LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. lii

rain, parce que cette partie se trouve presque entièrement enclavée dans le piédroit), l'on aura donc cette tkjuation n> {f—jr) (/> —

y(^=^dr' + n’/ §■«’; faisant passer dans le second membre

les termes où se trouve l'inconnue, et du second dans le premier ceux

où l’inconnue ne se trouve point , on aura ^ [«’/+ g) + P^'] = r' + î ( 2 n’ + )/i P*'" ^ ^ multiplié toute l’équation

par 2 ; et si l’on suppose = r, mettant r à la place de sa valeur

et complétant le carré , on aura {/ + g) + P^] + r' + ^ry + P, d’où , dégageant l’inconnue , il vient enfin r = — r + V [ ? [ n> (/+ g) + 4“* connus la valeur de r- Ainsi

l’on n’aura qu’à déterminer, si l’on veut, les dimensions de la ligure pour avoir la valeur des lettres, et ensuite faire avec les nombres les opérations indiquées dans l’équation, et l’on trouvera l’épaisseur qu’il faut donner aux piédroits pour être en équilibre avec la poussée desdeux voûtes.

Quand les voûtes sont couvertes par une surface horizontale servant de rez-de-chaussée à l’étage qui est au-dessus , il n’est pas nécessaire d’avoir égard aux poids des terres ou des autres matériaux qu’on met au-dessus des reins pour rempli!- les vides; car, comme ces matériaux agissent dans un sens perpendiculaire , ils font un effort qui diminue ' en quelque façon la poussée, puisqu’ils aident les piédroits à y résister: ainsi il suffira de consi.lérer la voûte, pour en avoir les piédroits, comme s’il n’était pas question de cette nouvelle charge ; c’est jmurquoi je n’en ai pas fait mention dans les calculs précédents (i).

(i) Pour ne négliger aucune observation sur les objets qui peuvent intéresser la pratique, on remarquera qu'on ne «luit point omettre, dans le calcul dé U poussée dune voûte, le poids des madères dont son sommet peut être cbargé, à moins quoii ne se soit assuré que ce poids est trop peu considérable pour influer sensiblement sur 1'épai.sseur drs piédroits {N).

las

Remarque cinquième.

Pl. V. Il se fait quelquefois des voûtes dont X'imposte saille au-delà du mur, Fie. I. et alors celte voûte est iiomm«?e encorbellement^ parce quelle est portée par des corbeaux de pierre : telle est la voûte en plein cintre BDH , qui repose sur les corbeaux BE etHX , dont la saillie EB et H\ est à-peuprès égale à l'épaisseur de la voûte : comme cette construction n'est guère solide, je me garderai bien de la proposer pour modèle, principalement dans les ouvrages de fortifications, où il faut que les voûtes soient d'une certaine épaisseur et solidement établies; mon dessein est seulement de montrer qu’elle a beaucoup moins de poussée que si elle reposait din-ctement sur les piédroits comme à l’ordinaire, et qu’on peut la mettre en usage dans les bâtiments civils, quand-on veut voûter quelque endroit dont les murs qui doivent servir de piédroits se trouvent tout faits, mais trop faibles, parce qu'ils peuvent avoir été bâtis anciennement, sans qu'on ait eu en vue de leur faire porter une voûte.

Or, pour juger de combien cet encorbellement soulage les piédroits, nous tirerons les lignes comme à l'ordinaire , et nous nommerons CV, c; ZC ou PS, y; ZP, d ; MP, y,' SR, g ; ainsi ML ou MN sera c, et par conséquent N P sera f — c — y\ et comme nous supposons que la superficie de chaque voussoir LGD ou LCB est toujours exprimée par n’ , il s’ensuit, par l’article i5, multipliant n’ par NP =y — c — j, on 'aura n’ (./' — c — y) pour la poussée de la voûte; d'un autre côté la résistance des piédroits sera toujours -j- di ' , à quoi ajoutant celle du voussoir CLB , qui est le produit de par le bras de levier PR =y -t- g-, l’on aura cette équation »’ (y — c ) — rU >• — j dy’ «’>■ -t- gn’ , ou

bien (y — c — g)=y -f- après avoir fait la réduction , multi-

plié par a et divisé par d; or, si l’on change le second membre en un

art’

carré parfait, et qu'on dégage ensuite l’inconnue, il viendra y =-^

Pour connaître la valeur de l’inconnue, nous supposerons que le rayon AB est de la pieds, que la voûte en a trois d’épaisseur, que les piédroits ont i5 pieds de hauteur, et que la ligne SR = g est de a pieds. On trouvera que MP = y vaut a4 pieds lo pouces, et que EV — c vaut

LIVRE 11. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES n3 5 pieds 2 pouces. Or, puisqu’on a la valeur de toutes les lettres qui se trouvent dans le premier membre de l'équation précédente, on trouvera, en faisant les opérations qui y sont indiquées, que l’épaisseur des piédroits doit être de 5 pieds 5 pouces. Et comme nous avons vu dans l’article 1 1 que les piédroits d’une voûte qui aurait les mêmes dimensions que celle-ci sans être soutenue par des corbeaux , devaient avoir 9 pieds 6 pouces "j lignes d’épaisseur , il s’ensuit que l’encorbellement donnera i pied i pouce ’} lignes pour la différence de l’épaisseur des piédroits.

On fera attention, quand on fait des voûtes par encorbellement, de charger les piédroits d’une bonne maçonnerie lY, pour maintenir solidement la queue des pierres qui composent les corbeaux , afin d’avoir un contrepoids qui fasse équilibre à celui de la voûte.

PROPOSITION SECONDE

Problème.

Troui'er quelie épaisseur il faut donner nusc piédroits d’une voûte, lorsque ces piédroits ont un talus déterminé.

i^. Nous avons supposé jusqu’ici que les piédroits des voûtes étaient élevés à plomb des deux côtés, parce qu’il n’arrive guère qu’on les fasse autrement : cependant , si on se rappelle ce qui a été dit dans le premier livre, on verra que, leur donnant un [>eu de talus du côté opposé à la poussée , on pourra , avec moins de maçonnerie , les mettre en état de soutenir la poussée de la voûte ; et c’est ce que l’on se propose d'expliquer ici , afin de ne rien négliger de tout ce qui peut intéresser le sujet que je traite.

Pour trouver l’épaisseur Z B ou PS du piédroit PRauquel on se propose de donner un talus exprimé par FZ ou PX , je tire toutes les lignes qu’on a tirées dans les figures précédentes, et je nomme K A ou MF, a; FZ ou PX, b; BV, c; ZX ou FP, d; ZB,y. Ainsi FV ou ML ou MN sera b + c y; ex. MP, n -»- </, par conséquent N P sera a + d — b — c — y; et supposant a + d — b — c = f, NP sera f — y. Or , comme les triangles LKA et PON sont semblables, multiplianty —

n4 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

par n\ c’est-à-dire parla superficie du voussoir LGD, on aura n’ (/ — y) pour l'expression de la poussée de la voûte par rapport au point d'appui P.

Présentement, pour avoir celle de la résistance du piédroit, je considère que la superficie du triangle rectangle PZX est f bd, et que si la ligne PY est les deux tiere de PX , le point Y sera celui où on pourra réunir la superficie du triangle : ainsi, multipliant bd giar | b, l'on aura après la réduction j b' d pour le produit de la superficie du triangle par le bras de levier PY. Je multiplie de même la superficie du rectangle X/.BS = dy par le bnis de levier PT =b + j r pour avoir bdy + \ dy^. Knfiii , comme le centre de gravité Q du voussoir ELB répond au point R, je multiplie sa sujierficie n' par le bras de levier PR, c'est-à-dire par l) -I- y — g (car je suppose toujours RS = g’), et le produit donne n’ [b + .r — g). Or, ajoutant ensemble ces trois produits, on aura la résistance du piédroit ; par conséquent cette équation fn' — n'y = \ b'

art*

d -t- bdy dy' + bn' + n' ~ gn'y, ou bien -j-{f + g -b) — ^6’

= .r’ -I- a -t- (après avoir divisé par d, et fait, passer dans

les mêmes membres les termes où se trouve l’inconnue). Or, si l’on suppose ^ -t- A =/7, et qu’on mette ^ à la place de sa valeur, on pourra du second membre faire un carré parfait, et dégager l'inconnue comme à l'ordinaire, pour avoir cette dernière équation y = — p +

APPLICATION

Supposant la hauteur du piédroit FP — d 6e |5 pieds, et son talus KZ = Ade3:KA=a sera de 9 pieds 10 pouces , BV =c de a pieds apouccs; ainsi a -t- d — b — c, c’est-à-dire/, sera de 19 pieds 8 pouces, et la superficie du voussoir LGD, de 3a pieds. Or, pour avoir la valeur de P , qui est la seule lettre qui nous reste à connaître , je me rappelle qu’on a supposé ^ -h b=zp\ et comme vaut 4 pieds 3pouces,

et A 3 pieds, p vaudra ^7 pieds 3 pouces. Ainsi , ayant la valeur de toutes les lettres , je lais avec les nombres les opérations (|ui .sont indiquées

dans l’équation y = — /? ± 1/ 3^ W + g — b) — et je

LIVRE U. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. laS trouve que j, ou si l’on veut , l'éjiaisseur de ZB , est de 3 pieds 9 [Muces 3 lignes; c’est-à-dire que si l’on donne trois pieds de talus aux piédroits, et 3 pieds g pouces 3 lignes d’épaisseur au sommet, ils seront en équilibre par leur résistance avec la poussée de la voûte.

Remarque première.

18. Pour juger combien il faudrait moins de maçonnerie pour les piédroits de la voûte que nous venons de calculer, que pour ceux du premier problème, il n’y a qu'à comparer l’épaisseur du profil de Tun avec celle du profil de l’autre, pui.squ’ils ont la même hauteur. Pour cela , j’ajoute les lignes Z B et PS ensemble , c'est-à-dire 3 pieds 9 pouces 3 lignes , et 6 pieds 9 pouces 3 lignes , et je prends la moitié de la somme , qui est de 5 pieds 3 pouces 3 lignes pour l’épaisseur réduite , laquelle étant comparée avec (J pieds G pouces’ 7 lignes , épaisseur des piédroits du premier problème, la différence sera de i pied 3 pouces 4 lignes ; a; qui fait voir qu’en donnant au piédroit un talus tel que nous l'avons supposé, l’on emploiera environ un cinquième moins de maçonnerie, que si l’on avait fait ces piédroits h plomb des deux côtés.

Remarque seconde.

19. Quand on a trouvé, comme dans le premier problème, l’épaisseur qu'il faut donner aux piédroits d’une voûte pour être en équilibre avec la poussée, on peut, sans en augmenter la dépense, mettre la ré. sistance des piédroits beaucoup au-dessus de la poussée, afin d'être sûr que, quelque chose qui arrive, les piédroits demeureront inébranlables. Pour cela, il ne faut que diminuer un peu l'épais.seur des piédroits au sommet, et augmenter celle de la base de la même quantité. Par exemple, si l'on a trouvé qu’il fallait q pieds d'épaisseur aux piédroits, on en donnera 6 au sommet, et 8 à la base.

Les murs qui sont expo.sés à l'injure de l'air, et qui ont un talus, étant plus sujets à être dégradés que ceux qui n’en ont point, on ne matiqucra pas de dire que dans la pratique on fera peu d’attention à l’avantage que je prétends en tirer : on prendra là-dessus le parti eju’on jugera à propos ; ce que l'on vient d’enseigner n’en sera pas moins vrai.

iï6 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

PROPOSITION TROISIÈME

Tniiiver l'épaisseur ipiil faut donner aux piédroits des voûtes , lorsque ces piédroits sont accompagnés de contreforts.

Je suppo.se qu’il est question de construire une voûte dont les piédroits doivent être soutenus par des contreforts, que l'on est convenu de la longueur et de l'épaisseur de ces contreforts , aussi bien que de la distance des uns aux autres, et qu'il n'est plus question que de savoir l’épaisseur qu'il faudra donner aux piédroits, afin qu'étant aidés des contreforts, le tout soit en équilibre avec la pous.sée.

Si l'on considère la Fig. 5, ou verra que le point d’appui qui soutient tous les efforts de la poussée de la voûte n’est plus comme ci-devant à l’endroit Y de la base des piédroits, mais bien à l’extrémité P de la queue des contreforts YPQC; ce qui montre que la perpendiculaire PO, abaissée sur la direction 1,0 de la puissance, exprime le bras de levier qui répond à cette puissance. Cela posé , ayant tiré les autres lignes comme à l’ordinaire, nous nommerons KA ou MT., a; ZC ou PY, h; BV, c; GY, d\ CB ou TS,y; ainsi ML ou MN sera b + c Kn;. ,'i -♦-/,• et ,MP , « rf .• par conséquent N P , a +d — b — c — y, ou bien,/' — .r, c» supjwsant a + d — b — c =f.

Comme le triangle I*ON est semblable à LK A, il s’ensuit que, multipliant la superficie du voussoir LGD = n’ par NP =f — /, on aura 'Art. i5. (y — pour l'expression de la poussée de la voûte *. Présentement pour avoir celle de la résistance des piédroits et des contreforts , je considère que les contreforts , tels que ceux dont on se sert pour soutenir les voûtes, ont toujours leur sommet QC terminé en pente, pour faciliter l'écoulement des eaux de pluie : c’est pourquoi j’abaisse la perpendiculaire QH sur CY, et je divise CH en deux également au point I , afin d’avoir la ligne IV , que nous nommerons h , et qui , étant multipliée par PY = &, donnera b h pour la superficie de la coupe du contrefort PQCY, que nous supposerons réuni au point T, milieu de PY , comme si cette coupe était un rectangle ( afin d’éviter les petits détails auxquels on serait assujéti , si l’on voulait examiner les choses dans toute

LIVBE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. ^7 leur précision). Ainsi, multipliant b h par PT = 4A, on aura 4 h' h pour le produit du poids 4 psr son de levier.

Nous supposons que la base des contreforts est rectangulaire ; mais comme il faut avoir egard au rapport de l'épaisseur des contreforts à leur distance , nous supposerons que ce rapport est comme i à a ; c'està-dire, par exemple, que si les contreforts ont 3 pieds d’épaisseur, ils seront à 6 de distance : ainsi , comme ils occupent un tiers de l’espace qui règne derrière les piédroits, il faudra donc divi.ser4 b' h par 3, afin d’avoir j A pour la résistance des contreforts, comme on l’a expliqué dans l’art. 46 du premier livre.

De là je passe aux piédroits \B, dont la superficie, ou si l’on veut le poids 5 , est dy, lequel étant multiplié par son bras de levier PX = b -t- 4/, l’on aura bdy -t- ^dy‘ ; enfin je multiplie la superficie du voussoir C F B = n* , ou le poids 6 , par son bras de levier P R =; A -t- >■ — et le produit donne n' (A -t- y — f), lequel étant ajouté avec les deux précédents , on aura l’expression de la puissance résistante , qui , étant comparée avec celle qui agit , donne cette équation dans l’état d’équilibre fri' — n'y= j A’ A -t- bdy -t- An’ + n'y — n' g ;

laquelle étant réduite, il vient ^ {/ + ë — ^ C ^

-f- b^ y; et snp|>osant ^ + b = p , on mettra p a \a place de sa valeur pour changer le second membre en un carré parfait, et dégager

+ g — A ) + /’* > o6re le résultat cherché.

APPLICATION

Supposant le rayon AB de 13 pieds, AF de i5, KA = a sera toujours de 9 pieds 10 pouces, BV = c de a pieds 2 pouces, et le voussoir LGD = n'de 56 pieds carrés. D’uA autre côté, nous supposerons que la longueur P Y = A des contreforts est de 5 pieds , que la hauteur ZP = d des piédroits est encore de i5 pieds, et que CH est égal à HQ ; I Y sera donc de 12 pieds 6 pouces. On trouvera aussi que / est de 17 pieds 8 pouces , et /> de 1 a pieds 6 pouces. Cela posé, si l’on fait avec la valeur des lettres les opérations qui sont marquées dans l’équation

ia8 r.A SCIENCE DES INGÉNIEURS,

y = P + V' (/+ g' — ^ +/’’]» trouvera que

lepais^eur Y S des piédroits doit être de 3 pieds i pouce 5 lignes , pour qu’aidés des contreforts ils soient en équilibre avec la poussée de la voûte.

Remarque première.

31 Pour connaître l'é|)argne qu'on peut faire sur la maçonnerie, (juaiid on emploie des contreforts , il faut se souvenir que dans l'article i3 nous ayons trouvé qu’il fallait donner 7 pieds 8 pouces 6 lignes d’épaisseur aux piédroits d'une voûte semblable à celle-ci, pour qu’ils fussent en équilibre avec la poussée. Ainsi, cette dimension étant multipliée par la hauteur i5 des piédroits, le produit sera ii5 pieds 7 pouces 6 lignes pour l'estimation des mêmes piédroits. Présentement, si l’on multiplie aussi l’épais.seur que nous venons de trouver, c’est-àdire 3 pieds I pouce 5 lignes par i5, on trouvera environ 47 pieds 6 pouces pour l’estimation des piédroits Y B ; mais comme il faut aussi faire celle des contreforts, je multiplie leur hauteur réduite lY, qui est 13 pieds 6 pouces, par la longueur P\' de 5 pieds, je prends le tiers du produit, parce que les contreforts n’occupent qu’un tiers de l’espace qui règne derrière les piédroits, et il vient 30 pieds 10 pouces, que j’ajoute avec 47 pieds G pouces, pour avoir 68 pieds 4 pouces, lesquels étant compares avec 1 15 pieds 7 pouces 6 lignes, la différence est 47 pieds 3 pouces 6 lignes. Ce qui fait voir qu’on emploiera environ deux cinquièmes moins de maçonnerie en ajoutant des contreforts tels que nous venons de les supposer , qu’il n’en aurait fallu en n’en faisant point : par conséquent , si au lieu de donner 5 pieds de longueur aux contreforts, on leur en. donnait 5 et demi, la résistanee des piédroits serait beaucoup au-dessus de la poussée de la voûte, et on épargnerait encore bien de la maçonnerie; ou, si l’on veut, on pourrait laisser les contreforts comme ils sont , et donner 3 pieds et demi d'épaisseur aux piédroits , ce qui reviendra à-peu-près au même.

Remarque seronde.

33, On observera en passant qu’en réglant la distance des contreforts, on ne doit pas trop les éloigner ni leur donner trop de longueur.

J)igitized by Googl\j

LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. 117 crainte d'affaiblir l’épai&seur des piédroits, si l'on voulait considérer 'le tout dans l’état d'équilibre, puisqu'il faut avoir égard à la liaison des matériaux , dont l’adhérence ne doit point dans la pratique être regardée comme absolument invincible. Je veux dire, par exemple, que si l’on s’apercevait que, pour avoir donné trop de longueur aux contreforts, la valeur de y ne fût point suffisante pour rendre les piédroits d’une épaisseur raisonnable, de sorte qu’on pourrait craindre que la |K)USsée de la vofitc ne fît souffler la maçonnerie entre deux contreforts, il vaudrait mieux diminuer la longueur des contreforts, afin que les piédroits en devinssent plus épais : par la même raison , il est plus à propos de partager la maçonnerie qu’on destine à soutenir les piédroits, en multipliant les contreforts , que d’en mettre une moindre quantité et les faire plus épais. Je veux dire, par exemple, que si l'on roulait soutenir une voûte par des contreforts dont la maçonnerie occup<ât un tiers de l’espace qui règne entre les piédroits et la queue des contreforts , au lieu de faire les contreforts de 6 pieds d’épaisseur et de 13 pieds de distance de l’un à l’antre, il vaudrait beaucoup mieux ne leur donner que 3 pieds d’épaisseur, et les mettre à 6 pieds de distance , parce que plus les piédroits auront de points d’appui , plus l’ouvrage sera solide.

On sent bien que je veux parler des contreforts qui sont appliqués aux ouvrages de fortification ; car je n’ignore pas que quand il s’agit de quelque autre édifice, où il faut que la décoration et la solidité soient de concert (comme par exemple aux églises), on n’est pas toujours libre de déterminer la distance des contreforts, puisqu’il faut avoir égard à la largeur des croisées qui sont pratiquées entre deux , et aux endroits de la voûte (}ui doivent être areboutés préférablement à d'autres, parce que dans ces sortes d’édifices les voûtes n’agissent point partout également , leur pous.sée se réunissant à certains points qui indiquent d’eux-mêmes la position des contreforts.

Remarque troisième.

a3. On peut encore remarquer que la poussée d’une voûte augmente ou diminue selon que le point d’appui P est éloigné dn point S, extrémité de la perpendiculaire BS ; car, si l’on se rappelle que cette poussée dépend du produit de la pesanteur relative du voussoir LGD par la

U VUE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i3i servir de point d’appvii : aussi voil-on que M. de Vauban, en fortiliant le Ncuf-Brisack, a assuré le bord des fondements de tous les revêtements de maçonnerie par un rang de madriers (|ui règne le long du pourtour de chaque ouvrage (i).

De ta manière de trouver l'épaisseur des piédroits des -voûtes surbaissées en tiers -point et en plate-bande, et celle des culées des ponts de maçonnerie.

J F. crois avoir suffisamment expliqué les voûtes en plein cintre dans le chapitre précédent pour n’en plus faire mention , c’est pourquoi je vais examiner dans celui-ci celles que l'on nomme surbaissées ou elliptiques , les autres qu’on appelle gothiques ou en tiers-point , enfin celles que l’on nomme plates-bandes , parce qu’elles ne font aucune corbnre sensible étant plates comme un plat-fond. Cependant, comme les voûtes surbaissées dont nous allons parler .seront supposées parfaitement elliptiques , et non point tracées par des portions de cercle comme font la plupart des ouvriers, il est bon avant toutes choses de prévenir le lecteur de quelques propriétés des sections coniques, auxquelles nous serons obligés d’avoir recours , alin de ne rien supposer dont on n'a- [lerçoive sur-le-champ les raisons : ainsi on fera bien de s’appliquer à ce qui suit.

(i) Cette dernière remarque est également juste et importante. II n'arrive peut-être jamais qu'on donne aux piédroits des voAtes trop peu d'épaisseur pour en soutenir la poussée. Mais il arrive souvent que , faute de donner de l'empattement à la fondation du côté où l'effort de cette poussée se reporte , ou faute de faire cette fondation assez solide , ces piédroits se déversent et se lézardent. La même observation s'applique aux murs qui ont à soutenir la gaussée des terres ; et on peut avancer que la presque toulilé des accidents qui arrivent aux constructions, provient de ce qu'on n'a pas donné à cette observation toute l'attention qu elle mérite (/V).

iT> LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Principes tirés des Sections coniques.

V. 33. Il es' démontre dans les sections coniques que, si l'on mène 7' une ordonnée G H au grand axe AU d’une ellipse, le rectangle compris sous AG et G B est au carré de GIl , comme le carré de AK est au carré de FD ; ainsi nommant AK, a; Kl), b; GF, x; GH, on aura : y.'. u‘ : b‘.

Second Ptincipe.

a6. Il est aussi démontré que si l’on fait FI troisième proportionnelle à FG et à FA, tirant la ligne III, elle sera tangente au point H, ce

qui donne F I = , d’où l’on tire, I G = " .

Troisième Principe.

37. Si au point H où une tangente H I touche l'ellipse , on élève une perpendiculaire H K qui aille rencontrer l'axe AB au point K, je dis que FG est à G K comme le carré de AF est au carré de FD, ou , ce qui revient au même, comme le rectangle de AG par G B est au carré de GH.

Pour le prouver, considérez que les triangles IGH et GHK sont

.semblables; par conséquent IG = — - — : GH = .r :: CH=,>- : G K

= ou , ce qui est la même chose , = Ayant l'expression

de KG, il n’est plus question que de prouver que GF = x est à GK ± , comme le rectangle de ,\G par GB = a' — x’ est au carré

de GH =/’; ce qui est bien évident, puisque le produit des extrêmes et celui des moyens donnent l’un et l’autre xy fcar on remarquera que c’est multiplier le second terme xy par a’ — ■x' que de ne pas le diviser par la même quantité).

Comme les propriétés de l’ellipse sont toujours les mêmes, soit que la tangente aille rencontrer le grand axe AB prolonge, ou le petit axe

LIVRE U. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i3i DE aussi prolongé, on verra , par une démonstration semblable à la précédente, que si la perpendiculaire élevée sur la tangente lO allait rencontrer le petit axe ED au point L, on aurait encore le carré de E F est au earré de AF, comme l’abscisse MF est à la ligne ML.

38. Il suit du premier principe que, connaissant les deux diamètres AB et ED d'une ellipse, et la distance du centre F au point (• où on aura mené une ordonnée G H , on connaîtra toujours la valeur de cette ordonnée en nombres, en disant: Si le carré du demi-diamètre AF donne tant pour le carré du diamètre FD, que donnera la dilTérence du earré de A F au carré de FG pour le carré de G H que l'on clierche? lequel étant trouvé, on n’aura qu’à en extraire la racine carrée, «jui sera la perpendiculaire G H.

COROLI. AIRE II.

39. Il suit aussi du troisième principe que, si on avait besoin de connaître la valeur de la partie ML comprise entre l’oidoniH^e HM et la perpendiculaire HL, élevée à l’extrémité de la tangente IH, on n’aura qu’à dire : Si le carré EF donne le carré FB, que donnera la ligne FM pour la valeur de la ligne M L ? ce qu’on trouvera en faisant la règle.

Remarque.

3o. Comme on ne parvient avec le secours de l’algèbre à la connaissance des grandeurs que l’on cherche , que par le moyen de celles (jue ' l’on connaît déjà , il faut néecs.sairemcnt , pour déterminer l’épaisseur des piédroits qui soutiennent les voûtes elliptiques, connaître certaines lignes qu’on ne peut avoir que mécaniquement , c’est-à-dire en traçant une demi -ellipse semblable à celle dont on veut faire la voûte : et les ellipses en pareil cas ne sauraient être trop grandes , afin d’avoir ce que l’on demande avec plus de précision. Voici comme on s’y prendra.

Ayant tracé sur le parquet d’une chambre ou sur une grande table une ligne AB de 5 à G pieds de longueur pour servir de grand axe, on

i34 l'A SCIENCE DES INOÉNIEÜRS,

la divisera en deux également au )>otnt D, et a ce point on ëlevera la perpendiculaire ÜC, dont la longueur doit avoir le même rapport avec la ligne AB, que la hauteur de la voûte dans œuvre qu*on se propose de faire aura avec sa largeur. Ensuite il faut tirer les lignes CE et CF, ensorte qu'elles soient chacune égales à la moitié du grand axe AB , afin d'avoir les points E et F, qui seront les foyers de l’ellipse. Après cela, ou aura de la ficell*^ bien fine et bien unie , ou un cordon de soie , et on prendra dans cette ficelle une longueurqui soit parfoitement égale à Taxe AB : on attachera les deux extrémités de cette longueur aux points E et F, et , ])our tenir la ficelle tendue , on se servira d'un poinçon , avec lequel on tracera en même temps Fa courbe AGHB, en allant du point A au point C, et du point C au point B (car on entend bien que cette ficelle doit glisser autour du poinçon G , et qu'elle doit être toujours également tendue). Cette manière de tracer l'ellipse est la plus commode que je sache : j’ai jugé a propos de lu rapporter ici , quoiqu'elle soit assez connue; mais ce n'est point un mal de rendre les choses présentes quand on rencontre tes occasions d'en faire usage (i).

(i) (^cripiidti de IVHipse indif|uéc par Belidor est plus espéditive et commode qu exacte ) parce que les cordons que l'on peut employer sont toujours plus ou moins extensibles, et qu’il n'est pas possible que bi tension que la main leur donne reste t-onstammeitt la meme ; cloù il résulté que la longueur du cordon varie continuelle* ment, et que le poinçon décrit une courbe dont les différentes parties n appartiennent pas à la meme ellipse.

De toutes les descriptions connues, voici celle qui paraît préférable : on niarqiier.i " sur une ligne droite la distance ne égale au demi*grand axe, et la distance be égale

l‘in. 0. demi-petit «xo. Puis, ayant mené les lignes AB, CD, à angles droits, on fera mouvoir la ligne abe de nmnière 4 ce que lus points â et £ se trouvent consuiuiment sur deux cotés de i^t angle : le point c décHra l'cllipsc. Cette méthode sc déduit facilement ïl un ihéorcnie plus général donné par Maelaurin.

La démonstration immédiate en est très-simple. Soit néH une des positions de U ligne décrivante , on a dans les triangles semblables oD^et \)b :^I :: ab \ bï\,

ou D4 + 4 1 : 4 1 :: ^ H, ou , en nommant A et B le demi-grand axe et le

demi-petit axe, a: et/ les coordonnées du point H , j? : :: A : B. Mais A I = ^ ^

donc D JT =: A \/^* — ou B’ a:* -P A* r* A* B*, ce qui est lequaffon connue de l'ellipse.

Cette méthode, très-commode pour être employée sur le papier, et quand on n’a

UVRE 111. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. ,3:, L'ellipse étant tracée, il faut faire une échelle, et avoir égard à la kir, quantité de pieds qu'on veut donner de largeur à la voûte : si c’est par exemple o4 pieds, je divise la ligne AB en quatre parties égales, et une de ces parties étant divisée en pieds , pouces et lignes , on roniiaitra

d'autre objet que de décrire une ellipse, ne conserve pas le niA^ine avantage quaml on veut tracer en grand les épurés seivaitl à l’exécuilon des M. de Prony a donné

dans lé dixième cahier du Journal de i Kcole Polyterliniqiie, 1810, im procéilé nouveau pour la description des courbes du second degiv, qui est parfaitement adapté a c'elte circonstance , et que , vu sa grande utilité, je vais rapporter ici.

Étant donné le demi-grand axe CA et le demi-petit axe CB de lellipse, on décrira du point C comme centre, et avec CA |>our rayon, un cercle : puis on fera nouvoir une équerre de manière qu’un de ses côtés «K passant toujours par le fi»ycr K, le soinincl n de faiigle droit parcoune ce cercle : l’autre coté de l’équerre ut sera toujours langent h l’ellipse. Traçant ainsi une suite de tahgeutc-s suflisattiment rapprocheVs les unes des autres , on aura avec la plus grande netteté le cours de la courbe. La même méthode s’applique mot à mot à l'hyperbole , et pour la parabole le cercle décrit du centre devient une ligne droite tangente au sommet de la courbe.

Ce mode de description a le grand avantage de ne pas exiger une aire plus grande que le rectangle ctrcouscrit à rdlipsc, et de donner immédiatement les tangentes et les normales, necessaires pour le tracé des joints des voussoirs. IM. de Prony l’a déiiiiit de la onnsideration dn solutions particulières des équations difTérentielIes , et c’est sans doute U manière la plus directe d'y parvenir. Mais je vais en donner une démotustraiion synthétique, à-la portée du plus grand nombre do lecteurs. Supposé que la ligne rnn soit efTectivemctit tangente à l'ellipse , et soit m le point de ungence joignant ce point avec l’autre foyer y, la ligne mj" prolongée viendra rencontrer en o la ligue Fn, aussi prolongée , yb sera égale au grand axe, et ho à nK (cela résulte immédiatement de ta méthode connue des anciens pour mener la tangente k l’ellipse ){ or, en menant Cn, il est évident que les triangles /*oF et C/iF seront semblables, les côtés CF et F/l du premier étant les moitiés des côtés Fy et F o du second : donc , CIm est aussi la moitié de J'o , et par conséquent égale au demi-grand axe, et le point n se trouve sur le cercle décrit du point C comme centre, avec le demi-grand axe pour rayon. La même dé-* monstration s'applique aux autres courbes du second degré.

Cette construction peut être remplacée par un procédé de calcul de la plus grande simplicité, et que je vais douner en continuant d'employer des considérations clémen- , Uires à la place de celles dont M. de Prony s'est servi. On sait que, nommant x l'ab- • scisse A/> du point de contact , comptée à partir du sommet, et A, B, les demi-axes, >on a la soutangente

a Ax — x'

LIVRE U. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. 137 diviser le quart d'ellipse BD en deux également au point L pour mener à ce point la tangente I-O, et sur rextréinitc L la perpendiculaire LA qui , étant prolongée jusqu’en F , partagera comme à l'ordinaire la demivoûte en deux parties à-peu-près égales (i). .Alors la ligne FA pourra être regardée comme le plan incliné sur lequel agit le voussoir FGDL, et la ligne OL comm'e la direction de la puissance qui serait en équilibre avec l’action du même voussoir. On sera peut-être surpris que cette direction ne soit pas perpendiculaire sur le milieu du joint FL, comme dans les problèmes précédents ; mais comme il fallait nécessairement «ju’clle répondit au point L pour avoir les lignes LK, LV, KA, nous avons été obligés d'en user ainsi afin d’agir avec plus de prt-cision , et nous y aurons égard dans l’application. Ainsi , supposant les autres lignes tirées comme ci-devaut, nous nommerons LK , rt; KA,A/LA, e; B V, d; BS,/"; -MP, §■/ ZB , y; et le voussoir CG ou CE, n’.

Cela posé, je considère que les triangles LKA et LM N, étant semblables, donnent AK = é : LK = fl ;; LM =y -t- d : MN d); par conséquent N P sera g — ^ ( r + d : et comme les triangles LKA et NOP sont encore semblables, on aura aussi L.A =c : AK ::NP = g’ — ^(jr + d): PO = -^ — g (y + 4“i donne

l’expression du bras de levier PO. Présentement, pour avoir l’expression de la puissance O, je considère que la pesanteur absolue du voussoir LGD est à son effort sur le joint FL, comme LK = est à LA

= c, et qu’ainsi il faudra multiplier — par le bras de levier PO, ce

qui donne n’ ( ^ pour l’expression de la poussée de la voûte

par rapport au point d’appui P. D'un autre côté, pour avoir celle de la résistance du piédroit PB, jointe au voussoir FB, je multiplie le rectangle PB =fy par PT = i 7-, et la superficie du voussoir FB = n’ par le bras de levier PS (car je suppose que la ligne de direction tirée

(i) On voit i|ur Délidor suppose tjue ].v disjonclion des voûtes surUaissées se fait dans un point situé à égalé distance du sommet et des naisSiinees. Cette supposition est tout aussi arbitraire et tout aussi fausse jMittr ces voûtes que pour celles en plein cintre. (Voyei ci-dessus la note de la page 111). (A')

ii« I.A St.lKVCE DES INDÉNIEUUS,

<lu contre clegr.ivitc Q tombe à-pen-près au point S , ce voiissoir étant beaucoup plus incliné <[uc dans la voûte en plein cintre) : ajoutant ces deux produits ensemble pour la comparer avec la poussée de la voûte,

il vient cette équation n’ ( ^ ~ ify + ^ i l•'flucll« étant

réduite , divisée par/'et multipliée par u , il vient ^ —y'

ifi*

— ' changeant le second membre en un carré parfait et dégageant

an’ , r a n* / Ae a n’ >N 1 1 inconnue, on aura y y + 1/ [ ~j- ~J “JJ’

donne ce que l'on cherche.

Pour rapporter le problème précédent à la pratique, il faut commencer pur tracer une grande ellipse, comme on l'a enseigné dans l'article ■ 3G, en sorte que les deux demi-axes soient dans la raison des lignes

H B et II D : par exemple, si la largeur de la voûte dans œuvre était de a4 pieds, et que la hauteur DH fût les deux tiens de cette meme largeur, B H serait de ta pieds , et DH de 8. Or, divisant un quart de cette ellipse en deux également, on abaissera du point de division une perpendiculaire comme LV, dont il sera aise de connaitre la valeur par le moyen de réchcllc, aussi bien que de la ligne VH ou LK. .Ayant donc fait moi-même ce que je viens de dire, j'ai trottvé que I.V ou KH était de () pieds 3 pouces, et que I.K ou \OI était de 7 pieds (> pouces; et comme il fallait aussi connaitre K A, j ai dit , selon l’article aq ; comme le carré de DH est au carré de H B, de même la ligne KH est à la ligne KA, que j’ai trouvée de i4 pieds q lignes.

I.a voûte étant supposée tic 3' pieds d'épaisseur, pour avoir la super- , (icic des voussoirs F D ou F B , j’ai cherché celle de la grande et de la petite ellip.se , et ayant retranché l’une de l'autre j'ai pris la huitième partie de la dilférence, ce qui in’n donne ay pied.s. Ainsi, supposant la hauteur du piédroit de |5 pieds, on aura la valeur de toutes les lettres qui se trouvent dans l’équation précédente, pui.sqiic f.K = rt sera de 7 pieds B pouces, K A =h de i4 pieds q lignes, BV = tf de 4 pieds 6 pouces, ZP=,/'de i5 pieds, AI P = ^ de ai pieds 3 pouces.

LIVRE U. UE LA MECANIQLE DES A O LT ES. 189 h quoi il faut ajouter la moitié de l’éjiaisseur tic la voûte pour avoir •2a. pieds g pouces, et CG =11' de 37 pieds : ainsi , ayant (ait avec les nombres les opérations <|ui sont indiquées dans la dernière équation, j’ai trouvé que v, c’est-à-dire ré[>aisseur des ])iédroits , devait être de 8 pieds 8 pouces.

tangente LO donnant un bras de Uvier OP plus court que si la ligne de dirvetion de la puissance était perpendiculaire sur le milieu du Joint FL, comme est par exemple CX , j'ai augmenté la valeur de la ligne M P de la moitié de l'épaisseur de la voûte , afin que le bras de levier l’O fc trouvant allongé de la ligne X O égale ù C L , cette solution répondit à-peu-près aux précédentes.

Remarque première.

3a. On voit que les voûtes surbaissées ont plùs de poussée que celles qui sont en plein cintre: car, comme l’angle OLV formé par la ligne de direction OL et la perpendiculaire LV est plus grand que dans les profils précédents , il arrive que le bras de levier PO se trouve allongé , ce qui doit augmenter la force de la puissance agissante. Or, comme plus le demi-axe DH sera petit eu égard à l’autre HB, plus le bras de levier PO augmentera, il s’ensuit que plus une voûte est surbaissée, plus elle a de poussée.

Remarque seconde.

33. Il est bon d’observer aussi que les voussoirs qui composent une voûte surbaissée devant avoir nécessairement plusieurs centres , cette voûte n'est pas à beaucoup près si forte que celle en plein cintre; parce que, dans cette dernière, l'effort de tous les voussoir^ se réunissant à un seul point , ils se fortifient mutuellement , et sont capables de mieux soutenir l’action de quelque grand fardeau ou de quelque choc violent , comme serait celui des bombes. Ainsi, quand il est question des souterrains qu’on veut mettre à l’épreuve , il n'y a point de voûte qui convienne mieux que celle en plein cintre.