SQ OS OQ PB ~" 01* ~ OB

d'où l'on conclut.

QSt PB» OQ „. .„ ^.

OS OP QD ^ . ^.

ÔÂ = ÔÂ><ÔB = ^'"'^''^*

De plus, la similitude des triangles CQP.OBP, qui ont l'angle CQD = OBP, donne

d'où

et par suite

DC^QC ÔF ~ PB ~ OB

DC» QD CQt OP ~ PB» ~ OB

DC» CQt OP QD PB» QC»" . . . ^.

On a donc finalement

Sin (a + jS) t = sin ai cos pt + sin pi cos «î Cos (a + /3) «' = cos ai COS pi — sin a/ sin /3i

relations de même forme que les précédentes.

Pour traiter d'une manière complète la question des secteurs imaginaires, il faudrait encore parler de ceux qui résultent de l'intersection d'une circonférence de rayon imaginaire avec une droite quelconque, et montrer que ces nouveaux secteurs se plient comme les autres aux formules de la trigonométrie ; mais ces détails sortiraient du cadre que je me suis tracé. Je n'ai pas besoin non plus d'expliquer longuement comment s'exprime la projection de la distance de deux points quelconques sur un axe réel ; on voit assez par ce qui précède que cette projection a constamment pour mesure le produit de la distance considérée par le cosinus de l'angle que fait sa direction avec Taxe : en sorte que la formule

a^ = 6» -f c^ — 2bc cos A,

par exemple, s'applique à tous les triangles possibles, quel que soit le mode de leurs sommets ou de leurs côtés. Il ne me reste plus pour terminer ce chapitre qu'à dire quelques mots de la fonction logarithmique et de la période de

Soit xy=l l'équation d'une hyperbole équilatère AA' (fig. 72) rapportée à ses asymptotes ; le demi-grand axe OA de la courbe est, comme on sait, égal à yJ2', et sa projetion OP sur l'axe des abscisses n'est autre que l'unité.

De plus, le lieu de l'équation se compose de l'hyperbole AA' dont les coordonnées sont réelles, de Thjrperbole

conjuguée BB' dont les coordonnées sont imaginaires, d'une circonférence et d'une infinité d'ellipses, courbes dont les coordonnées sont mixtes et qui toutes sont tangentes et concentriques aux deux hyperboles.

Si Ton regarde comme positif le secteur réel AM compté à partir de Taxe OA,il existe entre Taire u de ce secteur et l'abscisse correspondante OQ = a? une relation remarquable.

En eflFet, l'abscisse OP étant égale à 1, si l'on prend les secteurs

0, u, 2u, 3k, 4t/, nu,

en progression arithmétique, on prouve, même par des considérations élémentaires, que les abscisses correspondantes forment la progression géométrique.

Quant aux secteurs négatifs, tels que AOM', ils offrent une relation du même genre avec les abscisses positives moindres que l'unité.

Les variables uetx étant de la sorte dans une dépendance mutuelle, il en résulte d'une part la fonction logarithmique

d'autre part la fonction exponentielle

le nombre e étant égal à 2,1828...

Soit actuellement (N,N') un point de la branche circulaire. Celle-ci a l'axe OA commun avec la branche réelle; en sorte que la corde S (N,N') conjuguée de cet axe lui est perpendiculaire, et que OA (N,N') est un secteur imaginaire qu'il convient d'ailleurs de regarder comme étant de même signe que le secteur réel OAM, c'est-à-dire positif. Si l'on désigne par ô le rapport de l'arc AN au rayon OA, la mesure de l'axe imaginaire A (N,N') est Bi ; et telle est aussi la mesure du secteur OA(N,N'), puisque Taire de ce dernier est

^\/2Bi\/2'=Bi

De p]uâ en menant le perpendiculaire ST à xoi ainsi que l'ordonnée (NjNO (R,R') du point (N,N') on trouve pour l'abscisse de ce point

OS SNi

= Cos 6 + f sin

Mais, si l'on forme la progressive arithmétique

0, ôt, 2ôi, 3W, 40i, nH

les abscisses correspondantes seront

1, cos 6 + t sin ©, cos 2ô -f- < sin 2 0, cos n ô + % sin n« *

et comme ces abscisses sont en progression géométrique, on a le droit (f écrire

6î=:i(Cosô4-tsinO)

et par suite

H Cos + 1 sin = c

De là résultent d'utiles conséquences. En effet, si l'on conçoit un point imaginaire dont les composantes décrivent, la première, AB A'B', la seconde, AB' A'B, on voit que ce point finira par revenir en A, et qu'il en sera de même s'il décrit un multiple quelconque 'de la circonférence. Comme Taire du cercle imaginaire OA est 2iît ; on en conclut d'abord que le logarithme de l'abscisse OP = 1 a non-seulement la valeur zéro, mais une infinité de valeurs imaginaires représentées par o + 2K7ii, K désignant un nombre entier quelconque. On aura donc en premier lieu, pour employer la notation de Cauchy,

/((l)) = o + 2 Jfici.

Par la même raison, le logarithme de l'abscisse OQ = a? sera

i((aî))=îi + 2Jfirt

ou

Observons maintenant que pour aller du point A au point A' dont l'abscisse est OP' := — 1, il faut parcourir une demi-circonférence imaginaire ou un multiple de cette demi-circonférence. D'où

K désignant toujours un nombre entier quelconque. Ainsi, tous les logarithmes de Tunité négative sont imaginaires. Qu'on ajoute ensuite au demi-cercle imaginaire AA' le secteur réel et positif OA'M'' =ti, en prenant OQ' = — a; pour abscisse de M*^ et Ton en concluera

Considérons encore le point imaginaire (B,B') dont l'abscisse est (P,P') =»; le secteur qui lui correspond est le quadrant imaginaire OA (B,B')=^, ou ce quadrant augmenté d'un multiple de 2irt: et par suite

Enfin, si Ton ajoute au quadrant OA (BjBO = ^, ou en général à / {(t))» le secteur (B,B') (L,L') qui est réel et positif comme ayant son rayon imaginaire et son arc imaginaire négatif; puis, qu'on désigne par u l'aire de ce secteur et par xi l'abscisse 0(Q,Q') du point (L,U), on aura

l{{xi))=u+[2K+lyi

Ainsi, se trouvent démontrées d'une manière élémentaire des formules qui jusqu'à présent ne pouvaient Vêtre qu'avec le secours de la haute analyse, j'ajouterai qu'à la seule inspection de la figure on a

et par suite.

Bi

OT + TR» = OT — TRt =