LIVRE U. DE I,\ MÉCANIQUE DES VOUTES

PROPOSITION QUATRIÈME

Problème.

La pesanteur de la clef d'une voûte en plein cintre étant déterminée ,

DU demande de combien il faut augmenter celle de chaque voussoir, pour qu’ils se soutiennent tous d'eux-mé'mes en équilibre.

it). Nou.s avons fait voir dans l'article i"’ que tous les voussoirs qui Pl. \ 1. composent une voûte avaient plus ou moins de poussée , selon qu’ils étaient plus près ou plus éloignés de la clef, et que cette poussée allant * toujours en diminuant, à mesure que les plans sur lesquels ces voussoirs agissaient étaient moins inclinés à l'horizon, les voussoirs supérieurs ne manqueraient pas d’écarter ceux qui sont immédiatement audessous, s’ils n’étaient entretenus par du mortier. Cependant, comme ce serait un avantage pour la solidité des édifices que tous les voussoirs qui composent une voûte ne fissent pas plus d’effort les uns ijue les autres, jusqu’à pouvoir se soutenir d'eux- mêmes par leur poids .sans le secours d’aucune matière étrangère, M. de la Hire a chercltéde combien il fallait augmenter leur pesanteur au-dessus de celle de la clef, pour gagner par leur propre poids la force qu'ils avaient de moins par leur situation ; et comme ce problème est a.ssez curieux , j’ai cru qu’on serait bien aise que je le rapportasse ici. ^

Ayant une voûte en plein cintre ABC composée de plusieurs voussoirs égaux , si par le sommet B de la clef on tire la ligne B O perpendiculaire au rayon GB, et qu’on prolonge jusqu’à la rencontre de Bü tous les rayons qui répondent aux lits des voussoirs P, Q, R, S, etc., je dis que tous ces voussoirs .seront en équilibre, si leur pesanteur absolue est exprimée par les lignes HK, KL, LM, MN, etc.

Pour le prouver, remarquez que les trois puissances qui appartiennent au voussoir P sont exprimées par les côtés du triangle G II K ; que celles qui appartiennent au voussoir Q, le sont par ceux du triangle GKL; et ainsi des autres voussoirs R et S, dont les puissances seront toujours représentées par les-côtés des triangles où ils sont renfermés, puisque les directions de ces puissances seront pcrpendiculaiies aux

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côtés des triangles. Or, si la pesanteur du voussoir P est exprimée par la ligne UK, et celle du voussoir Q par la ligne KL, il est certain qu'ils seront en équilibre, puisque la ligne KG, qui est un côté commun aux triangles qui appartiennent aux voussoirs P et Q , exprime en meme temps la Force avec laquelle le voussoir P pousse le voussoir Q, et celle avec laquelle le premier est repoussé par le second. De meme, si la pesanteur du voussoir R est exprimée par LM , il sera au.ssi en équilibre avec le voussoir Q , le supérieur poussant l’inférieur avec la même force dont il est repoussé, puisque cette force est exprimée de part et d’autre par la ligne G L , qui est aussi un côté commun aux triangles qui appartiennent aux vous.soirs Q et R. Enfin , si la pesanteur du voussoir S est exprimée par M N , on verra par un semblable raisonnement qu’il sera en équilibre avec le voussoir P, puisque ces deux voussoirs agiront l’un sur l’autre avec la même force GM. A l’égard du voussoir T qui répond au piédroit, sa pesanteur ne peut pas être «léterminée; les lignes BO et GC étant parallèles ne se rencontreront jamais, ce qui montre que ce voussoir doit être d’une pesanteur infinie jK)ur résister à l’elfort de tous les autres dans le cas où il pourrait glisser sur un plan infiniment poli ; mais comme dans la pratique il n’est pas question de ces sortes de plans, et qu'au contraire il se rencontre toujours beaucoup de frottement, il suffît de donner à ce voussoir le plus de pesanteur qu’il e.st po.ssibte.

On remarquera que les diftérentes pe.santeurs des voussoirs peuvent èti-e exprimées par la diflérence des tangentes des angles que font les joints en commeinjant au milieu de la clef, puisque les lignes KL, LM , .MN, qui expriment la pesanteur des voussoirs P, Q, R , S, marquent la différence des tangentes des angles BGK , BG L, BGM et BGN. Or, comme on a la valeur de tous ees angles par la division qu’on a faite du demi-cercle , il s'ensuit qu’ayant leurs tangentes dans les tables des sinus, si l’on en prend les différences, on aura des nombres qui exprimeront les rapports de la pesanteur des voussoirs. .Ainsi , connaissant la pesanteur de la clef, oti pourra (par la règle de proportion) connaître celle de cliaque voussoir, afin de voir combien il faudra les faire plus longs les uns que les autres , c’est-à-dire combien il faudra leur donner plus de queue pour qu’ils fassent à peii-près le même effort : je dis à-peu-près ; car, comme on emploie ordinairement du mortier pour

LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. i4; les entrelenir, il n’csl pas nécessaire d’observer une proportion bien exacte dans le rapport de leur pesanteur, il suffît seulement d'y avoir égard quand on veut faire des édilices solides (i).

PROPOSITION CINQUIÈMF.

Problème.

Trouver quelle est la courbe qu'il conviendrait tic donner à une voûte, pour que, tous les voussoirs étant égaux en pesanteur, ils fussent en équilibre.

4o. Si l’on tire sur un plan vertical une ligne AB parallèle à l’horizon, Eir,. 7. et qu’à deux points C et D, pris dans celte ligue, on attache les extrémités d’une chaîne composée de petits couplets, et qu’on leur laisse la liberté de prendre la situation qui leur convient, je dis qu’ils composeront tous ensemble une courbe CFD, dont la figure i-eprésente celle qu’il faudrait donner à une voûte, pour que tous les voussoirs fussent en équilibre , quoique égaux en pesanteur.

Si Ton divise la ligne C D en deux parties égales au point E , et qu’on abaisse la perpendiculaire EF, il est constant qu’elle ira rencontrer le point F, qui sera le plus bas de la courbe; car, à cause de la flexibilité de la rhaine et de l'uniformité qu’on suppose dans les couplets, la partie . CF sera égale à la partie DF ; elles auront toutes deux la même figure, et tous les points pris dans la longueur C F et DF à une égale distance des extrémités C et D se trouveront également situés par rapport à la perpendiculaire EF. Par conséquent cette chaîne forme une courbe régulière, qui a pour axe EF. Or, tous les couplets qui composent celte

(i) La aolutinn dr ce problème étant basée, comme tout ce qui précède , sur la prétendue analogie d'une voiite arec un système de coins pesants, ii’a aucun rapport avec les elTets qui ont réellement lieu. On verr.r plus bas coimiient se résout le proiilème de la construction d'une voAte sans poussée; et je remarquerai seulement ici que M. de Prony a montré comment , en introduisant dans les conditions d'équilibre d'un système de coins riiypotbèse du frottement sur les joint», on obtenait une valeur finie pour la pesanteur du voiissoir aux na'issances. (Voyez la Nouvelle Architecture hydraulique, I” partie, pag. 161, citez Firmin Didot, rue Jacob 'I.

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chaîne étant supposés égaux en grandeur et en pesanteur, se maintiendront en équilibre entre eux , et tendront chacun en particulier au centre de la terre par des lignes de direction , qui étant tirées de leur centre de gravité peuvent être regai-dées comme perpendiculaires à l’horizon : et si l’on attribue à chacun de ces couplets une pesanteur égale, mais incomparablement au-dessus de celle (|u'ils ont naturellement , ils se soutiendront toujours dans le même état où iis étaient auparavant , n'ayant point de raison pour que l’un détourne l’autre de la direction vers laquelle sa pesanteur le faisait tendre. Mais si l'on faisait en sorte que les couplets se trouvassent tellement unis les uns aux autres, qu'ils ne composassent qu'un seul corps incapable d'aucune flexibilité , il ne leur arriverait rien de particulier, sinon d'être obligés de garder la situation où ils étaient les uns par rapport aux autres : de quelque .sens qu’on veuille mettre la chaîne, et tant qu’elle sera attachée aux points C et D , il lui sera indifférent que tous les couplets soient unis ou non, qu’on augmente leur pesanteur, ou qu’on la laisse eomme elle était en premier lieu. On pourrait même suspendre des poids égaux au bas de chacun, sans que cela causât aucun changement à la courbe CFD.

Prévenu de cela , on sait qu’on ne dérange rien dans l’équilibre des puissances en changeant seulement leur direction en sens contraire : ainsi , dans la supposition que tous les couplets sont unis à ne pouvoir J, g se déranger de la ligne curviligne qu'ils composent tous ensemble, si l’on fait tourner la chaîne CFD sur la ligne CD comme sur un axe, pour prendre la situation opposée mais toujours verticale CFD, tous les couplets gardant entre eux la même situation qu’ils avaient auparavant, tendront nu centre de la terre selon les mêmes lignes de direction; et soit qu’on augmente leur pesanteur ou non, pourvu que cette augmentation soit la même , ils se maintiendront toujours en équilibre , et ils ne feront pas plus d’effort pour tomber que s’ils n’étaient point entretenus par quelque cause qui les empêchât de se déranger.

Supposant maintenant que la courbe CFD représente l’intrados d'une voûte ABC, qui soit partout d'une égale épaisseur, et qu'à la place des Fie. 5. couplets on imagine des voussoirs fort petits qui aient la même pesanteur, et dont les lignes de direction tirées de leur centre de gravité seraient les mêmes que celles des couplets, ces voussoirs demeureront en équilibre ainsi que l'étaient ces couplets, de sorte que, s’ils sont bien