LIVRE IV. DES ÉDIFICES MILITAIRES. S-jg

valeur de a. Ainsi, cubant ce nombre, on aura SiSa = n’, a4 = ^ et comme nous avons vu ci-devant qu'une poutre telle que celle-ci pouvait porter dans son milieu ^3,5oo livres avant l'instant de sc rompre , lorsqu'elle était bien serrée par ses extrémités , on aura donc y35oo = m , et par conséquent la valeur des trois quantités qui appartiennent à la poutre qui doit servir de modèle ; et si la poutre dont on cherche la base a 3o pieds de longueur, on aura 3o = rf, et il ne res - ^ tera plus qu'à savoir quel est le poids qu'on veut faire porter à cette poutre et de quelle façon l'on veut qu'elle le porte : car ou l'action de ce poids sera en équilibre avec la résistance de la poutre et même un peu plus fort que celte résistance pour causer la rupture, ou bien la résistance de la poutre sera tellement au-dessus du poids , qu'on n'aura pas lieu d'appréhender qu'elle casse , ce qui est le cas qui convient à l'usage, puisqu'on ne fait pas des poutres pour les rompre ; et comme j'ai dit ailleurè qu'il ne fallait les charger que de la moitié du poids qu'elles pouvaient porter avant l'instant de se rompre , il faut donc, pour suivre ce principe, faire comme si la poutre dont on cherche la base devait porter un poids double de celui qu'elle portera en effet, parce qu’alors sa résistance sera double do l'effort qu'elle aura à soutenir : c'est pourquoi, voulant quelle puisse porter looooo livres, nous supposerons qu’elle peut en porter aooooo ± n , qui est la valeur de la dernière lettre qui nous restait à connaître.

Pour suivre ce qu'enseigne la formule x = y/ on commencera par multiplier la valeur de d et du n l'une par l’autre , ce qui donnera 6000000 , qu'il faut multiplier par la valeur de on aura Soygaoooooo = dna‘, qu’il faut diviser par la valeur de im, c’est-à-dire par le produit de a4 et de y35oo qui est 1764000; et le quotient donnera 17455

“ il faut extraire la racine cube, qui sera à-peu-près de a5

pouces 6 lignes pour la valeur de x, c’est-à-dire pour le diamètre de l’arbre d’où l’on veut tirer la poutre que l’on demande.

Si l'on voulait savoir en nombres quelle est la valeur des deux côtés G I et I H de la base de la poutre qu’on doit tirer du cercle Kl, dont le diamètre G H est de a5 pouces et demi , on remarquera que le carré du côté G I étant double de celui du côté I H , le premier sera les deux tiers du carré du diamètre GH, et le second le tiers même : ainsi,

33o LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

carrant a5 et demi , prenant à part le tiers et les deux tiers du produit, et extrayant la racine carrée de chacune de ces quantités , elles donneront à-peu-près i4 pouces 8 lignes, et 20 pouces 8 lignes pour la valeur des côtés G I et I H , c’est-à-dire pour les dimensions de l’écarrissage.

Il est bon de dire que toutes les fois que nous avons parlé du cercle d’un arbre , nous avons toujours entendu la ])artie intérieure de l'arbre qui n’a ni aubier iri écorce, mais qui est dure et de bonne consistance; et que , quand il était question d’en tirer une poutre , ou commençait à tracer avec le compas un cercle dont le centre était celui de l’arbre même, et dont le rayon allait sc terminer un peu au-dessous do l’écorce , et que c'était le diamètre de ce cercle-là qu’il fallait diviser en trois parties égales , pour tracer la base de la poutre que l’on demande. De même, après avoir trouvé le diamètre d’un arbre duquel on veut tirer une poutre , comme dans l’opération précédente , il faut toujours supposer que l’arbre doit avoir un diamètre de 3 pouces au moins plus grand que celui qu’on aura trouvé , afin d’avoir égard au déchet.

Voici encore un cas que je ne passerai pas sous silence, espérant qu’il servira dans les occasions qui peuvent se présenter.

La longueur d’une poutre étant donnée , ainsi que le côté sur lequel elle doit être posée , on demande quelle doit être son épaisseur vertiticale , pour être capable de porter dans son milieu un poids donné.

Pour cela nous supposerons que la poutre qui doit servir de modèle a pour base un carré dont le côté sera nommé a; que sa longueur est nommée b ; et le poids qu’elle peut porter avant l’instant de se rompre, m; que la longueur de la poutre qui fait le sujet de la question, est nommée d ; le côté de la base que l’on connaît , c ; celui que l’on cherche, x; et le poids que cette poutre doit porter, n. Cela posé, si l’on multiplie le carré de la hauteur verticale de chaque poutre par son épaisseur, et que l’on divise chaque produit par la longueur des poutres auxquelles elles appartiennent, on pourra avec les deux quotients et les poids que ces poutres peuvent porter avant l’instant de sc rompre, former

cette proportion m : « ; ; ^ ^ , qui donne multi-

pliant cette équation par d et la divisant ensuite par me, on aura,

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après avoir extrait la racine carrée de chaque membre, y/

formule dont voici l'application.

Prenant pour modèle la solive de 3 pieds de longueur sur 6 pouces en carré, qui porte un poids de 645oo livres, on aura ai6, 6 = 3, m = 645oo. Si présentement la poutre dont il est question a a4 pieds de longueur, que le côté sur lequel elle doit être posée soit de I2 pouces , et que le poids qu’elle doit porter jKiur n'ètre pas en danger de se rompre, soit de 700000 livres, il faut doubler ce poids pour les raisons que j'ai dites ci-devant, et alors il sera considéré comme étant de i4oooo: ainsi nous aurons a4, c= la , et n = i4oooo. Il n’est donc plus question que de suivre ce qu’enseigne la formule , c'est-ii-dire multiplier les valeurs de </ et de n l’une par l’autre , et le produit 33Goooo par la valeur de a‘, c’est-à-dire par aiC pour avoir 726760000 = </««’ , qu’il faut diviser par le produit des trois nombres qui expriment la valeur de 6, c, m , lequel sera a3a2ooo= bem : le quotient sera 3 13, dont il faut extraire la racine carrée, qu’on trouvera de 17 pouces 7 lignes 1 1 points pour la hauteur verticale de la poutre.

Si la hauteur verticale était donnée, et qu’on voulût trouver l’épaisseur horizontale , nommant cette épaisseurs, l’autre c, et tout le reste

avec les mêmes lettres , la formule se changerait en celle-ci x =

EnGn, si les deux dimensions de l’écarrissage étaient données, et qu’on voulût savoir quelle doit être la longueur d’une poutre pour casser sous l’effort du poids n , nommant c la hauteur verticale, y' l’épaisseur horizontale, et nous servant toujours du même modèle nous aurons

encore m : n ^ d’où l’on tire, aprèsavoir dégagé l’inconnue,

la fornlule x =: — na

Comme de toutes les situations qu’on peut donner à une pièce de bois par rapport ù sa longueur, il n’y en a point où elle ait moins de force que quand elle est posée borizontalement , il est à propos d’examiner ce qui arrive quand elle est posée obliquement.

Si l’on considère la poutre A B posée sur deux appuis dont l’un est Fie. beaucoup plus élevé que l’autre, il est constant que le poids D qui serait suspendu dans le milieu de sa longueur, n’agissant point selon

une direction perpendiculaire au bras de levier, fera d’autant moins d’effort [>our rompre cette poutre , que l’angle CFG formé par l’obliquité de la poutre et la ligne horizontale F G approchera davantage de valoir un droit jusque-là que, si la poutre était perpendiculaire à l’horizon, c’est-à-dire que l’angle CFG fût efl'ectivemcnt droit, le poids D ne ferait plus aucun effet , parce que sa direction et celle du levier se trouveraient dans une même ligne. Mais si la poutre est seulement inclinée, comme nous la supposons ici, alors on n’a qu’à faire le parallélogramme rectangle EF CH , et l'action du poids sur la poutre posée horizontalement sera à celle du même poids quand cette poutre est oblique, comme la diagonale F.C est au côté EF, ou, ce qui revient au même , comme le sinus de l’angle CFE est au sinus de l’angle FCE; de sorte que, si l’on voulait que cette poutre fût chargée dans la situation oblique comme il faudrait qu’elle le fût dans la situation horizontale , en supposant qu’elle dût être rompue dans l’un et l’autre cas, on voit que s’il fallait dans la situation horizontale un poids exprimé par le côté FE, ou par le sinus de l’angle FCE, celui pour la situation oblique devrait être exprimé par la diagonale £C. Par conséquent, lorsque l’angle FCE devient si petit que les deux lignes CE et CA se trouvent confondues , ce qui arrive quand la poutre est perpendiculaire à l'horizon , la ligue C E n'étant plus déterminée , le poids que peut porter la poutre devient inexprimable (i).

Bullet, en parlant de la charpente dans son Architecture pratique, dit que la force d’une pièce de bois qui est inclinée , augmente dans la raison de l’ouverture des angles que cette pièce forme avec la ligne horizontale : et comme des gens ajoutent foi à tout ce que rapporte un

(i) Lorsque Ik'lidor cenvait oect , il ne pouvait avoir ru connaissance des expériences de Musseziibroôck sur la résistance des solides soumis k Tuction d'une force qui agit dans le scus de Unir longueur. Elles ont |miu pour la première fois dans une dissertation latine imprimée en 1729 , c'est-à-dire , l'année même de la publication de la Science des Ingénieurs. On les retrouve d.ms ses Lt^ons de Pliysiqiic cKpérimeiilale. Ce n'est que long-temps après (en 1^44) qu'Euler a donné les premières recherches théoriques qu'on connaisse sur ce sujet. L'erreur dans laquelle Délidor tombe ici ^ et l’espèce d'exclusion qu'il fait du cas où une poutre est chargée TerticalcDient , sont donc en quelque sorte excusables {N}.