LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. V
PROPOSITION CINQUIÈME
Problème.
a8. Ayant comme dans le prohlème précédent un profil rectangulaire AC en équilibre par son poids avec une puissance P, on demande un autre profil GHIK, qui ait la meme hauteur que le précédent; mais dont la superficie nen soit que les trois quarts, avec cette condition que le mur GHIR soit encore en -équilibre par sa résistance à l'effort de la puissance P qu’on suppose agir toujours avec la meme force.
Nommant les lignes BA ou HG, c ; AD, a; Hl ou GL, .r / LK , y ; l’on aura ac pour le rectangle BD, ex pour le rectangle HL, ou si l’on veut pour le poids Q, et j-ey pour le triangle ILR qui e.st la mi'me chose que le poids P : or comme le trapèze GHIR ne doit être que les trois quarts du rectangle BD , l’on aura donc f ac z= ex + ^ cy; et si l’on réunit le poids Q avec le poids P, après les avoir multipliés par leur bras de levier, l’on aura une quantité égale au produit de la puissance P, qui est toujours bf, par le bras de levier RR, ce qui donne cette seconde équation -f ex' + tyx + t-cy=hcf, ou en effaçant de tous les termes la lettre c , + ÿX + -j f = bf. Mais si dans la pre-
mière équation f ac = vx + -rj-c l’on dégage y, l’on aura y n — aa;,et supposant^ a = n pour plus de facilité, l’on aura i‘= n — a a:. Si présentement l’on substitue la valeur de y dans l’équation yx
■+■ ■^y' = hf, elle sera changée en cellca:i 7- a;' -I- nx — a.r* +-r("’ — 4n.r 4a;’) = bf, d'où faisant évanouir la fraction et réduisant, l’on a a«’ — &bf= x' a, nx : or, si à cette équation l’on ajoute n' de part et d’autre, on aura 3«‘ — Ç,bJ = jé + %tut + n' dont extrayant la racine carrée et dégageant l’inconnue, il vient enfin 1/ (3«‘ — 6^) — n = x qui donne la valeur de l’épaisseur HI.
Pour avoir l’autre inconnue/, nous supposerons!/ (3«' — 6bf) — n=zd, pour lors on aura ad — ax, et mettant la valeur de tix dans l'équation n — a j —y; l’on aura n — ad=y.
APPLICATION
Comme nous avons supposé -f- a = n , et que a vaut la pieds de même que dans le problème précédent, n sera donc de 18, par conséquent 3n‘ vaudront 97a pieds. Or, comme bf vaut encore 7a , si l’on
Fig. 18
et to.
Fie. 18 et 20-
LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, soustrait 6^, cVest-à-dire sa valeur qui est 43a, du nombre precedent, l’on aura 4o5 pour la dilTérence , dont extrayant la racine carrée, on la trouvera de a3 pieds 3 pouces, de laquelle ôtant la valeur de n, qui est i8, l’on verra que l’épaisseur HI doit être de 5 pieds 3 pouces, et que par conséquent la ligne de talus LK, c’est-à-dire vaut y pieds 6 pouces ; à laquelle ajoutant GL, je veux dire 5 pieds 3 pouces, l’on aura I a pieds g pouces pour toute la base GK : ce qui est bien évident , puisqu'un trapézo'ide qui aurait 3o pieds de hauteur, et pour côtés parallèles une ligne de 5 pieds 3 pouces et une autre de i a pieds g pouces, vaudra ayo pieds de superficie qui est justement les trois quarts du rectangle BD qui en doit valoir 36o.
Remarque.
ag. On pourrait, si l’on voulait, diminuer encore la maçonnerie du problème précédent , en ne supposant la superficie du second profil que des deux tiers de celle du premier, et pour lors on trouvera que x , ou si l'on veut le sommet du mur, ne doit avoir que a pieds d'épaisseur; mais comme il y a des cas où cette épaisseur ne suffirait pas pour des murs qui ont à soutenir une certaine poussée , on sera le maître de ne diminuer le mur que d'un quart ou d'un cinquième, plus ou moins selon les occasions. Tout Ce que l’on doit remarquer , c’est que si la diminution qu’on voudrait faire était trop grande, on s’en apercevrait en donnant aux termes du premier membre de l’équation 1/ (3n‘ —
— n =x, la valeur en nombre des lettres qui le composent : car si l’on trouve, par exemple, que 3ra’ soient moindres que 6^ c’est une marque que ce problème est impossible; que si l’on trouve l/(3n’ — 6hf) = n , c’est un signe que x est égal à zéro , c’est-à-dire que le sommet du mur sera la pointe du triangle dont l'épai.sscur sera zéro (i).
(3) Ltrs résuluu de ce chapitre et du précédent, fondés sur ropplication des premiers principes de la mécanique aux hypothèses qui ont été établies, ne peuvent donner lieu à aucune nbsen'ation. Qn remarquera seulement que dans les dernières solutions (lu problème de la poussée des terres qui ont été publiées, on consitlère égab'ment le mur comme une seule pierre reposant sur une base incompressible ; mais on y suppose que le imir peut céder de deux mainêrcs différentes, c'est'ào<lire en tournant autour de la ligne extérieure de sa base, ou en glissant horizontalement sur cette base, et nn évalue sa résistance dans ces deux hypothèses (A'},
