parfaitement arbitraires tant qu'elles sont réelles, il ne saurait en être de même, en coordonnées rectilignes, quand ces valeurs ;sont mixtes. Aussi, l'étude des fonctions de variables imaginaires telles que les considère Cauchy, ne semble-t-elle être qu'un cas particulier de la recherche des propriétés des fonctions dans lesquelles les variables se remplacent par des fonctions linéaires d'autres variables.

Peut-être n'est-il pas inutile de montrer par un exemple combien on risque de se tromper lorsque, dans l'équation d'un lieu géométrique, on assigne à la variable indépendante une suite de valeurs arbitraires autres que des valeurs réelles.

Soit donc

y2 = 2px

l'équation d'un certain lieu. Les valeurs de y qui vérifient cette équation sont réelles pour toute valeur réelle de x de même signe que p et donnent la parabole AOA' ; elles sont imaginaires pour toute valeur réelle de x de signe contraire à p et donnent la parabole BOB'. Si l'on ne connaissait les propriétés de la parabole AOA' ,' pour trouver chacune de ses autres conjuguées, on déterminerait, par exemple, les intersections successives du lieu avec une droite quelconque glissant parallèlement à elle-même. Mais on sait que ces conjuguées sont toutes des paraboles tangentes à la branche réelle, ayant pour diamètres les parallèles à xx' passant par leur point de contact avec cette dernière^ et pour cordes les

Fîgr.63

droites- imaginaires conjuguées de ce diamètre ; on en conclut que les abscisses correspondantes sont toutes de la forme a -f- j3t. Cependant, sur chacune des conjuguées de AOÂ\ il existe deux points dont les abscisses sont purement imaginaires, ce sont les extrémités des cordes dont les centres réels sont situés sur y\f. Or, en assignant de prime-abord à la variable x des valeurs de la forme |9t, on eût obtenu le lieu de ces points qui se distingue des conjuguées de ÂOÂ' en ce que ses cordes ne sont plus parallèles.

La question de la distance de deux points vient immédiatement après celle des changements d'axes ; elle n'offre pas plus de difficultés que cette dernière, pourvu qu'on entende, comme on l'a fait dans le chapitre précédent, par distance de deux points quelconques le rayon de la circonférence ayant pour centre l'un de ces points et passant par l'autre. C'est ainsi qu'en désignant par d la distance des points considérés, par r, y, les coordonnées du premier et para;', y\ celles du second, on a constamment la relation

pour des axes rectangulaires, et la formule analogue connue pour des axes quelconques.

Je n'ai pas à m'étendre ici sur la détermination du centre, des diamètres, des tangentes, des asymptotes, etc., du lieu d'une équation algébrique ou transcendante à deux variables, et la raison en est que les considérations relatives à ces divers problèmes s'appliquent à des coordonnées imaginaires ou mixtes aussi bien qu'à des coordonnées réelles. Mais il est d'autres questions qui demandent plus de développements : ce sont la définition et la mesure des angles de modes quelconques, la généralisation des formules de la trigonométrie rectiligne, la détermination de l'aire réelle, imaginaire ou mixte comprise entre un arc de courbe, ses ordonnées extrêmes et l'axe des abscisses; enfin, les conséquences qui peuvent résulter de cette détermination pour Tétude des propriétés des intégrales définies. Comme toutes ces questions se rattachent plus ou moins directement à la mesure des aires planes de modes quelconques, j'insisterai particulièrement sur cette mesure.

Soient a?j/, yy'y deux axes rectangulaires. Si l'on porte à partir de Forigine les longueurs OP = OP' = a, OQ = OQ' = 6, les premières sur Taxe des x, les secondes sur Taxe des y, et que par les points P, Q, P^ Q', on mène à ces axes des parallèles qui se coupent mutuellement aux points M,M', M', M'^jOn saitqueles quatre rectangles ainsi formés autour du point sont positifs ou négatifs en raison de leur situation par rapport aux axes. Ainsi, le premier de ces rectangles, OM, est positif comme ayant sss dimensions OP, OQ positives, et il en est de même de OM" dont les dimensions sont négatives, tandis que OM' et OM'" qui ont leurs dimensions do sens contraires sont l'un et l'autre négatifs. Or, puisqu'on a déjà reconnu la nécessité de substituer aux aires absolues des aires positives ou négatives, n'est-il pas rationnel de chercher à concevoir des aires imaginaires ou mixtes ? Cette nouvelle conception est-elle possible, et, s'il en est ainsi, est-elle de nature à rendre d'utiles services? Tels sont les deux points que je vais tâcher d'éclaircir.

La réponse à la première question est facile. En effet, rien n'empêche do prendre pour dimensions d'un rectangle les droites réelles ou imaginaires telles que je les ai définies.

Qu'on fasse glisser, par exemple la droite réelle OQ ifig.M) parallèlement à yy', de telle sorte que les composantes de son origine décrivent les composantes de même ordre de la droite réelle OP, et l'on obtiendra le rectangle OP formé de deux nappes superposées. De même, en faisant glisser OQ, toujours parallèlement à yy\ mais do manière à ce que les composantes de son origine décrivent, la première OP, la seconde, OP', on aura le rectangle (M, M') formé de deux nappes adjacentes dont la première est OM. Enfin, si la droite imaginaire OQs tout en restant parallèle à yy', glisse de façon que les composantes de son origined écrivent, la première, OP, la seconde, OP', elle engendrera le rectangle (M,M"), formé de deux nappes symétriques, par rapport à l'origine 0,

et dont la première est OM. Il est d*ailleurs évident que tous les autres rectangles ayant des dimensions réelles ou imaginaires se rattacheront à l'un de ces trois types.

Voyons maintenant si ces rectangles d*un nouveau genre sont, comme les droites, susceptibles de présenter deux modes contraires, et s*il est possible dans ce cas de concilier leur mesure avec les règles du calcul algébrique.

Rien ne s'oppose d'abord à ce qu'on regarde comme réels les rectangles OM, OM', OM'', OM"', formés chacun de deux nappes superposées et dont les dimensions sont réelles. Mais, parmi les autres rectangle^ groupés auteur de l'origine 0, quels sont ceux qu'il faut assimiler à ces rectangles réels, et ceux qu'on doit regarder comme imaginaires. Ce n'est guère qu'en prenant l'analogie pour guide qu'on peut avoir chance de répondre à cette question.

On sait que les composantes d'une droite, tout en gardant la même direction ou des directions parallèles se séparent souvent l'une de l'autre. Pour juger alors du mode de la droite, il n'est pas de meilleur moyen que d'assigner à ces composantes, une origine réelle, et de voir si elles sont de nature à se superposer ou à rester symétriques. Or, les nappes OM, OM', OM" se prêtent évidemment à une épreuve analogue pourvu qu'on les assujettisse à demeurer dans le plan des axes. Car en les faisant tourner toutes autour de l'origine, à l'exception d'une seule, on trouve que dès qu'elles ont une dimension commune avec cette dernière, elles coïncident avec elle ou lui .sont symétriques. C'est ainsi qu'une demi-rotation autour de l'origine amène OM", par exemple, en coïncidence avec OM, tandis que OM', OM'", restent en pareil cas symétriques de cette dernière nappe par rapport à l'un des axes.

11 semble d'après cela qu'on doive distinguer nettement les rectangles dont les nappes sont superposées ou superposables par rotation de ceux qui n'ont que des nappes symétriques. C'est ce que je vais faire en appelant les premiers rectangles réels, et les seconds, rectangles imaginaires. Mais pour que cette distinction soit fondée, il faut qu'on la trouve plus tard en harmonie avec les règles du calcul algébrique ; sinon force sera de la rejeter.

D'après les définitions précédentes, tout rectangle réel a ses dimen-

sions de même mode, et le contraire a lieu pour un rectangle imaginaire. D'où il suit que le mode d'un rectangle change avec celui d'une de ses dimensions. C'est ainsi qu'en remplaçant OP par OPt, on passe du rectangle réel OM au rectangle imaginaire (M, M'); de même le changement de OQ en OQi conduit du rectangle OM au rectangle imaginaire (MjM'^), et l'on verra sans peine qu'on poursuivant de l'une ou l'autre façon on finit toujours par revenir au rectangle OM.

Il est naturel de prendre pour première composante d'un rectangle celle qui répond aux premières composantes de ses dimensions ; et rien n'empêche qu'il en soit encore ainsi quand le rectangle vient à changer successivement de mode. Mais ce serait une erreur de croire qu'un rectangle doive toujours être positif ou négatif, en même temps que sa première composante, les rectangles réels à dimensions imaginaires présentent sous ce rapport une anomalie qu'il importe de signaler.

Considérons à cette effet le rectangle réel positif OM (/f^. 64). Si l'on change deux fois de suite le mode de la dimension OP, on obtient successivement le rectangle imaginaire positif (M,M') et le rectangle réel négatif OM'. De même, en changeant deux fois de suite le mode de la dimension OQ, on passe d'abord au rectangle imaginaire positif (M,M'"), puis au rectangle réel négatif OM'^. Mais, si l'on change une fois seulement le mode de chacune des dimensions OP, OQ, on trouve le rectangle (MjM") dont la première composante, d'après ce qu'on a dit plus haut, ne saurait être que la nappe positive OM. Or, on admet sans difficulté qu'il revient au même de changer une fois le sens de chacune des dimensions d'un rectangle réel, ou deux fois de suite le sens de l'une d'elles. L'analogie conduit donc à admettre aussi qu'on peut indifféremment changer une fois le mode de chaque dimension d'un rectangle quelconque ou deux fois de suite le mode d'une même dimension. Dès lors, le rectangle (MjM") doit être assimilé à l'un des rectangles OM', OM", c'est-à-dire qu'il est négatif comme eux. En d'autres termes, le rectangle 0(M,M'') est de signe contraire à celui de sa première composante, et la même conclusion s'applique à tout rectangle réel dont les dimensions sont imaginaires.

Ces notions admises, la mesure du rectangle s'en déduit immédiatement dans toute sa généralité. Car, si l'on prend pour unité de surface

le carré construit sur la droite réelle et positive ayant pour composante Tunité de longueur, on voit de suite que l'aire d'un rectangle de mode quelconque est constamment égale au produit de ses deux dimensions. En sorte qu'on a, par exemple, d'après les notations adoptées plus haut

OM = ab 0{UM')=abi 0(M',M)=— aôi 0(M,ir)= — aô

etc.

A la vérité, je n'ai parlé jusqu'ici que des rectangles à dimensions réelles ou imaginaires. Mais si l'on prend sur les axes xaf, yt/, (fig. 65) les droites

a? = OP + PQt =a + « y=:OR + RSi = 6 + i3i

puis, que par les points F, R, (Q.Q'), (S,S'), on mène à ces axes des parallèles qui se coupent respectivement aux points A, (M, M') et donnent par suite lieu aux rectangles

OA =ab

A(S,S') = fl,6i A(Q,Q') = M A(M,M') = — «|3

il est rationnel de voir dans la somme de ces quatre rectangles un rectangle mixte ayant pour dimensions a? = a -[-«/, y =: 6 + jSi, et, comme on a évidemment

(a + ai) {b + ^i) = aô + M + api — aj3

on en conclut que l'aire d'un pareil rectangle est encore égale au produit de ses deux dimensions.

Il est bon d'observer cependant que Taire d'un rectangle mixte est, dans certains cas, purement réelle ou imaginaire, selon que la somme de ses termes imaginaires ou réels est nulle. Ainsi, Taire du carré construit sur la droite 1 -{- i est 2/; et do même celle du rectangle ayant pour dimension 1 + i et, 1 — i est 2: ce qu'on vérifiera facilement.

Ce serait ici le lieu de montrer comment la mesure des polygones imaginaires ou mixtes se déduit des considérations précédentes. Mais cette question n'offrant pas de grandes difiîcultés, je me borne à dire quelques mots de Taire comprise entre un arc de courbe, ses ordonnées extrêmes et Taxe des x

On sait que cette fonction de Tabscisse, lorsqu'il s'agit d'une courbe réelle représentée par Téquation y = f {x),b. pour expression

I y dx

%/ Xm

Comme on peut le prévoir, il en est de même lorsque la branche considérée a ses coordonnées imaginaires ou mixtes.

En effet, soit (M,M') (N,N'j un arc ayant pour extrémités les points imaginaires (M,M') et (N,N'). Si Ton désigne para?», Vo, X, y, les coordonnées respectives '^ de ces points , et qu'on donne à Tabscisse un accroissement a x = a + jSt compatible avec la branche en question, on reconnaît aisément que Taire comprise entre Tare (M,M') (N,N'), les ordonnées yo, y, et Taxe des x, a comme dans le cas d'une branche réelle pour dérivée y, ou pour différentielle ydx, en sorte que son expression est bien

rig,66

y dx

A peine est-il besoin d'ajouter que cette aire est susceptible de se réduire à un nombre réel ou imaginaire, selon que ses termes imaginaires ou réels se détruisent.

La considération des aires de modes quelconques sert à déterminer les périodes de certaines intégrales; mais elle est particulièrement utile pour généraliser la notion d'angle.

Soit une circonférence réelle de rayon OA = v'2 [fig. 67) ; elle est coupée en M par la droite réelle OM, et l'angle réel positif AOM est par le fait formé de deux angles ordinaires superposés. La mesure de cet angle est le rapport de l'arc AM au rajon; mais on peut remplacer ce rapport parl'aire du secteur Fiy.67 réel et positif AOM qui lui est égale. De

même le secteur réel et négatif AOM' sera la mesure de l'angle AOM'. S'agit-il maintenant des intersections (N,N') et (N',N) de la circonférence avec une ellipse infiniment petite ayant pour centre le point et pour axe OA ; rien ne s'oppose à ce qu'on regarde les angles ordinaires AON et AON' comme étant respectivement la première et la seconde composante d'un angle imaginaire positif AO (N,N') formé par la droite (N',N) avec OA. Pareillement, la droite (N',N) peut être considérée comme faisant avec OA l'angle imaginaire négatif AO (N',N). Quant à la mesure de ces nouveaux angles, l'analogie indique les aires hyperboliques OANi et OAN'î dont la première est imaginaire positive et la seconde imaginaire négative.

A la vérité, les angles imaginaires, tels qu'on vient de les définir, ne sauraient s'étendre au delà des asymptotes de l'hyperbole NAN'; mais, en les combinant avec les angles réels, il est facile de leur faire envahir toutes les autres régions du plan. Soient, en effet, (P,P') et (P',P) les intersections de la circonférence avec une ellipse infiniment petite quelconque ayant toujours pour centre ; n'est-il pas évident qu'on fixe sans ambiguïté la position des droites (P,P') et (P',P) en disant que ces droites font avec OA, la première l'angle mixte AOB -f- BO (P,P') , la seconde l'angle mixte AOB + BO (F,P). Quanta la mesure de ces angles elle est naturellement OAB + OBPt pour Tun, OAB + OBP'

pour Taotre. J'ajoute que la dénomination d'angles complémentaires ou supplémentaires ne cesse pas de convenir à deux angles quelconques dont la somme est égale à un ou deux angles droits. Il me reste à montrer que les formules trigonométriques s'étendent sans peine aux angles imaginaires.

Soit, par exemple, OA (M,M') = ai un secteur imaginaire de rayon réel OAy^.

Si l'on mène l'ordonnée P {M,M') de (M, M') aussi bien que les tangentes A (T,r) et (M,M') S à l'origine et à l'extrémité de Tare A (M,M'), on aura par définition

Sin ai = Tang ai =

MPt OA

ATi

Sec ai =:-

De plus, en tirant la droite réelle OB perpendiculaire à OA, on verra que le secteur ai a pour complément BOA — OA (M,M') = f — ««• B'où

Cos ai =: sin f 2 — ^* ) Cot ai = tang ( 5 — ' «* ) Cosec ai = Sec ( ^ ~" ^0

Or, sin (-| — aAs'obtient en prenant le rapport au rayon de la perpendiculaire abaissée de (M,M') sur OB; et, comme cette perpendiculaire est la droite réelle (M,M') (Q,Q') = OP, on en conclut

Cos ai =