LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES

a angles droits par ce côté; de meme, la ligne de direction OL de la puissance O étant perpendiculaire sur le côté I.Q , il exprimera l’elïbrt du voussoir sur le joint F C : ainsi , nommant n’ la superficie de ce

voussoir, son effort sera encore ^ , lequel étant multiplié par le bras de levier PO, on aura — /) P°ur la poussée de la voûte

par rapport au point d'appui P. D’un autre côté , si l'on suppose que la ligne de direction tirée du centre de gravité du voussoir LFB vient tomber au point S , afin de rendre le calcul plus simple , la résistance du piédroit joint au voussoir qui lui répond, sera exprimée comme cidevant par -t- «’.>■ qui , étant comparé avec la poussée de la voûte.

donnera dans l’état d'équilibre an’j, d’où l'on

tirera comme à l'ordinaire /= — ^ ^

APPLICATION

Pour rapporter ce problème à la pratique, nous supposerons que la ligne BI est de a4 pieds: cela étant, H B ou HD sera de i8 pieds, et AHdeC. Ainsi, dans le triangle rectangle A DH, dont on connaît deux côtés, il siTa aisé de connaître l'angle AHD, qu’on trouvera de JO degrés 3o minutes, dont la moitié sera pour l’angle LHV’du triangle reclatigle LVH, duquel on connaît le côté LH; car, la voûte ayant trois pieds d’épaisseur, ce côté sera de if) pieds et demi : ayant un triangle rectangle dans lequel on connaît deux angles et un côté , on trouvera par le calcul ordinaire que LV est de i i pieds 3 pouces, et VH d’environ i6 pieds, d'où retranchant A H de six, il en restera lo pour VA ou LK.. Ainsi, connais.sant un des deux côtés du triangle rectangle I.KQ avec l’angle aigu LQK (puisqu'il est complément de l'angle .A HQ), on trouvera que le côté KQ est à-peu-près de j pieds, de sorte que, si l’on suppose que la hauteur du piédroit est encore de i5 pieds, on aura la valeur de toutes les lettres, excepté /t’; car LA = a sera de lo pieds , KQ -= ô de 7 , B V = de a , Z P de 1 5 ; .à quoi ajoutant LV ou MZ, qu’on a trouvé de ii pieds 3 pouces, oa aura 26 pieds 3 pouces pour M P = g-.

l4a LA SCIENCE DES INGÉNIEIRS,

Comme il nous reste à trouver la valeur re’, je ctierelie la superlleie (les cercles (|ui auraieiH pour rayon HB et II E; c’est-à-dire- 18 et ai pieds; et après les avoir trouvés j’en prends la dilTércnce , qui est de 168 pieds carrés, valeur de la couronne dont la superficie du voussoir LDT fait partie. Or, pour avoir cette partie, je dis : Comme 36o de- ^'rés, valeur de la circonférence du cercle, est à 35 degrés i5 minutes, valeur de l’arc FT ; ainsi 3G8 pieds, dilTérence de deux cercles , est à la superficie C F'f I) , qu’on trouvera de 35 pieds q pouces 5 lignes : faisant

les opérations indiquées dans l’équation a- = — ^ ±1/ —

f/ -H j , on trouvera que la valeur de y-, c’est-à-dire l’épais.seur de

piédroits , doit être de 5 pieds 3 [louces.

Quoique la perpendiculaire A X et le rayon HT se coupent au point I), et forment f angle 'FD X , qui comprend un petit espace qui rend le voussoir supérieur LX plus grand que l’inférieur LEB , je n’ai pas laissé de les supposer égaux, parce que la différence est trop peu de chose pour que l’on y ait égard dans la pratique.

llcnianjuv première.

35. On remarquera que les voûtes en tiers -point ont beaucoup moins de poussée que celles qui sont en plein cintre, parce que la ligne de direction OL de la puissance qui soutiendrait le voussoir LTD, faisant un plus petit angle avec la verticale LV que dans la voûte en plein cintre, il faut nécessairement que le bras de levier PO soit plus court que si la voûte était moins élevée , tellement qu'on peut dire que plus le rayon IIB de l’arc BD sera grand, moins il faudra donner d’épaisseur aux piédroits.

Remarque seroude.

36. Si les voûtes en tiers-point ou les surbaissées avaient leurs extrados dirigés en pente , on trouverait toujours l’é|>aisseur de leurs piédroits, comme on a fait dans l'article i3, puisque les opérations ne différeront en rien de celles qu’on vient de voir dans les deux propositions précédentes. Il n’y aura que la seule expression du voussoir qui pourra valoir un plus grand nombre de pieds carrés.

MVlUi II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. ,43

De rat'me, si l’on voulait que les piédroits de ces deu.'t espèces de voûtes fu.sscnt nccompiigncs de contreforts , oti suivrait ce qui a été enseigné dans l’article 20, n’ayant pas jugé à propos de répéter ce qui a été dit à ce sujet , pour ne pas ennuyer.

PROPOSITION TROISIÈME

Problème.

Trouver ü épaisseur qu’il faut donner aux piédroits qui soutiendraient une plate-hande.

37. La première chose dont il faut être prévenu , est que pour avoir la coupe <les clavaux qui doivent composer une platc-hnnde , on trace un triangle équilatéral .A LF sur la ligne LF qui exprime la largeur de la plate-bande; ensuite on divise cette largeur en autant de parties égales qu’on voit à-peu-près qu’elle doit contenir de clavaux , et du point A comme centre on lire des lignes qui pas.sent par chaque point de division , lesquelles allant rencontrer G I marquent la ligure et la grandeur des clavaux. Ainsi, supposant que la plate-bande DEFL ait été construite <le la façon que je viens de dire, nous en prendrons la moitié DCKL, pour être considérée comme une seule pierre qui, faisant l’eflét d’un coin dont les faces seraient DA et C.A , agit contre le point L pour renverser le piédroit M S. C’est pourquoi il faut abaisser au point L la perpendiculaire LO sur D.\, pour avoir la ligne <le direction de la puissance qui souticmlrait l'cfTort de la plate-bande DK, et alors la perpendiculaire PO sera comme à l’ordinaire le bras de levier de cette puissance Pour en avoir l’cxprc.ssion , nous nommerons LK, « ; par conséquent L. A sera an, puisrpi’à cause du triangle équilatéral L.A est double de LK : d’un autre côté K A sera nommé h; LM , y, -MP, y,’ et la superficie LDCK/i’ : cela po.sé, remarque/. (|u’à cause de l’angle droit OLA, les trois triangles AKL, LMN, NOP, sont semblables : ainsi K.A =ô : KL a ;; LM ~y r AIN =■ ^ : par conséquent NP sera/ — , d’où l'on tire AL:=2<i : .AK=:// PN =

' b ta

,44 I.A SCIENCE DES INGENIEUHS,

Si l'on fait attention que la pesanteur absolue de la demi -plante-bande LDCK est à l'effort qu'elle fait contre le piédroit comme LK est à LA , on verra que LA étant double de I^K, l’effort que soutient la puissance O doit être exprimé par 2/1’ : c’est pourquoi , multipliant cette quantité

par le bras de levier PO, on aura (après la réduction) n* — y ^

pour l’expression de la poussée de la plate-bande par rapport au point d'appui P, laquelle étant comparée à la résistance des piédroits, c’est-

à-dire , à hfy, on aura =\f y^ H- n’/ , dans l’état d’équilibre ; ou

Lien = y* + “prcs avoir multiplié par 2 et divisé pary^; or, si l’on change le second membre en un carré parfait , et qu’on dégage ensuite l’inconnue , il viendra j = — y + KX' ^ ^ ^

APPLICATION

Supposant que la hauteur LS = J des piédroits .soit de i5 pieds, que la largeur LF de la voûte soit de a4, et son épaisseur CK de 3, on verra que LK = <7 est de 12 pieds, KA = i de ao pieds 9 pouces 4 lignes, et la superficie LCDK = n* de 38, pieds 3 pouces carrés: ainsi , faisant les opérations qui sont indiquées dans la dernière équation , on aura g pieds 2 pouces pour la valeur de )-, c’est-à-dire pour répaisseur des piédroits.

Rcmaiijue.

38. La plate - bande est de toutes les voûtes celle qui a le plus de poussée et le moins de force : c’est pourquoi elle n’est pas d'usage pour les fortifications, et ne s’emploie guère que dans les grands édifices et avec des dépenses considérables, à cau.se des barres de fer dont on se sert pour soulager les piédroits et pour lier les clavaux ensemble.

S’il s'agissait de quelque porte-cochcre , il faut , pour empêcher que la plate-bande ne porte tout le poids du mur qui serait élevé dessus, faire un arc de décharge qui soit appuyé sur les piédroits.