I LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES

unis les uns contre les autres par un ciment qui les réduise tous à ni‘ faire qu'un seul corps, ils composeront ensemble la “voûte ABC, dont toutes les parties seront en équilibre (i).

, Si l'on voulait faire usage de cette courbe , je crois qu'on serait obligé

de rapprocher ses deux extrémités C et H , afin qu'elles fussent dispo-

I sées comme EA et FC, et non pas comme EG et FH, ce qui ne con-

viendrait pas dans l'exécution , à cause que la naissance de la voûte ferait un jarret avec le piédroit , ce qui choquerait la vue. Il est bon de profiter de ce que la théorie peut enseigner; mais quand il s’agit de la pratique, on peut sans scrupule ne la pas suivre exactement pour rapporter les choses à l'usage. On trouvera dans le second tome de l’analy.se du R. P. Reyncau l'équation de la chaînette et la manière de la tracer; c’est pourquoi je n’en parle point ici.

, APPLICATION

Si l’on veut construire une voûte naturelle dont la largeur et la hauteur soient données, il faut sur une surface verticale tracer une ligne g, CD égale à la largeur de la voûte , abaisser du milieu de cette ligne une perpendiculaire EF égale à la hauteur qu’on veut lui donner, ensuite attaclier l'extrémité d’une chaîne au point C, et porter l'autre extrémité vers D, de manière qu'en augmentant ou diminuant la chaîne, son propre poids la fasse passer par le point F lorsqu’elle sera arrêtée aux endroits C et D. .Après cela , on pourra , avec un crayon que l’on conduira tout du long de la chaîne ( sans pourtant la faire vaciller) , tracer

(c) Od peut sulistitucr an raisonnement un peu plus long de fiéîidor, pour prouvei l'idemité de la cliaîiicile avec la courlie d'équilibre de roussoirs infiniment petits, une considération plus simple et plus frappante, en observant que la condition d’équilibre, dont dépend la forme de chaînette, est que chaque point de la courbe se trouve également tiré en sens contraire par des forces directement opposées , et que la condition néce.ssaire pour l'équilibre des vonssoirs est que chaque point se trouve également presse en sens contraire par des forces directement opposées. Or, ces deux conditions s'écrivent de la meme manière, et conduisent nécessairs'ment à la même équation. Tout ceci d’ailleurs ne doit être considéré que comme une abstraction de l'esprit, et n’est, pour la théorie des voûtes, susceptible d'aucune application (AH.

i5o LA SCIENCE DES INGÉNlElinS,

une courbe, et là-dessus établir la figure du faux cintre de la voûte,

la coupe des voussoii-s et le reste.

Je crois que ceux qui sont dans l'usage de faire construire des voûtes sans y prendre garde de si près, ne feront pas grand cas des deux propositions précédentes : aussi ne les ai -je rapportées que pour les curieux , qui voient toujours avec plaisir ce qui peut avoir rapport à leur métier. Ce n'est pas qu'on n’en puisse faire usage, puisque la première nous apprend que pour rendre des voûtes solides, il est bon d’en fortifier les reins le plus qu'il sera possible , et particulièrement vers les piédroits, afin de donner, pour ainsi dire, un contrepoids à la poussée des voussoirs supérieurs.

PROPOSITION SIXIÈME

Problème.

Trouver l'épaisseur qu'il faut donner aux culées des Ponts de niaçonnerie.

4l. I-a manière de régler l'épaisseur des culées des ponts e.st un problème qui appartient à ce livre-ci; car les ponts sont composés d'arches, et les arches ne sont auti'e cho.se que des voûtes ; aussi sa solution dépend-elle des règles que nous venons d’enseigner, ou, pour mieux dire, elle n’en est qu’une répétition accompagnée de quelque circonstance particulière aux ponts de maçonnerie.

On suppose qu’il est question d'un pont composé d'une seule arche en plein cintre', comme dans la figure 6 , dont l'épaisseur G D est déterminée, de même que le diamètre BI et la hauteur BS depuis la dernière retraite des fondements jusqu’à la naissance de l’arche, et qu’il s’agit de savoir l'épais.seur PS ou MQ qu'il faut donner à la culée MS, pour qu'elle soit en équilibre avec la [wussée qu'elle doit soutenir. Cela posé, on saura que les culées d'un pont peuvent être construites de deux manières : la première est de faire un corps de maçonnerie comme Fir.. 6 SZ dans la figure, dont la hauteur ZP ou BS ne surpasse point la naissance de l'arche; la seconde est d'élever la culée ju.squc vers le milieu des reins de l'arche , afin de les rendre capables de mieux sou-

Digitize oy Coo^It

LIVRE 11. DE l.A MÉCANIQUE DES VOUTES. i5i tenir l’effort de la partie supérieure, comme dans la figure 6, à laquelle nous nous attacherons uniquement , comme étant la plus conforme à l’usage.

Ayant divisé le quart de cercle BD en deux également au point C, on tirera le rayon AF : on divisera aussi la ligne FC en deux également au point 1.,, par lequel on mènera MK parallèle au diamètre BI qui déterminera la hauteur de la culée ; on prolongera la ligne SB jusqu’au point Q de la circonférence, et on tirera le rayon AQ et les autres lignes LO,LV et OP, comme à l’ordinaire

Pour réduire en équation la poussée de l’nrclie et la résistance de.s culées, nous nommerons LK ou K A, a ; BV , c; MP,r// SY , g; PS,^v la superficie CFGD,n’; et la partie BQFC, h' : ainsi MN ou ML sera c + et N P sera d — c ^ y; et si l’on suppose d — c=f^ N P sera,/’ — y.

On sait par l’art. i4 que, multipliant la sujierficic CFGD = n» par l’hypothénuse N P — y du triangle rectangle N O P, , lorsqu’il s’agit

d’une voûte ou d’une arche en plein cintre, le produit donne une expression égale à la puissance qui soutiendrait la poussée de la partie CFGD : ainsi cette poussée sera n’ {/ — ,r)* qu’il faut mettre en équilibre avec la résistance du piédroit PMQS, joint à la partie BQFS, c’est-à-dire avec dy et A’, multipliés par le bras de levier PT = i >• et PY —y g, dont les extrémités T et Y répondent aux ligues de direction tirées de leur centre de gravité, c’est-à-dire avec 7 r/y et A’ g-), qui donnent cette équation fn' — n’y = -^dy‘ -+- h' y + gli' ; d'où faisant passer dans le même membre les termes où se trouve l’inconnue, et dans l’autre ceux où l’inconnue ne se trouve point , on aura , apn‘s

avoir divisé par d , — = i J* + ^ S“PP°S‘'

— Y~=p, et qu’on mette y? à la place de sa valeur, en multipliant toute l'équation par 3, on pourra du second membre faire un carré parfait en ajoutant p' de part et d’autre, afin d’avoir ^ 4-

p' =y -4- a P y -t- p' , dont extrayant la racine et dégageant l’inconnue, l’on aura enfin 4 = — p + X/ n’ -4- g A’) -1- p' j , qui donne ce que l’on cherche.

APPLICATION

Pour avoir la valeur de l'inconnue, nous supposerons le diamètre B de 7a pieds, l'épaisseur DG de 6, et la hauteur BS de la; ainsi la ligne AL sera de i5, et l’on trouvera que BV = c est de 8 pieds o pouces, et LV de 37 pieds 7 pouces. Par conséquent MP = c/ sera de ajj pieds 7 pouces , et comme nous avons supposé rf — c=f, f sera donc de 3i pieds a pouces. On trouvera aussi que la partie C FG I) = n‘ est de i84 pieds carrés.

Comme nous avons aussi besoin de la ligure BQFC, remarquez que la ligne BQ est moyenne proportionnelle entre les parties EB et B H ilu diamètre £II : ainsi, multipliant leur valeur, c’est-à-dire 6 pieds, par 78, on trouvera, en extrayant la racine carrée du produit, ai pieds

6 pouees G lignes pour la perpendiculaire BQ , par le moyen de laquelle on aura la superficie du triangle ABQ, qui est de 889 pieds 3 pouces. Or, cherchant aussi la valeur du secteur EAQ qui est de 4"7 pieds 3 |K)uccs , on en retianchcra celle du triangle ABQ : la différence sera 88 pieds pour le segment EBQ, lequel étant aussi retranché de i84 pieds, valeur de EF CB, la différence sera gC pieds pour la partie B Q F C , par conséquent la valeur de A’. D’un autre côté , le centre de gravité de cette partie étant au point X, on verra que la perpendiculairt? X Y vient tomber environ à 3 pieds 9 pouces du point S. Enfin , comme

nous avons suppose — — =p, on trouvera que p vaut a-peu-pres

7 pieds I pouce. Ainsi , comme toutes les lettres du premier membre de l'équation 7 = — /z 7- 1/ j (/«’ H- gh' )-«-/>’] viennent d’être

déterminées en nombre , si l’on fait les opérations qui s’y trouvent indiquées, on trouvera que y, ou si l’on veut l’épaisseur PS de la culée, doit être de 1 1 pieds, pour soutenir en équilibre la poussée de la partie de l’arche qui lui répond.

Remarque première.

43. On pourra se dispenser dans la pratique d’avoir égard à la partie BQ F, qui rend ce problème assez composé, et n’avoir attention qu’au voussoir C FGD et à la culée M S : alors l’équation sera beaucoup plus simple, puisque dans l’état d’équilibre on aura r/r’ +