C H A P 11' R K PREMIER

ou r.’oN F.^ISFIONE COM.ME SE FAIT I.A TOUSSÉE DES VOUTES.

Si l'on considère la voûte YAZ formée par une quantité de vnusmirs p, égau.x, on sait que ces voussoirs, quand il s’agit d’une voûte en plein- no. cintre, ont été taillés de manière que leurs joints prolongés viennent se rencontrer au centre du demi-cercle : ainsi , ces voussoirs étant plus larges à la tête qu'en bas , doivent être regardés comme des coins qui s’appuient et se soutiennent les uns les autre.s, et résistent mutuellement à l’effort de leur pesanteur qui les porte à tomber; car nous supposons ici (pour mieux apercevoir l’ellet des voussoirs) qu'ils ne sont entretenus par aucun ciment, et ont la liberté de glisser comme si Icur.s faces étaient polies. Nous supjioserons encore que les points O, .A, D,

F, etc., marquent les centres de gravité des voussoirs, et qu’en commençant par la clef on a tiré par les points A et O une ligne .AV perpendiculaire sur la face C ; que par les points A et Don en a tiré une autre AP sur la face B; par les points 1) et F on en a tiré une autre DQ sur la face b! ; et qu’on a continué de même , afin d'en avoir autant que de voussoirs. Cela posé, considéreit que 1a clef étant soutenue pâlies deux voussoirs voisins comme par des plans inclinés , fait le même effet qu’un coin <[ui , étant chassé dans un corps , tend à le partager en deux par un effort qui se fait selon des directions AB et .AC, perpendiculaires aux deux plans inclinés BI et Cl ; car l’on peut prendre ici la pesanteur du coin pour la puissance qui le chasse : ain.si les deux pui.ssances qui soutiendront les faces B I et CI en équilibre contre la force du coin, agiront suivant des lignes de direction AP et AV, perpendiculaires aux mêmes faces; et comme ces directions viennent se rencontrer au centre de gravité A, où l’on peut supposer que la pesanteur du coin est réunie, on peut donc dire que ces puissances auront besoin d'autant plus de force que les angles PAI et V.AI seront plus ouverts , ou , ce qui revient au même , que les faces BI et CI seront moins inclinées par rapport il 1a verticale A I ; car si elles l'étaient infiniment

loa

LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, peu , c’est-à-dire presque perpendiculaires à l’horizon , les directions des puissances P et V se trouvant directement opposées , il leur fauilrait une force extrême |>our pouvoir soutenir le point pesant A, équivalent au voussoir, au lieu que plus les angles qu’elles formeront avec la verticale AI seront aigus, moins elles auront besoin de force, puisqu’alors leurs directions n'étant plus si op|>osées entre elles, elles le seront davantage au poids du voussoir.

Ce que nous venons de voir au sujet de la clef, pourra aussi se dire des voussoirs ü et O : car le voussoir D, par e.xemple, ayant aussi la ligure d’un coin , agira pour écarter les deux faces voisines ; mais non pas si puissamment sur la face K que la clef A fait sur la face B, à cause que le plan El, étant plus incliné que le plan Bl, par rapport à la verticale Al , l’angle QDK formé par la ligne de direction DK et la ligne de direction DQ, de la jtuissance qui serait en équilibre avec l’effort que fait le voussoir D sur la face E, est plus aigu que l’angle PAl. De même que le voussoir F fera encore moins d’effort contre la face G , que le précédent n'en fait contre la face E, parce que l’angle RFL est encore plus aigu (|ue l’angle QDK, Or, comme toutes les puissances qui soutiendraient les voussoirs depuis la clef jusqu’aux piédroits, agiront toujours selon des directions qui feront des angles plus aigus avec les lignes tirées du centre de gravité des voussoirs, leur force ira donc toujours en diminuant; et comme ces puissances ont été supposées équivalentes aux efforts que font les voussoirs, il s'ensuit que ceux-ci poussent avec une force qui va toujours en diminuant depuis la clef jusqu’aux piédroits.

Cependant, comme le voussoir Ü agit en même temps sur les deux faces E et B , on voit qu’il ne |>cut s’appuyer contre la face R , sans s’opposer en partie à l’effort que fait la clef contre cette même fane, et que par conséquent il doit arriver une destruction de forces entre la clef et le voussoir D. De même, les deux voussoirs F et D agissant aussi dans un sens opposé, eu égard à la face E, il y aura encore une destruction de forces entre ces deux voussoirs, et ainsi des autres suivants pris deux à deux. Il est bien vrai que, comme la clef pousse avec plus de force contre la face B que le voussoir D n’en a pour la repousser, la destruction de forces ne sera point entière ; il en restera toujours à la clef une certaine quantité, mais qui ne sera pas si grande qu’elle eût

■ ■ ■ X>iqitizfiClJlV,GQOgk

LIVRE II. DE L.4 MECANIQUE DES VOUTES. luî été si le voussoir D ne faisait aucun effet sur la surface B ; de même , quoique le voussoir D soit repoussé par l’autre F, il restera encore à ce premier une certaine quantité de force. Ainsi, en général, on peut dire qu’un voussoir qui est au-dessus d'un autre a plus de force pour pousser l'inférieur, que celui-ci n’en a pour le repousser : et comme les voussoirs, depuis lu clef jusqu'à la naissance de la voûte , vont toujours en exerçant une moindre partie de leur pesanteur sur ceux qui sont immédiatement dessous, l’effort que chaque voussoir fuit pour repousser celui qui est supérieur, va toujours en diminuant à mesure que les plans E I et G I sont moins inclinés a l’horizon , parce qu'alors ces plans portent une plus grande partie du poids. Par conséquent, celle qui tend à glisser fait moins d’effet contre la puissance qui voudrait lui résister , ^ tellement qu’on peut dire ()ue l’effort que tous les voussoirs font de bas en haut va toujours en diminuant en venant de la clef vers les piédroits, dans la meme raison que l'effort qui se fait du haut en bas.

Comme le résultat de l’effort que les voussoirs font à droite et a gauche de la clef tendra à écarter ce qui |>cut leur résister, c’est-à-dire les piédroits, c’est l'effort total de tous ces voussoirs qu’on appelle poussée , qui n’agit pourtant pas tout-à-fait comme je viens de l’insinuer, puisqu’il ne paraît pas possible que tous les voussoirs qui composent une voûte pui.ssent se soutenir d'eux-inêmes sans être entretenus par ciment ou mortier. Car les voussoirs supérieurs ayant plus de force pour pousser les inférieurs que ceux-ci n’en ont pour les repousser, il est constant que ceux (|ui auront moins de force seront contraints de s’élever; ce qui laissant la liberté de tomber à ceux qui sont au-dessus, tout l'arrangement des voussoirs se détruirait, et par conséquent la voûte même ; et ce n’est que dans le casoù tous les voussoirs auraient une poussée égale, qu’ils se maintiendraient en équilibre sans le secours d’aucune matière qui les entretint Mais pour cela il faudrait augmenter leur pesanteur en venant de la clef vers les piédroits , afin que chacun pût, par son poids, résister d'autant plus que le plan sut. lequel il est apjmyé est moins incliné par rapport à celui qui est au-dessus. Or, puisqu'une voûte telle que celle qui est représentée dans la ligure ne |K>urrait se soutenir sans ciment , ce n’est donc pas les efforts effectifs -des voussoirs qu’il but considérer , mais seulement la tendance qu’ils ont à agir.

io4 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Comme il doit y avoir sur In base de chaque piédroit uii point où vient aboutir refFort qui se fait à droite et à gauche, on remarquera que ces points répondent nécessairement aux angles S et X , qu’on doit regarder comine des points d appui qui appartiennent à des lei'iers, qui à la vérité ne sont point sensibles aux yeux , mais qui pour cela n’en ont pas moins de réalité, comme on en va juger.

Si la poussée d’une voûte n’était point partagée le long de chaque quart de cercle AY et .AZ, mais quelle fût toute réunie à deux points, comme Y et Z , il est constant qu’on aurait de chaque côté un levier oecourié YSll et ZXM , dont les puissances seraient appliquées aux extrémités Y et Z des bras SY et ZX , et les poids qui sont équivalents à la résistance des piédroits aux extrémités II et M , des bras SH et XM. Mais comme il y a autant de puissances que de voussoirs , si l’on en excepte les deux Y et Z , qui n’ont point de poussée, il faut donc que chaque puissance ait son levier particulier, ou que ce levier soit ex|>rimé par une ligne qui puisse être admise en sa place. Or, comme ces ligiies ne peuvent être que les perpendiculaires SP, SQ, SR, etc., tirées du point d'appui S sur les directions des puissances qui .soutiendraient les voussoirs, on voit clairement à quoi doit se réduire tout le mécanisme qui règne ici , de sorte (jue pour proportionner l’épaisseur des piéilroils à la poussée d’une voûte, il faut savoir trouver l’effort que fait chaque vou.ssoir, par rapport à sa pesanteur absolue, et les perpendiculaires SP , SQ, SR , etc. (i).

On peut tirer plusieurs conséquences de ce que nous venons de dire.

(i) I.'expïicalion (jue dnmic Bélidor de la nianicre dont .s’enorre la poussée des voiltos, n'était pas nouvelle lors de la première publication de la Science des Ingénicitrs. Parent , de la Hire i Pilot, en avaient fait usage avant lui, dans des Méintiires publiés dans le recueil de l'Academie des Sciences. Elle a été admise jus{|u'à ces derniers temps par tous les savants qui se sont occupés de cette malicre, et a servi de base aux applications qu'ils ont faites des principes de la mécanique à la sidulion des difrérenles qtii siions concernant la théorie des voAles. *

Les observations recueillies pendant la construction des graïuls |H>nls Mlis sur la lîn du siècle dernier, et consignées ptnr la plupart dans les œuvres de Permnet , et ries expériences spéciales , ont prouvé qtie cette explication ne s'accordait point avec les effets nalnrels, et ont donné lieu à rétablissement d'une nouvelle tbéoric, dont la

LIVRE 11. DE L.\ MÉCANIQUE DES VOUTES. io5 La première, que dans une voûte où l'on supposerait ( comme on l'a fait ici ) que les voussoirs ne sont entretenus par aucun ciment , plus leur tête serait petite , plus la voûte aurait de poussée ; car ces voussoirs étant regardés comme des coins, ils auront d'autaut plus de force, que leurs faces prolongées feront un angle plus aigu : d'ailleurs les perpendiculaires SP, SQ , SR , etc. , qui répondent aux puissances qui soutiennent les premiers voussoirs , devenant plus grandes à mesure que les faces de ces voussoirs seront moins inclinées à la verticale A I , la longueur des bras des leviers se trouvera augmentée , ce qui donnera plus d'avantage à la poussée des voussoirs ( i ).

La seconde , c’est que plus la voûte aura d'épaisseur , et plus la poussée sera grande , puisque les voussoirs devenant plus longs et par conséquent plus pesants, ils agiront plus puissamment (a).

La troisième , que plus les piédroits qui soutiennent une voûte seront élevés , plus il leur faudra d'épaisseur pour soutenir la poussée; car, comme on ne peut augmenter la hauteur des piédroits sans que les perpendiculaires SP , SQ , etc., ne deviennent aus.si plus grandes, il .s'ensuit que les bras des leviers qui répondent aux puissances , ou si l’on veut à l'effort de chaque voussoir , se trouvant augmentés , ils auront tous ensemble plus de force pour renverser les piédroits.

première idée, due à M. Gauthey , a été exposée en l'an VI dans sa Dissertation sur les dégradations du Panthéon frati^^s.

11 est actuellement reconnu que les voussoirs d'une voûte n'agissent point coruiuc des coins qui se maintieimeot en équilibre par la destruction de leurs pressions réciproques; niais qu'une voûte se partage en plusieurs parties , dans chacune desquelles les voussoirs restent juxta*posés , comme s'ils étaient adhérents, et qui agissent les unes sur les autres par des points d'appui, comme le feraient des leviers inflexibles et pesants, réunis par desarticu1atk>DS. Ces considérations seront développées plus bas (A*).

(i) il est peat-etre superflu d'observer que cette conséquence de l'hypothèse admise par Bélidor, est fausse comme cette hypothèse elie^mêsne. La brgeur de la tête des vnuss<iirs n'influe en rien, en général, sur la poussée de la voûte {N).

(a) Cette seconde conséquence est suceptible de modifleation. En général, la poussée d'une voûte n’augmente avec son épaisseur que jusqu'à une certaine limite , au-deU de laquelle , quand lepaisseur augmente , la poussée diminue , et huit bientût par devenir nulle (A'}.

Fig. 5, 6 et fj.

FiC. a.

io6 LA SCIKNCE DES INGÉNIEÜHS,

Quoique co que je viens de dire suit bien naturel , c’est pourtant à quoi les architectes qui ont parlé des voûtes n'ont fait aucune attention : et afin qu'on puisse en juger, voici comme parie M. Blondel dans sou cours d'architecture , qui est le premier qui m'est tombé sous la main. Il faut, dit-il , donner des épaisseurs aux piédroits qui soutiennent des voûtes , selon la différence des poussées, et c’est ce qui se fait par une règle de pratique en cette manière.

< Partagez l'arc en trois parties égales , et menant une des cordes par « le point de l'imposte , prenez en dehors sur la même , continuée , une « ligne qui lui soit égale ; la droite menée à plomb par l’extrémité de « celle ligne déterminera l'épaisseur du piédroit; comme si, divisant l'arc « ACDB en trois parties égales aux points CD, je mène la corde DB « passant par le point de l'imposte en B, je n’ai qu’à prendre en dehors « sur la même droite , continuée , la partie BE égale à B D , et menant « les deux perpendiculaires KG et BE, elles détermineront l'épaisseur «du piédroit BGEF, qui sera proportionnée à la poussée de l’arc «ACDB.

L’on voit que dans cette règle il n’est fait aucune mention de l’épaisseur de la voûte ni de la hauteur des piédroits, qui sont pourtant deux circonstances auxquelles il faut avoir égard absolument pour les raisons que j'en ai données plus haut.