LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE ag Remanjuc première

ao. L’on doit remarquer ici que, de toutes les 6gures que l’on peut donner à un profil de muraille qui a quelque poussée à soutenir, il n'y en a point où il faille moins de maçonnerie que dans celle qui est triangulaire , parce que le levier CE gagne par sa longueur ce que le poids G a de moins provenant d’un triangle que s’il provenait d’un parallélogramme , ce que je vais démontrer.

Ayant le parallélogramme rectangle AD, dont la hauteur soit égale à celle du triangle précédent, et la puissance qui pousse de k en C ou Eictire de C en G , selon une direction parallèle à l’horizon , agissant avec la même force que celle du triangle ABC, l’on sait que, pour avoir l’épaisseur BD , il faut doubler la puissance K et en extraire la racine carrée * , 'Art. puisqu’apres avoir fait les opérations ordinaires il vient pour dernière équation 1/ a bj — r; et comme nous venons d’avoir 1/ ibj ■=.}■ pour la base du triangle, l’on peut donc dire que la superficie du profil rectangle AD sera à celle du profil triangulaire , comme \Z\hf est à la moitié de V' 'hbf, puisque ne prenant que la moitié de la base du triangle, l’on peut regarder cette moitié comme la base du rectangle égal au triangle; mais la moitié de 1/ 3i/ est beaucoup moindre que et pour en être convaincu il n'y a qu’à faire un triangle rectangle et isocèle ABC, et supposer que chaque carré des côtés BA et BC est égal à bf ; cela étant, l'hypoténuse AC, ou, ce qui est la même chose, 1/ n,bf, pourra être regardée comme e.vprimant la base BD du profil rectangle, et si l’on fait un autre triangle rectangle ACD, dont le côté CD soit égal à CB , l’hypoténuse AD exprimera la base AC du profil triangulaire, et divisant cette hypoténuse en deux également au point E, sa moitié AE sera la base du parallélogramme égal au triangle; ainsi la superficie du profil rectangle surpassera autant celle du profil triangulaire , que la ligne AC surpasse la moitié de la ligne AD , ce que l’on ne peut pas exprimer en nombre bien exactement, à cause des incommensurables. Cependant on peut dire que la maçonnerie du profil triangulaire est à celle du profil rectangle , à-jrcu-près comme 1 1 à i8 , ce qui fait voir qu’il y a plus d’un tiers moins dans le premier que dans le second.

3o LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Il ne faut pa-s trouyer étrange qu'on suppose ici un profil triangulaire : nous savons bien qu’on ne fait pas de mur qui soit terminé en arrête comme est celui-ci ; c'est pourquoi on ne doit regarder cette proposition que comme pouvant servir à l’intelligence des autres.

Remarque seconde.

ai. Selon la remarque précédente, l'on voit combien il est de conséquence d’avoir égard à la longueur des leviers pour régler l’épaisseur des murs qu'on veut mettre en équilibre avec l’effort qu'ils ont à soutenir, et que voici la seule voie par laquelle on peut connaître ce point d’équilibre. C’est à quoi M. BuUrt et plusieurs autres n’ont fait aucune attention datis les règles qu’ils ont cru donner sur ce sujet : aussi sontils tombés dans des erreurs fort grossières.

PROPOSITION SECONDE

PaOBLÈME.

aa. Trouver l'épaisseur qu’il faut donner au sommet des murs qui sont élevés à plomb tfun ailé et qui ont un talus de l’autre, pour être en équilibre par leur résistance avec la force de la puissance qui 'voudrait les renverser.

On donne, comme nous l'avons dit, pour talus aux murs des remparts ou des terrasses la cinquième partie de leur hauteur; c’est-à-dire, que supposant BG de trente pieds, les lignes BI et GH seront chacune de six pieds. Ainsi , quand on cherche quelle épaisseur il faut donner à ces sortes de murs, Ton a toujours le triangle GBH connu, et le problème ne roule plus que sur l’épaisseur qu’il faut donner à la partie BD , ou FG , qui étant inconnue sera nommée j)-/ la hauteur BG sera nommée c,* et la ligne de talus GH, d. Cela étant, l’on aura yc pour la valeur du poids N, et -J- c</ pour le poids M : on peut donc dire que le poids N est suspendu à l’extrémité L du bras de levier HL, et le poids M à l’extrémité P du bras HP, qui est égal aux deux tiers de la base GH do triangle par l’article q. Or, comme on ne se servira que du bras HL, il faut donc, .selon l’art. 1 1 , réunir le poids M au poids N, de manière qu’il ne pèse pas plus en L qu’il no fait en P : ainsi je multi-

LIVRE I. DÇ LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 3i plie le poid» M = -i-crf par son bras de levier HP =4 rf, pour avoir le produit r rut , qu’il faut diviser par le bras HL=4(^ + ad), et le

Cil*

quotient-4 sera le poids M applique au point L, lequel étant

ajouté avec le poids N , donnera N + M =ry +4-

Tf^quon pourra

si l’on veut considérer comme ne faisant que le seul poids O, qu’il faut supposer être en équilibre avec la puissance K=h/. Ainsi le produit de la puissance K par la perpendiculaire Hl = c, qui est équivalente à son bras de levier par l'article 18 , sefa égal au produit du poids O par son bras de levier HL ; pour lors le premier produit donnera bey, et le second -4 (c/ + aedy) + -r cet , car il est à remarquer qu’ayant

Cti*

“ ““•‘‘P**®'' (j + arf), il n’y a que le premier

terme cy à multiplier effectivement, puisque pour le second — ™'

‘ r+arf

il suffit de supprimer tout-à-fait le facteur , pour que la gran-

deur 4 €</■ soit multipliée par le bras de levier LH; car c’est multiplier une gtandeur par son diviseur que de ne pas la diviser quand elle doit l’être.

Comme les deux produits précédents donnent cette équation 4(çy’ -I- acc^) -h -^cet—hef, il ne s’agit plus que d’engager l’inconnue^y", en faisant passer un 4 crf’du premier membre dans le second ,

et effaçant la lettre c, pour avoiry -h a«/y = abf '-<t \ mais comme

il manque d^ au premier membre pour faire un carré parfait, je l’ajoute de part et d'autre ; ce qui donne y“ ■+- ad^- ■+ et= ab/ + 4 et, et extrayant la racine carrée de chaque membre, l’on a y + d = {/^(^aby -I- 4«f ), ouen6n7 = l/(a/y-i-4 et) — d.

APPLICATION

Supposant que la puissance K , de quelque part qu’elle puisse venir, soit exprimée par 5a pieds 4, l’on auraiÿ'=5a f; or, comme la dernière équation que nous avons trouvée montre qu’il faut , pour avoir l'épaisseur BD, doubler la valeur de la puissance, ce qui donne io5, ajouter à cette quantité le tiers du carré de la ligne de talus BH on GH,

LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, et cette ligne ayant elé supposée 6 pieds, son carré sera 36, dont le tiers est la, qui étant ajouté avec io5 donne 1 17, dont il faut extraire la racine carrée , que l’on trouvera de 10 pieds g pouces 8 lignes, qui est l'épaisseur de la l>ase FH, de laquelle retranchant la valeur de d, c'est-à-dire la valeur de la ligne de talus , l’on aura 4 pieds g pouces 8 lignes, qui est l’épaisseur qu'il faut donner au sommet de la muraille pour être en équilibre par son poids avec la puissance K.

Cette projjosition nous servira dans le quatrième chapitre à trouver l'épaisseur qu'il faut donner au sommet des murs des remparts pour être en équilibre avec la poussée des terres.

Rcmanittc première.

a3. Quand on a plusieurs poids appliqués en différents endroits d'un bras de levier à mettre en équilibre avec une puissance , il n’est pas toujours nécessaire de réunir les poids ou de les supposer réunis en un seul, puisqu’il suffit de les multiplier chacun par le bras de levier qui lui répond , c'est-à-dire par la distance qu'il y a du point d’appui aux endroits où ces poids sont appliqués, parce que la multiplication rétablit ce que la division peut ôter. Ainsi dans le problème précédent au lieu de multiplier le poids M par son bras de levier IIP, et diviser ensuite le produit par le bras HL, pour en réunir le quotient au poids L, il aurait suffi de multiplier les poids M et N chacun par leur bras de levier, c’est-à-dire par leur distance au point d'appui, puisque d’une fa\-on comme de l’autre on aura toujours -r(c)'' -h %cdy) -t- -j-cd' pour l’un des membres de l’équation, dont l’autre sera comme à l’ordinaire le produit de la puissance agissante par le bras de levier qui lui répond. C'est pourquoi dans la suite on se passera autant qu’on le pourra de ces sortes de divisions pour rendre les opérations moins composées.

Remarque seconde.

a4- On peut s’apercevoir ’ici combien le talus qu’on donne à l’une des faces d’un mur changerait la résistance de ce mur, si la puissance, au lieu de tirer de B en K , tirait de D en A. Pour cela il faut chercher le centre commun de gravité des poids M et N, qui sera dans un des jioiuts du levier LP aux extrémités duquel ces [wids .sont suspendus ;

y — if)Trritized"byCjfSogIe

LIVRE I. DELA THÉORIE DE LA MAÇONNEniE. 33 ' on le trouvera en divisant la ligne LP au point R, de façon que LR soit à RP, comme le poids M est au poids N : mais ces deux poids sont l'un à l'autre comme la moitié deGII esta toute la ligne GP; or, considérant ces deux poids M et N comme étant réunis dans le seul poids Q , l'on aura le bras de levier RII quand il s'agira du point d’appui H , et le bras de levier FR quand le point d'appui sera supposé en F. Et si l'on fait attention que le bras de levier DF a la même longueur que IH, et que le poids Q ne change jioint de situation, l'on verra que la puissance qui tire de B en I est à celle qui tire de D en A comme le bras HR est au bras FR.

Rpmarque troisième.

Il y a encore une remarque à faire, qui est qu'ayant deux murs AD pic. et Fl de même hauteur, le premier élevé à plomb des deux côtes , et le et i3. second avec un talus égal de chaque côté, ce dernier, quoique égal au précédent en volume, résistera beaucoup plus que l'antre à l’elfort d'une puissance qui voudrait le renverser à droite ou à gauche. Car, supposant que l’épaisseur du sommet FG ne soit que les deux tiers de celle du sommet AB , mais qu'en récompense la base HI soit plus grande que CD du tiers de la même CD , les poids M et N qui exprimeront les superficies AD et FI seront égaux ; et comme les bras de levier DB et IL sont aussi égaux , les puissances P et Q seront dans la raison des bras de levier IK et DE : ainsi la puissance P ne sera que les trois quarts de la puissance Q. Par la même raison , si l'épaisseur FG n’était que la moitié de AB , la puissance P ne serait que les deux tiers de la puissance Q; ce qui prouve bien la nécessité de donner du talus aux murs.

PROPOSITION TROISIÈME

Problème.

a5. Voulunt élever un mur dont I épaisseur BC au sommet soit don- p,g née , aussi bien que sa hauteur B.A , on demande quelle doit e'tre la ligne de talus DE, pour que ce mur, étant poussé rfc M Cra B ou tiré de C en K par une puissanre , le mur ABCD soit en équilibre avee cette puissance.

Ayant nommé BC ou AD, a; la hauteur CD, c; la ligne de talus DE, J/ la superficie du rectangle ABCD sera ne, qu’on pourra consi-

dércr comme la valeur du poids H suspendu au point F, milieu de la ligne Al) ; le triangle DCE sera 4- O' c|“'on pourra aussi conside'rer comme exprimant la valeur du poids I suspendu au point G, qui est aux deux tiers de la ligne DE: or si l'on multiplie chacun de ces poids ’Aht. a3 P®r leur bras de levier ou par leur distance au point d'appui , * et qu'on ajoute ces deux produits ensemble, l’on aura 4- ( <** c + 20c> ) + -rçy'

■=bcf, ou bien >•' -t- Zny=‘H>f ra'. Or, pour dégager l'inconnue

)■, il faut ajouter à chaque membre de cette équation le carré de la moitié du coefficient du second terme , c’est-à-dire le carré de -j- qui

est-Lrt, et pour lors on aura.)-’ -t- Zay + -^a' = Zhf [-n -j- -î. a‘,

dont le premier membre est un carré parfait ; ainsi extrayant là racine carrée de cette équation , l'on aura >■ =

ou bien )■ = 1/ (3/y — ff'.+ ■f"') r" • "i®'* comme on peut réduire i a' H- -J- a' en leur donnant un dénominateur commun , l’on

aura -t- -î-n’ ; par conséquent l’équation précédente sera ) = 1/ (3 /y -h -!-«■ ) — a , qui donne l’expression la plus simple qu’on puisse avoir de la valeur de la ligne DE.

APPLICATION

Comme je n’ai voulu omettre aucun des principaux cas qui peuvent se rencontrer dans la construction des ouvrages de maçonnerie, j’ai supposé ici qu’il s’agi.s.sait de construire un mur dont l'épaisseur au sommet devait être déterminée pour des raisons qui obligeraient d’en user ainsi , et que ce mur ayant à soutenir l’effort d'une puissance devait avoir nécessairement un certain talus pour que la longueur du levier qui répond à la base étant augmentée suppléât au défaut d’épaisseur qu’on aurait donnée au sommet, parce qu’il faut s’imaginer que, si le mur avait été fait à plomb des dcu.x côtés , l'épaisseur qu'on veut lui donner ne suffirait point pour résister à l'efTort de la puissance ; par conséquent le problème se réduit à trouver la ligne de talus DE. Or,

comme l’équation (3/y -t- -f a* ) 7 n vient de nous la donner,

il ne s’agit plus que d’avoir des nombres qui expriment les lettres du second membre. C'est pourquoi nous supposerons que la puissance ^ vaut •âo pieds carrés, et querz, c’est-à-dire la ligne AD ou BC, est de 4

LIVRE 1. DE LA THÉORIE DELA MAÇONNERIE. i5 pieds ; ainsi , comme il n'y a que ces deux grandeurs qui se trouvent dans l'équation , il nous reste à les joindre ensemble de la façon qu’elles y sont , c’est-à-dire qu’au lieu de ^'on aura i5o, qu’au lieu dc-f rt’ l’on aura ou bien la, qui est la même chose; ainsi joignant i5o avec la, l’on aura i6a, dont il faut extraire la racine carrée que l’on trouvera de la pieds 8 pouces q lignes. Mais l’équation nous montre que de cette racine il en faut soustraire ou bien la divisé par a qui est 6, et que la différence sera la valeur de )■; retranchant donc 6 de la racine précédente, il restera 6 pieds 8 pouces g lignes pour la ligne de talus DE que l’on cherche.

PROPOSITION QUATRIÈME

Problème.

a6. Ayant le profil ABCD d'un mur élevé à plomb des deux côtés , et dont l'épaisseur BC est tellement proportionnée à la hauteur CD lyr/e ce mur soit en équilibre par son poids avec la puissance P , qui tire de C en E : on demande de changer ce profil-là en un autre lOHL , qui lui soit égal en supetficie et en hauteur, et dont le côté (il soit perpendiculaire, pour que ce second soit en équilibre par sa résistance à une puissatute Q , dont la force serait doidAc de la puissance P.

Pour cela nous nommerons BC , a ; CD , de même que CI , e ,■ GII , ou IK, X ; KL, J"; la puissance P sera hf, comme à l’ordinaire , et la puissance Q, o.hf : cela posé, la superficie du rectangle IGHK , ou si l’on veut le poids N, sera ex, et celle du triangle KHL, ou le poids S, sera

ces deux points étant multipliés par leur bras de levier * et réunissant leur produit , on aura une quantité égale au produit de la puissance par son bras de levier, c’est-à-dire-; (cx'-i- tscyx) -t- cf = ^bfc , ou divisant tous les termes par c , l’on aura 7 (x* -t- aj.r) -l- -t-y" = ai// mais comme le rectangle BD = ne est supposé égal au trape/.oïde IGHL , il viendra encore cette é<|uation acy = ex -t- -J- c, d’où dégageant l'inconnue >■ l’on aura )■= art — a.r , et sulistituant la valeur de )• dans l’équation précédente, cela donne x" -t- artx — ax" -t- (4«’ —

8rtx -f- 4x’) = aV, qui étant réduite donne ^x’ -+■ aax = 4<*’ — et faisant évanouir la fraction l'on a x' -t- iiax=8a’ — tabf, à (juoi

tic. 18 et ic).

*ART.a3.

ajoutant t\a' de part et d'autre pour rendre le premier membre un carré parfait, il viendra x" + 4'jx 4- 4»’ = — ts/j/" , d'où l’on tire

x = |/(i ao’ la/j/') — ad , après avoir extrait la racine carrée.

L’on sait que la puissance P étant en équilibre avec le poids O, l'on a d = 1/ a bf: ainsi supposant bf= '^2^ il vient ia=l/ aAy, par conséquent l’épaisseur I5C sera de ta pieds; quant à la hauteur CD, nous la supposerons de 3o , quoiqu’on puisse s’en passer ici. Présentement pour connaître la valeur de x, j’entends l’épaisseur GH , il ne faut que suivre ce qui est indiqué dans l’équation dernière, c’est-à-dire, ôler de laa' qui valent 1738, tai/’qui font 864, et extraire la racine carrée de la différence, pour avoir 39 pieds 4 pouces 8 lignes, d’où soustrayant la valeur de an qui est 24 pieds, l’on aura 5 pieds 4 pouces 8 lignes pour la valeur de X, ou l'épaisseur GH , par le moyen de laquelle il .sera facile d'avoir la ligne KL ou y que l'on trouvera de 1 3 pieds a pouces 8 lignes, à quoi ajoutant la valeur de x il viendra 18 pieds 7 pouces 4 lignes pour la base H, du mur. Or, comme le rectangle AC ayant la pieds de base sur 3o de hauteur vaut 36o pieds de superficie , et que celle du trapéK>ïde IGHL en vaut autant (comme il est aisé de s’en convaincre si l’on en fait le calcul), il s'ensuit donc qu’on a satisfait e.xactement aux conditions du problème.

Remarque.

37. L’on pourrait encore rendre le second proCl capable de soutenir l’efiort d’une puissance plus grande que a/jf, car moins le sommet du revêtement aura d’épaisseur, plus la ligne de talus augmentera la longueur du bras de levier ML, et par conséquent la résistance du mur; et cette augmentation pourra toujours aller en croissant jusqu’à ce que le point H soit confondu avec le point G, c’est-à-dire que la ligne GH soit réduite à zéro , parce qu’alors le profil deviendra un triangle rectangle, qui est la figure capable de soutenir la plus grande puissance qu’il est possible , comme on l’a vu dans l’article 20' : et je trouve ici que si le premier profil était changé en triangle, au lieu de soutenir en équilibre une puissance de 72 pieds, il en soutiendrait une de i45 -j-.

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