OP OA

Je détermine maintenant l'intersection de la droite imaginaire (M, M') avec la tangente en B à la circonférence; ce qui me donne le point {t,f) et j'ai par suite

Cot ai =

Enfin, comme la tangente en (M,M') à l'arc A (M,M') rencontre OB prolongé en (/,«), on a évidemment

Cosec ai =

Os'i OA

Il suit d'ailleurs immédiatement des définitions et constructions précédentes que

Sin^ ai + Cos^ ai =

Tang ai

Sin ai

~ Cos ai

Sec ai

Cos ai

Cot ai

Cos ai

"~Sin ai

Cosec ai

Sin ai

Remarquons avant d'aller plus loin que si le secteur imaginaire OA (M,M') {fig. 69) augmente du secteur de même mode (M,M') (B,B'), les lignes trigonométriques de ce dernier peuvent encore s'obtenir directement. En efiet, soit OA (N,N') le secteur équivalant pris à partir du rayon OA: ce

nouveau secteur a pour sinus -^ et pour cosinus

B^^ Q~ Mais, si l'on mène la demi-corde EB conjugée

du diamètre OM, il est facile de démontrer 4^® qM ~ OÂ ®* ÔM ~ 75Â On peut donc prendre çr^ pour le sinus, et qtj pour le cosinus du secteur (M,M') (B,B')- Comme cette manière de procéder n'oflFre aucun inconvénient et qu'elle est de nature à simplifier les démonstrations, je l'adopterai dans ce qui va suivre.

Parmi les formules trigonométriques, les plus importantes assurément sont celles qui donnent le sinas et le cosinus de la somme de deux arcs en fonction des sinus et des cosinus de ces arcs. Je vais prouver qu'elles s'appliquent aux angles ou mieux aux secteurs imaginaires.

Considérons en premier lieu la somme

OAB + OB(C,C') = a + pt

de deux secteurs de modes contraires {fig. 70) et proposons-nous de calculer sin (a + l^O» cos (a + Pt), connaissant

c- PB

r OP

Sin pi = Cos pi =

QCi OA

Si Ton mène les perpendiculaires QS, (C,C) (M,lir) à OA, puis, la parallèle (0,0^) (R,R') à cette même droite, on a

Sm (« + pi) = -^ —

OS — MSi

Cos (a + |St) =

et il reste à calculer les valeurs de SQ, QR», OS, MSt. Or, la similitude des triangles OBP, OQS donne