par une prime unique ; 2. par primes échelonnées

Ier cas, prime unique. La prime unique se calcule par la formule :

D Dx — Ma + Mon

PE

Pour appliquer la méthode prospective, nous devons nous demander :

Quels sont les dépenses futures de l’assureur ?

a) Si l'assuré meurt avant l'échéance du contrat, au cours des (n—r) années qui restent encore à courir, l'assureur doit rembourser la prime unique P. Valeur actuelle de cette somme à l’époque d'inventaire :

P . În—rÂx+ v

b) Si l'assuré vit à l'échéance du contrat, il recevra le capital 1. La valeur actuelle de ce capital 1, escomptée à cette

MT ho en

même époque d'inventaire, est, puisque ce capital n’est exigible qu’en cas de vie :

n—rEx+r

Les sommes sous a) et b) donnent, en valeur actuelle, le total des engagements futurs de l'assureur :

Ë . [nr œ+r . n—rEx+r

Quant aux recettes futures, dans ce cas aussi, elles se montent à zéro. Donc, la réserve cherchée est :

NN =P. {noter + nrExtr

Dr . Mt a Motn Drtn De — Mx + Mn Do+r Der

x Dit z Dx — Ms + Mir LE Dotr Dx — Me + Morin

IImne cas, primes échelonnées.

La valeur actuelle des dépenses futures de l'assureur se détermine ainsi : |

a) Désignons par ,P+ le montant de la prime annuelle constante, payable aussi longtemps que vit l’assuré (x), mais au plus n fois. Si l'assuré meurt au cours de la (r + 1)iène année, l’assureur doit rembourser toutes les primes payées jusqu'alors ; valeur actuelle de cet engagement, escomptée à l’époque d’inventaire :

(r + 14) . nPx + hAæ+r

Si l’assuré meurt au cours de la (r + 2)re année, l’assureur doit rembourser toutes les primes payées jusqu'alors ; valeur actuelle de cet engagement, escomptée à l’époque d'inventaire :

(r + 2) , rP& . alAœt+r

OU

Si l’assuré meurt au cours de la (r + 3)ième année, l'assureur doit rembourser toutes les primes payées jusqu'alors. Valeur actuelle de cet engagement, escomptée à l’époque d’inventaire :

(ALP IAE

Si l’assuré meurt au cours de la (r + X)iène année, l’assureur doit rembourser toutes les primes payées jusqu'alors. Valeur actuelle de cet engagement, escomptée à l’époque d'inventaire:

(r +): nPe x4hAzr

Enfin, si l'assuré meurt au cours de la nième année, l’assureur doit rembourser toutes les primes payées. Valeur actuelle de cet engagement, escomptée au même moment :

n . nPz. n—r—1l{Aztr

Pour abréger, nous pouvons écrire, puisque ,P+ est constant, que la somme des valeurs actuelles ci-dessus est :

nPæ > HA). 21—1lAxtr À

b) Si l'assuré vit à l'échéance du contrat, l'assureur paiera la somme 1.

Valeur actuelle de cet engagement, escomptée à l’époque d'inventaire :

n—rEx+r

RS pie

La somme totale de tous les engagements futurs de l’assureur est donc, en valeur actuelle :