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Donc, enfin,

, 1-»V3~ ar ^

Je n'ai rien dit encore de la détermination de Taire comprise entre un arc quelconque de Tliyperbole équilatère, ses ordonnées extrêmes et Taxe des x\ on peut cependant trouver aussi les logarithmes des nombres à l'aide de cette aire. Bien que la voie à suivre en pareil cas soit moins facile que la précédente, je vais l'indiquer rapidement d'abord comme application de la théorie des aires de modes quelconques et surtout parce que certains détails de la question ont soulevé de longs débats entre les mathématiciens.

On sait que l'aire du secteur réel OAM {jig, 72) est égale à celle du trapèze curviligne APQM déterminé par l'arc AM, ses ordonnées extrêmes AP, MQ, et la différence PQ = a; — x^, des abscisses correspondantes. Ce trapèze ayant pour expression

on a donc

Cette même propriété subsiste pour Taire comprise entre l'ordonnée (NjNO (R,R') du point (N,N') de la branche'circulaire, l'ordonnée AP, Tare A {N,N') et Taxe des abscisses. En effet, d'après les notations précédemment admises, l'arc absolu AN étant égal à 0, on a pour l'abscisse du point (N,N')

X = Ces -|- 1 sin ô

La différentielle de l'aire en question est donc

dx — sin + i cos © „

— = ^ . . ^. d(i=tdB

X cos ô -|- sin 9i

Par suite^ cette aire est Oî, et Ton a bien encore

dx

Au reste, dès qu'on peut juger du mode de l'aire ANRR'N' par celui de sa différentielle, il est inutile d'intégrer pour en conclure la valeur de cette aire. En effet, à ne considérer que des surfaces absolues, le triangle ONN' est équivalent au trapèze NRR'N' puisque l'un a pour mesure

OS X SN = v^ cos ô v^sin ô et l'autre

ST X RR' = cos ô X 2 sin 6

Ajoutant de part et d'autre le segment NAN' on a donc

ONAN' = ANRR'N'

et de là résulte l'équivalence du secteur OA (N,N'; = W et du trapèze imaginaire ANRR'N'. Seulement dans le passage de la première surface à la seconde, les deux nappes OAN, OAN', ne restent pas distinctes. Tant qu'on n'a su traduire en coordonnées rectilignes que les solu-

— et Ix n'c

tiens réelles de l'équation xy= l,les symboles 1 et Ix n'ont pu représenter que l'aire AMQP répondant à l'abscisse OQ=a;; mais la cens truction de branches imaginaires, bien caractérisées, formant avec la" branche réelle un seul et même lieu, permet évidemment de donner à la signification géométrique de ces deux symboles toute l'extension désirable. C'est ainsi qu'en désignant l'abscisse OP par x^ et par u chacune des aires égales AMQB,A'M"QP', répondant l'une à OQ=a; l'autre à OQ' == — a;, on est en droit d'écrire

dx

dx

etc.

La question des logarithmes des nombres négatifs fit naître, comme on sait, de longues discussions entreLeibnitzetBernouilli. Leibnitz voulait que de pareils logarithmes fussent imaginaires. Bernouilli soutenait au contraire qu'ils sont les mêmes que ceux des nombres positifs correspondants : la principale raison qu'il alléguait à l'appui de sa thèse, c'est que l'aire A'M"Q'P' répondant à l'abscisse 0P'=— x{fig. 72) est positive comme ayant ses coordonnées de même signe, et qu'elle est par conséquent égale à l'aire AMPQ où à /. x. Le différent était loin d'être terminé, lorsque, par des considérations purement analytiques, Euler parvint à démontrer que les logarithmes des nombres négatifs sont tous imaginaires, et qu'en outre les nombres positifs ont une infinité de logarithmes de cette espèce. Mais ces nouvelles raisons ne battaient pas en brèche l'objection géométrique mentionnée plus haut ; elles ne laissèrent donc pas que de rencontrer encore quelques contradicteurs, par-

mi lesquels il faut citer d'Alembert, qui se rangea résolument du côté de

Bernouilli. Cauchy reconnut plus tard, au moyen des quantités com-

/dx -—qui n'a pas de signification pour des valeurs réelles de X, représente, dès qu'on assigne à cette variable des valeurs imaginaires,

tous les chemins qui vont, sans passer par l'origine, du point — 1 au point 4- 1> 6t> 6û particulier, la demi-circonférence ayant l'unité pour rayon. Cette belle interprétation géométrique avait néanmoins l'inconvénient de n'oflFrir aucune analogie avec la construction des logarithmes ordinaires. Enfin, dans ces derniers temps, M. Marie a eu l'idée d'assi-

miler la période de / à Taire du cercle conjugué de Thyperbole équi-

x^ latère. Mais ce n'est là qu'un rapprochement entre des aires réelles,

puisque le cercle n'est imaginaire que de nom, et ne se rattache par aucun lien géométrique à l'hyperbole. M. Marie, n'interprète donc en définitive les valeurs de la fonction logarithmique que par une suite de courbes distinctes, indépendantes les unes des autres, et non, comme il semble le croire, par un seul et même lieu. Aussi, ses conclusions sontelles loin d'avoir toute la rigueur désirable. La solution que je propose à monteur n'étant pas moins simple que les précédentes et n'oflfrant aucun des inconvénients que je viens de signaler, sera peut-être favorablement accueillie.

Je m'étais propçsé de montrer par quelques exemples choisis les avantages que présente en géométrie comme en algèbre l'emploi des grandeurs de modes quelconques, telles que je les ai définies; je crois m'étre acquitté de ma tâche. Il me resterait bien sans doute à faire voir quels services ces mêmes grandeurs peuvent rendre en coordonnées polaires comme en coordonnées rectilignes à trois dimensions. Mais ces applications nouvelles qui découlent naturellement de celles que je n'ai fait qu'indiquer brièvement, m'entraîneraient trop loin. Je ne m'étendrai donc pas d'avantage sur ce sujet»