JOUR
Nous pouvons donc, pour calculer »P4, poser l'équation générale suivante :
nPx s (Nx — Nx+n) = I . [Rx — Rytn —n. M>+n] + Drtn d’où l’on tire :
nPx. [N> Nztn a (Re == Rrtn met Mx>+:)] — D
d’où enfin :
APE ER tte. Dern Nx er Rx ee (Nx4n — Rr+n) +n . Min
Donc, l'expression ci-dessus donnant le produit
nPx 2 (er eu À) Ê xiÂetr) devient :
Dee , VeMoir—n. Motn + Rotr — Rotn Dors Ne — Re — (Notn — Rotn) +n. Motn
De plus, on sait que :
Drtn ,
nr br 2 Dr+r
enfin, #Px.r—râx+r devient:
== Dot n (Nxrtr — Nxrtn) (Nx — Re — (Notn = Rxn) +n. Mx+n) + Drtr
En remplaçant toutes ces expressions dans l’équation (1), nous obtenons pour la réserve mathématique cherchée :
Drtn
cs 4 De+r
Dr+n NL Mztr —n. Mon + Rrtr — Ron Drtr Ne — Rx — (Nxtn — Rx+n) + mn. Mx+n
Nr A0
Drtn 2 Norr — Nrtn No — Re —(Nzin—Rrtn) +n.Motn Drtr
Drtn Nx — Rx —(Nrin—Rx+n) + nMxætn+r + Motr mL Motn + Rotr—Roy+
Dr+> Nx — Rx — (Nztn = Rr+n) + nm. Mzin LÉ à Drtn : Notr—Notn Ne — Rx — (Nrtn—Rotn) +n.Motn Drrr
res, Drin No — Ro — Not n 7. Mois + Rois —Nrtr + Nrtn Rae Dry Ne — Re — (Nxtin—Rzin) +n.Mztn
Ainsi, la réserve mathématique devient finalement :
Drtn ; (Nz = Nxir) Æ (Rz &r Rx) + Tr. Motr
0 Date VNa Ne CSN Dep es
Méthode rétrospective.
Cette méthode consiste à établir la valeur actuelle des engagements de l’assuré et de l’assureur pour l’époque précédant le moment d'inventaire, depuis l’origine du contrat, et à faire la différence de ces engagements. Nous aurons alors :
Réserve mathématique —
Valeurs actuelles des en- Valeurs actuelles des eu-
>. gagements de l’assuré, de- Le 5 gagements de l’assureur, puis l’origine du contrat depuis l’origine du contrat à l’époque d'inventaire. à l’époque d'inventaire.
Or, les engagements de l’assuré constituent des recettes pour l'assureur, tandis que les engagements de l’assureur sont ses
Se HS
propres débours; la formule de définition ci-dessus peut donc aussi s’écrire comme suit :
Réserve mathématique —
Recettes antérieures de Dépenses antérieures de
5 l'assureur, en valeur ac- LS Ni l’assureur, en valeur actuelle escomptée à l’épo- 4 \ tuelle escomptée à l’époque d'inventaire. que d'inventaire.
Premier exemple.
Assurance mixte simple; capital assuré : Fr. 400,— ; âge à l'entrée : x = 25; durée du contrat: n — 10; prime annuelle constante temporaire, reposant sur la tête de l'assuré (x), payable au plus pendant 5 ans. Table de mortalité H”, taux 4 ÿ par an, avec capitalisation annuelle des intérêts.
Dans cet exemple, nous étudierons la variation de la réserve mathématique depuis le commencement du contrat jusqu’à son expiration, soit pendant dix ans, en comparant les recettes et les dépenses pour chaque année d’après la méthode rétrospective ; nous montrerons en même temps l’exactitude des calculs.
Nous supposons que 93 061 assurés, tous âgés de 25 ans, soumis à la même allure de mortalité, s'adressent au même instant au même assureur pour conclure des contrats identiques. Comme chaque assuré verse de suite Fr. 14,988, cela fait dès le début 93061 . 14,988 — Fr. 1394891,33. Les variations ultérieures de ce fonds qui n’est autre que la réserve globale se voient par le tableau suivant, notamment les colonnes (4) et (11). A la fin des 10 années, il y a encore 86 281 survivants dont chacun doit recevoir le capital assuré de 100 francs ; il faut donc, à ce moment-là, une réserve de Fr. 8628100. Or, le calcul donne 8628 290,83. La petite différence provient des décimales négligées.
Exemple
Assurance mixte simple : capitalassuré 100 fr.;
de la méthode rétrospective.
âge & — 95 ; durée n — 10 ; prime annuelle cons- : = ee pe Mes — Mgs + Das tante temporaire pendant 5 ans. Table de mor- Prime amuelle — 100 . ;P(Az ; 10) — 100. Na — N4 7= 14,988, talité Hm; taux de 40/, l'an.
Fonds HER Dé- Eee Sur- Réserve de ie a Free Décès ae à la fin vivants à| mathémacommencement| de l’année Somme produits pen- Somme ie en fn | de Jeune fa An qe | + sa pe Tea onée L.. 100. P.= Alan année ARTS (Réserve l'année lindividuelle (Réserve math.| ©" *5'æn| RER 2 lot | xVan — globale) | == (3). 14,988 | (4) + (5) (6) . 0,04 (6) + (7) de |100dG| baie en, De | @)— 0) | (4) : (12) (1) | (2) |() ( (5) Ch (7) (8) (9) (40) (41) (12) (43) 1125 | 98 061! ...........| 1394 891,33 | 1 394 891,33! 55 795,85 | 1450 692,18] 617 | 61 7001 388 992,18) 92 444 | 15,03 2] 26 | 92 444] 1 388 992,18 | 1 385 643,12 | 2 774 637,30 | 110 985,49 |2 885 622,79 | 618 | 61 8002 823 822,79] 91 826 | 30,75 3127 | 91 826 2 828 822,79 | 1 376 379,91 | 4 200 202,70 | 168 008,11 | 4368 210,81! 634 | 63 400/4 304 810,81) 91 192 | 47,21 4128 | 91 492! 4 304 810,81 | 1 366 876,89 | 5 671 687,70! 226 867,51 | 5 898555,21| 654 | 65 4005 833 155,21! 90 538 | 64,43 5| 29 | 90 538 5 833 155,21 | 1 357 074,08 | 7 190 229,29 | 287 609 17 | 7477 888,16| 673 | 67 3007 410538,46| 89 865 | 82,46 6| 30 | 89 865) 7 410 538,46 0 7 410 538,46| 296 421,54 | 7 706 960,00 | 694 | 69 40017 637 560,00! 89 171 | 85,65 7| 31 | 89 171) 7 637 560,00 0 7 637 560,00 | 305 502,40 | 7943 062,40! 706 | 70 600/7 872 462,40] 88 465 | 88,99 8| 32 | 88 465) 7 872 462,40 0 7 872 162,40 | 314 898,50 | 8187 860,90| 717 | 71 7008 115 660,90! 87 748 | 93,26 | 9133187 748| 8 115 660,90 0 8 115 660,90! 324 626,44 | 8440287,34| 727 | 72 7008 367 587,34] 87 021 | 96,15 10/34 187 G21) 8 367 587,34 0 8367587,34| 334708,49 | 8702 290,88| 740 | 74 0008628 290,83) 86 281 | 100,0022
Second exemple.
Supposons une assurance mixte simple du montant de 1, souscrite sur une tête d'âge x, pour une durée de n années, et calculons sa réserve à la fin de la rième année. La prime annuelle constante est donnée par la formule :
Per = nP (4x7) = Me Mets + D INgx — Nxtn
Supposons /; personnes, toutes du même âge +, concluant au même moment avec le même assureur des contrats identiques.
Les recettes jusqu’à l’époque d'inventaire, escomptées pour ce moment-là, sont :
RE RTE PE ED Re Er e ee + Pr:7 . lg+r—1 + (1 + à).
Les dépenses jusqu’à la même époque d'inventaire et escomptées pour ce moment-là, sont :
don Eee) ouh Ho,
La réserve mathématique globale est égale à la différence des deux expressions précédentes :
Pan “Île F4 LR) PC ha ES A PERS SP ee |
{de . (1 Re UD ue + de+r1)|
MASSE 17 Lai
La réserve individuelle à l’époque d'inventaire s'obtient en divisant la réserve globale ci-dessus par le nombre +, des survivants ; on trouve :
Pan].
le+r
Le (A4 ler AN TE pese Re
|. AH TA deu ( ET He FA ue
